數(shù)學(xué)高中知識點(diǎn)6向量

六、向量向量向量向量的概念向量的運(yùn)算向量的運(yùn)用向量的加、減法實(shí)數(shù)與向量的積向量的數(shù)量積定比分點(diǎn)公式平移物理學(xué)中的運(yùn)用幾何中的運(yùn)用兩向量平行的充要條件兩向量垂直的充要條件一、基本概念：（1）向量的定義：叫做向量，可用字母表示，如：；也可用向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如：；（2）向量的兩個要素：、；其中向量的大小又稱為；記為：；（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，數(shù)量是只有大小的量，其大小可以用正數(shù)、負(fù)數(shù)或0來表示；它是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行各種代數(shù)運(yùn)算；數(shù)量之間可以進(jìn)行大小比較，“大于”、“小于”的概念對數(shù)量是適用的。向量是既有大小又有方向的量；向量的模是正數(shù)或0，是可以進(jìn)行大小比較的；由于方向不能比較大小，因此“大于”、“小于”對向量來說是沒有意義的。（4）特殊形式的向量：①零向量：；記為：；方向?yàn)?；?guī)定：零向量與任一向量；②單位向量：；③自由向量：一個向量只要不改變它的大小和方向，它的起點(diǎn)和終點(diǎn)可以任意平行移動的向量，叫做自由向量(本書研究的都是自由向量)．④平行向量：叫做平行向量(也稱為共線向量)；向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0平行，記作：；⑤相等向量：叫做相等向量；向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0相等，記作：；注：①零向量與零向量相等；②任意兩個相等的非零向量，都可以用一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)。③兩個向量相等是一個很重要的概念，從幾何意義上看，就是這兩個向量的長度相等且方向相同；從代數(shù)表達(dá)式考慮，就是它們對應(yīng)的系數(shù)相等；對于用坐標(biāo)表示的向量來說，就是這兩個向量的坐標(biāo)相等，這一點(diǎn)在解題中有很重要的作用。⑥相反向量：叫做相反向量，向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0相反，記作：；二、向量的表示法（1）幾何表示法：用有向線段表示，如：SKIPIF1<0；（2）字母表示法：用一個小寫字母表示，如：SKIPIF1<0；注意：解題時，向量中的箭頭不可省。（3）坐標(biāo)表示法：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取的兩個單位自量SKIPIF1<0作基底，則對任一向量SKIPIF1<0有且只有一對實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，就把SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的(直角)坐標(biāo)，記作；注意：①SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上的坐標(biāo)，SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上的坐標(biāo)。②SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；三、向量的運(yùn)算：（1）向量的加法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②坐標(biāo)法：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③重要結(jié)論：Ⅰ圍成一周順次始終相結(jié)的向量的和為SKIPIF1<0；Ⅱ當(dāng)兩向量平行時，平行四邊形法不適用，可用三角形法則。（2）向量的減法①向量法：三角形法則、平行四邊形法SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②坐標(biāo)法：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③重要結(jié)論：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；④從幾何圖形的角度理解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0取左邊不等號中等號的條件取右邊不等號中等號的條件取左邊不等號中小于號的條件取右邊不等號中小于號的條件SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0異向或其中至少有一個零向量SKIPIF1<0同向或其中至少有一個零向量SKIPIF1<0不能異向SKIPIF1<0不能同向SKIPIF1<0SKIPIF1<0同向或其中至少有一個零向量SKIPIF1<0異向或其中至少有一個零向量SKIPIF1<0不能同向SKIPIF1<0不能異向注意：若將SKIPIF1<0變?yōu)镾KIPIF1<0要比較SKIPIF1<0絕對值的大小，且SKIPIF1<0；若將SKIPIF1<0變?yōu)镾KIPIF1<0要比較SKIPIF1<0的模的大小，且SKIPIF1<0；（3）實(shí)數(shù)與向量的積(數(shù)乘)①定義：一般地，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0的積是一個向量，記作SKIPIF1<0，它的長度和方向規(guī)定如下：Ⅰ、SKIPIF1<0Ⅱ、當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相同，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相反。