2024河南中考數(shù)學專題復習第三部分 題型二 微專題7 十字模型 課件

微專題7十字模型一階

模型回顧

知識關聯(lián)如圖①，在勾股定理中我們學過“趙爽弦圖”，則有△AED≌△BFA≌△CGB≌△DHC.圖①如圖②，稍作變形，DE⊥AF交AF于點H，得“十字模型”，則有△FBA≌△EAD.圖②一、正方形的十字模型模型分析已知正方形ABCD，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，AE⊥BF于點G.模型結論：△ABE≌△BCF【問題情境】數(shù)學活動課上，老師提出了一個問題：如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，連接AE，BF，AE，BF相交于點G，請同學們結合圖形提出自己的猜想并證明；以下是小亮的猜想：小亮：若AE⊥BF，則AE＝BF.(1)請幫助小亮證明他的猜想；圖①(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BGE＝90°，∴∠GBE＋∠GEB＝90°，∵∠BAE＋∠GEB＝90°，∴∠BAE＝∠GBE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF；圖①十字模型【類比探究】探究一：(2)如圖②，當點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊CB，DC的延長線上時，(1)中小亮的猜想是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；圖②(2)解：成立，證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BGE＝90°，∴∠BAE＋∠ABG＝90°，∵∠CBF＋∠ABG＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF；圖②十字模型探究二：(3)如圖③，將圖①中線段BF向上平移后得到線段MN，試判斷此時小亮的猜想是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(3)解：成立，證明：如圖，過點N作NK⊥AB于點K，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝KN，∠ABE＝∠BAD＝∠MKN＝90°，∵AE⊥MN，∴∠AGM＝90°，∴∠MAG＋∠AMG＝90°，圖③K∟∵∠MNK＋∠AMG＝90°，∴∠MNK＝∠MAG，在△NKM和△ABE中，∴△NKM≌△ABE(ASA)，∴MN＝AE；圖③K∟十字模型二、矩形的十字模型模型分析已知矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，AE⊥BF于點G.模型結論：△ABE∽△BCF.【知識遷移】學習了正方形的十字模型，小唯提出了一個新的問題：(4)如圖④，在矩形ABCD中，CD＝m，BC＝n，點E，M，N分別是BC，AB，DC上一點，連接AE，MN，AE，MN相交于點G，且AE⊥MN，求

的值(用含m，n的式子表示)．(4)解：如圖，過點N作NK⊥AB于點K，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝KN，∠ABE＝∠BAD＝∠MKN＝90°，∵AE⊥MN，∴∠AGM＝90°，∴∠MAG＋∠AMG＝90°，圖④K∟∵∠MNK＋∠AMG＝90°，∴∠MNK＝∠MAG，∴△MNK∽△EAB，∴＝

＝

＝

，∴＝

.圖④K∟

解題關鍵點過點N作NK⊥AB于點K，證得△MNK∽△EAB.十字模型二階

綜合提升1.如圖，在矩形ABCD中，AB＝

BC，點E是BC邊上一點，點F在CD的延長線上，且BE＝

，DF＝2，連接EF交AD于點G，點H是AB邊上一點，過點H作HN⊥EF，分別交EF，CD于點M，N，若CN＝AH＝

，則DN的長為________．第1題圖

解題關鍵點過點A作HN的平行線，分別交CD，EF于點P，Q，證得△ADP∽△FCE.2.如圖，在正方形ABCD中，點F是AD上一點，將△CDF沿CF折疊，點D落在點G處，連接DG并延長交AB于點E.若AB＝12，AE＝5，則EG的長為________．第2題圖3.【教材背景】課本上有這樣一道題目：如圖①，在正方形ABCD中，E是邊AB的中點，F(xiàn)是邊BC的中點，連接CE，DF.發(fā)現(xiàn)其中CE＝DF.【拓展延伸】如圖②，在正方形ABCD中，O為對角線BD上一點，連接AO并延長，交DC于點E，過點B作BF⊥AE于點G，交AD于點F，連接FE，BE.第3題圖【問題解決】(1)若DO＝DE，求證：△ABG≌△OBG；(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥DC，∴∠DEO＝∠BAO.又∵DO＝DE，∴∠DOE＝∠DEO，∴∠AOB＝∠DOE＝∠DEO，∴∠BAO＝∠BOA.∵BF⊥AE，∴∠AGB＝∠OGB＝90°，∵BG＝BG，∴△ABG≌△OBG(AAS)；第3題圖(2)若BF＝6，求四邊形AFEB的面積；第3題圖(2)解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°.∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°，即∠BAG＋∠ABG＝90°.∵∠BAD＝∠BAG＋∠GAD＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∴△ADE≌△BAF(ASA)，∴AE＝BF.∵AE⊥BF，∴S四邊形AFEB＝

BF2＝18；

解題關鍵點證得△ADE≌△BAF；∴∠BHC＝90°，∴∠HBC＋∠HCB＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠ABG＋∠HBC＝90°，∴∠HCB＝∠GBA，又∵∠BHC＝∠AGB，BC＝AB，∴△BHC≌△AGB(AAS)，∴CH＝BG.∵CG＝CB，∴GH＝HB＝

GB＝

CH，(3)如圖③，連接CG，若CG＝BC，求證：E是邊DC的中點．(3)證明：如圖，過點C作CH⊥BG于點H，第3題圖∟H∴tan∠HCB＝

＝

.∵由(2)得△ADE≌△BAF