2024河南中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第三部分 題型二 微專題7 十字模型 課件

微專題7十字模型一階

模型回顧

知識(shí)關(guān)聯(lián)如圖①，在勾股定理中我們學(xué)過“趙爽弦圖”，則有△AED≌△BFA≌△CGB≌△DHC.圖①如圖②，稍作變形，DE⊥AF交AF于點(diǎn)H，得“十字模型”，則有△FBA≌△EAD.圖②一、正方形的十字模型模型分析已知正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，AE⊥BF于點(diǎn)G.模型結(jié)論：△ABE≌△BCF【問題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了一個(gè)問題：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，連接AE，BF，AE，BF相交于點(diǎn)G，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合圖形提出自己的猜想并證明；以下是小亮的猜想：小亮：若AE⊥BF，則AE＝BF.(1)請(qǐng)幫助小亮證明他的猜想；圖①(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BGE＝90°，∴∠GBE＋∠GEB＝90°，∵∠BAE＋∠GEB＝90°，∴∠BAE＝∠GBE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF；圖①十字模型【類比探究】探究一：(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊CB，DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中小亮的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；圖②(2)解：成立，證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BGE＝90°，∴∠BAE＋∠ABG＝90°，∵∠CBF＋∠ABG＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF；圖②十字模型探究二：(3)如圖③，將圖①中線段BF向上平移后得到線段MN，試判斷此時(shí)小亮的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)解：成立，證明：如圖，過點(diǎn)N作NK⊥AB于點(diǎn)K，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝KN，∠ABE＝∠BAD＝∠MKN＝90°，∵AE⊥MN，∴∠AGM＝90°，∴∠MAG＋∠AMG＝90°，圖③K∟∵∠MNK＋∠AMG＝90°，∴∠MNK＝∠MAG，在△NKM和△ABE中，∴△NKM≌△ABE(ASA)，∴MN＝AE；圖③K∟十字模型二、矩形的十字模型模型分析已知矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，AE⊥BF于點(diǎn)G.模型結(jié)論：△ABE∽△BCF.【知識(shí)遷移】學(xué)習(xí)了正方形的十字模型，小唯提出了一個(gè)新的問題：(4)如圖④，在矩形ABCD中，CD＝m，BC＝n，點(diǎn)E，M，N分別是BC，AB，DC上一點(diǎn)，連接AE，MN，AE，MN相交于點(diǎn)G，且AE⊥MN，求

的值(用含m，n的式子表示)．(4)解：如圖，過點(diǎn)N作NK⊥AB于點(diǎn)K，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝KN，∠ABE＝∠BAD＝∠MKN＝90°，∵AE⊥MN，∴∠AGM＝90°，∴∠MAG＋∠AMG＝90°，圖④K∟∵∠MNK＋∠AMG＝90°，∴∠MNK＝∠MAG，∴△MNK∽△EAB，∴＝

＝

＝

，∴＝

.圖④K∟

解題關(guān)鍵點(diǎn)過點(diǎn)N作NK⊥AB于點(diǎn)K，證得△MNK∽△EAB.十字模型二階

綜合提升1.如圖，在矩形ABCD中，AB＝

BC，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，且BE＝

，DF＝2，連接EF交AD于點(diǎn)G，點(diǎn)H是AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)H作HN⊥EF，分別交EF，CD于點(diǎn)M，N，若CN＝AH＝

，則DN的長(zhǎng)為________．第1題圖

解題關(guān)鍵點(diǎn)過點(diǎn)A作HN的平行線，分別交CD，EF于點(diǎn)P，Q，證得△ADP∽△FCE.2.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F是AD上一點(diǎn)，將△CDF沿CF折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接DG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E.若AB＝12，AE＝5，則EG的長(zhǎng)為________．第2題圖3.【教材背景】課本上有這樣一道題目：如圖①，在正方形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC的中點(diǎn)，連接CE，DF.發(fā)現(xiàn)其中CE＝DF.【拓展延伸】如圖②，在正方形ABCD中，O為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交DC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)F，連接FE，BE.第3題圖【問題解決】(1)若DO＝DE，求證：△ABG≌△OBG；(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥DC，∴∠DEO＝∠BAO.又∵DO＝DE，∴∠DOE＝∠DEO，∴∠AOB＝∠DOE＝∠DEO，∴∠BAO＝∠BOA.∵BF⊥AE，∴∠AGB＝∠OGB＝90°，∵BG＝BG，∴△ABG≌△OBG(AAS)；第3題圖(2)若BF＝6，求四邊形AFEB的面積；第3題圖(2)解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°.∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°，即∠BAG＋∠ABG＝90°.∵∠BAD＝∠BAG＋∠GAD＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∴△ADE≌△BAF(ASA)，∴AE＝BF.∵AE⊥BF，∴S四邊形AFEB＝

BF2＝18；

解題關(guān)鍵點(diǎn)證得△ADE≌△BAF；∴∠BHC＝90°，∴∠HBC＋∠HCB＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠ABG＋∠HBC＝90°，∴∠HCB＝∠GBA，又∵∠BHC＝∠AGB，BC＝AB，∴△BHC≌△AGB(AAS)，∴CH＝BG.∵CG＝CB，∴GH＝HB＝

GB＝

CH，(3)如圖③，連接CG，若CG＝BC，求證：E是邊DC的中點(diǎn)．(3)證明：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥BG于點(diǎn)H，第3題圖∟H∴tan∠HCB＝

＝

.∵由(2)得△ADE≌△BAF