第七章立體幾何復習教案

立體幾何

〈第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖

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1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中

簡單物體的結(jié)構(gòu).

2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識

別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖.

3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖

形的不同表示形式.

4.會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等沒有

嚴格要求).

主Ia可扣、憶教材夯基提能

?>>如識清單

一、必備知識

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

多面體結(jié)構(gòu)特征

棱柱有兩個個平行,其余各面都是四邊形且每相鄰兩個面的交線都平行且相等

棱錐有?個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形

棱臺棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做棱臺

(2)旋轉(zhuǎn)體的形成

幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸

圓柱矩形矩形一邊所在的直線

圓錐直角三角形一直角邊所在的直線

圓臺直角梯形或直角腰所在的直線或等腰

等腰梯形梯形上下底中點連線

球半圓或圓直徑所在的直線

2.空間幾何體的三視圖

(1)三視圖的名稱

幾何體的三視圖包括：正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.

(2)三視圖的畫法

①在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.

②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾

何體的正投影圖.

3.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：

(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，X，軸，y軸的夾角為

45°或135°,z，軸與X，軸和V軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸;平行于x軸和z軸的

線段在直觀圖中保持原長度丕變；平行于Y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半.

二、必記結(jié)論

1.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖

(1)球的三視圖都是半徑相等的圓.

(2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形.

(3)水平放置的圓臺的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形.

(4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形.

2.斜二測畫法中的“三變”與“三不變”

(坐標軸的夾角改變，

，，三變，，(與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

〔圖形改變.

'平行性不改變，

“三不變”與x,z軸平行的線段的長度不改變，

.相對位置不改變.

3.直觀圖與原圖形面積的關(guān)系

=1als

Sam45忒或S城留柩=2媳SH現(xiàn)圖).

??＞對點演練

一、思考辨析

判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打y“，錯誤的打“X”)

(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()

(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()

(3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.()

(4)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱.()

(5)上下底面是兩個平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺.()

(6)用一個平面去截一個球，截面是一個圓面.()

提示：

(1)錯誤.如圖所示，該幾何體有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，但不是棱柱.

(2)錯誤.根據(jù)棱錐定義，其余各面必須是有公共頂點的三角形.

(3)正確.根據(jù)棱臺的定義可知正確.

(4)錯誤.兩個平行平面必須與圓柱底面平行才是圓柱.

(5)錯誤.圓臺的母線延長后交于一點.

(6)正確.根據(jù)球的結(jié)構(gòu)特征可知正確.

答案：(l)x(2)x(3)4(4/(5)x(6)4

二、牛刀小試

1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是()

A.棱柱的側(cè)棱長都相等

B.棱錐的側(cè)棱長都相等

C.三棱臺的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺的側(cè)棱長都相等

解析：選B根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長不一定都相等.

2.用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是()

A.圓柱B.圓錐

C.球體D.圓柱、圓錐、球體的組合體

解析：選C當用過高線的平面截圓柱和圓錐時，截面分別為矩形和三角形，只有球滿

足任意截面都是圓面.

3.下面三視圖如圖所示，則該幾何體是()

A.三棱錐B.四棱錐

C.四棱臺D.三棱臺

解析：選B由三視圖知該幾何體為四棱錐，其中有一側(cè)棱垂直于底面，底面為直角梯

形.

4.如圖△ABC，是aABC的直觀圖，那么△人8（2是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.銳角三角形

D.鈍角三角形

解析：選B由于△ABC，的邊A，C，〃y，軸，所以AC-Lx軸，故AABC為直角三角形.

O熱點題型?分類突破。析考點強化認知

考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

［例1］給出下列四個命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線;

②底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

④棱臺的上、下底而可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

［聽前試做］

①不一定，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤.當以斜邊所在直

線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐.如圖所示，它是由兩個同

底圓錐組成的幾何體；④錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應邊平行的多邊形，各側(cè)棱延

長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等.

答案：B

空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的解答技巧

(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，

在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判

定.

⑵通過舉反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即

可.

口變式訓練

給出下列四個命題：

①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；

②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；

③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體；

④若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱.

其中錯誤命題的序號是.

解析：認識棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故

①③都不正確；②中對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明，故也不正確；④平行六面體的

兩個相對側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行，故④也不正確.