②坐標(biāo)法：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③運(yùn)算律：設(shè)SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，SKIPIF1<0為向量：結(jié)合律：SKIPIF1<0；第一分配律：SKIPIF1<0；第二分配律：SKIPIF1<0；（4）平面向量的數(shù)量積①數(shù)量積：已知兩個非零向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它們的夾角為SKIPIF1<0，則數(shù)量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作：SKIPIF1<0；注意：Ⅰ、夾角的范圍：SKIPIF1<0；其中當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0；當(dāng)兩個向量的夾角是銳角時，它們的數(shù)量積大于0；當(dāng)兩個向量的夾角是鈍角時，它們的數(shù)量積小于0；零向量與任何向量的數(shù)量積等于0。Ⅱ、投影：SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影。②坐標(biāo)法運(yùn)算：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③運(yùn)算律：交換律：SKIPIF1<0；結(jié)合律：SKIPIF1<0；分配律：SKIPIF1<0；注意：SKIPIF1<0④重要性質(zhì)：Ⅰ、設(shè)SKIPIF1<0都是非零向量，SKIPIF1<0是與SKIPIF1<0方向相同的單位向量，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，SKIPIF1<0則：SKIPIF1<0；Ⅱ、SKIPIF1<0；Ⅲ、當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向時，SKIPIF1<0；特別是：SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0Ⅳ、向量的夾角公式：SKIPIF1<0；Ⅴ、SKIPIF1<0四、定理與公式：（1）平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)：如果SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么該平面內(nèi)任一向量SKIPIF1<0，只有一對實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；我們把不共線的向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。（2）兩個向量平行的充要條件：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)①向量式：SKIPIF1<0；②坐標(biāo)式：SKIPIF1<0；（3）兩個向量垂直的充要條件：設(shè)SKIPIF1<0①向量式：SKIPIF1<0；②坐標(biāo)式：SKIPIF1<0；（4）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；如：求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值。xOxOP1PP2ySKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①向量式：SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，中點(diǎn)對應(yīng)向量公式SKIPIF1<0；②坐標(biāo)式：中點(diǎn)對應(yīng)向量公式SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，中點(diǎn)坐標(biāo)公式SKIPIF1<0；如：已知直線SKIPIF1<0及兩點(diǎn)SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0與線段SKIPIF1<0相交時求SKIPIF1<0的取值范圍。（還可以從斜率的角度，通過數(shù)形結(jié)合解題）注意：①要分清內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)當(dāng)分點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時，點(diǎn)SKIPIF1<0叫SKIPIF1<0的內(nèi)分點(diǎn)，這時SKIPIF1<0值為SKIPIF1<0；當(dāng)分點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的延長線時，點(diǎn)SKIPIF1<0叫外分點(diǎn)，SKIPIF1<0值為SKIPIF1<0；點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0延長線上時，這時SKIPIF1<0值為SKIPIF1<0；點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0延長線上時，這時SKIPIF1<0值為SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0不能寫成SKIPIF1<0（沒有定義兩向量的除法），有時可寫成SKIPIF1<0；③三角形重心公式：SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為三角形三頂點(diǎn)的坐標(biāo)。（6）平移公式：平移：設(shè)SKIPIF1<0是坐標(biāo)平面上的一個圖形，將SKIPIF1<0上所有點(diǎn)按照同一方向，移動同長度，得到圖形SKIPIF1<0，這個過程就是圖形的平移。平移公式：SKIPIF1<0是圖形SKIPIF1<0的任意一點(diǎn)，按照SKIPIF1<0平移后圖形SKIPIF1<0上的對應(yīng)點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（注：SKIPIF1<0）注意：用平移公式，求平移后的解析式的一般步驟：①設(shè)平移后圖形SKIPI