答案：①②③④

高頻考點，發(fā)散思維

空間幾何體的三視圖

考點二

空間幾何體的三視圖是每年高考的熱點內(nèi)容，題型多為選擇題或填空題，難度適中，屬

中低檔題.歸納起來，且主要有以下幾個命題角度:

角度一：由空間幾何體的三視圖還原出幾何體的形狀

［例2］（2015?鄭州模擬）若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是

）

［聽前試做］A,B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，故選D.

答案：D

角度二：由空間幾何體的直觀圖判斷三視圖

［例3］（2014?江西高考）一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是

左依）視

［聽前試做］由直觀圖可知，該幾何體由一個長方體和一個截角三棱柱組成.從上往下

看，外層輪廓線是一個矩形，矩形內(nèi)部有一條線段連接的兩個三角形.

答案：B

角度三：由空間幾何體的部分視圖畫出剩余部分視圖

［例4］（2015?吉林模擬）己知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同，如圖所示，其中AB=AC,

四邊形BCDE為矩形，則該組合體的俯視圖可以是（把你認為正確的圖的序號都填

上）.

［聽前試做］直觀圖如圖1的幾何體（上部是一個正四棱錐，下部是一個正四棱柱）的俯視

圖為①；直觀圖如圖2的幾何體（上部是一個正四棱錐，下部是一個圓柱）的俯視圖為②；直

觀圖如圖3的幾何體（上部是一個圓錐，下部是一個圓柱）的俯視圖為③；直觀圖如圖4的幾

何體（上部是一個圓錐，下部是一個正四棱柱）的俯視圖為④.

圖1圖2圖3圖4

答案：①②③④

方法?規(guī)律

三視圖問題的常見類型及解題策略

（1）由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的

部分用實線，不能看到的部分用虛線表示.

（2）由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖.先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測

直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式.當然作為選擇題，也可將選項

逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合.

（3）由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖

的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖.

口變式訓練

（2013?四川高考）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（

vqzyzz

正視圖側(cè)視圖

?

俯視圖

AB

CD

解析：選D由于俯視圖是兩個圓，所以排除A,B,C,故選D.

2.（2015?濟寧一模）點M,N分別是正方體ABCD-A|B|C|D|的棱A|B|,AQ1的中點，

用過A,M,N和D,N,G的兩個截面截去正方體的兩個角后得到的幾何體如圖1,則該兒

何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次為圖2中的（）

圖1圖2

A.①②③B.②③④

C.①③④D.②④③

解析：選B由正視圖的定義可知：點A,B,B1在后面的投影點分別是點D,C,G,

線段AN在后面的投影面上的投影是以D為端點且與線段CG平行且相等的線段，另外線段

AM在后面的投影線要畫成實線，被遮擋的線段D3要畫成虛線，正視圖為②；同理可得側(cè)

視圖為③，俯視圖為④.

3.如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖和俯視圖.在正視圖右側(cè)，按照畫三視圖的要求畫

出的該幾何體的側(cè)視圖是（）

解析：選B由直觀圖和正視圖、俯視圖可知，該幾何體的側(cè)視圖應為面PAD,且EC

投影在面PAD上，故B正確.

題根遷移，多維探究

幾何體的直觀圖

考點三

［例5］如圖所示，△ABC是AABC的直觀圖，且△ABC，是邊長為a的正三角形,

求4ABC的面積.

［聽前試做］

建立如圖所示的坐標系xOy-AABC的頂點C在y，軸上，邊AB，在x軸上，把了軸繞

原點逆時針旋轉(zhuǎn)45。得y軸，在y軸上取點C使0C=20C,A、B點即為N、B，點，長度不

變.

已知AB=AC=a,

在中，

OCA'C'

由正弦定理得?

sin/OAC-sin45。，

cc,sin120°A/6

所以℃=高而^=$2,

所以原三角形ABC的高OC=,a,

2

所以SAABC=|xax^/6a=坐a.

［探究1］若本例改為“已知4ABC是邊長為a的正三角形，求其直觀圖△A，B，C的面積”,

應如何求？

解：由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖AABC」底邊上的高為Wax聶爛=^a,

ZZZo

故其面積SAABC=|ax^a=乎a?.

ZoIO

［探究2］

本例中的直觀圖若改為如圖所示的直角梯形，ZABC=45°,AB=AD=1,DC1BC,

則原圖形的面積為.

解析：如圖①，在直觀圖中，過點A作AE±BC,垂足為E,

貝IJ在RtAABE中，AB=1,/ABE=45°,/.BE=當

而四邊形AECD為矩形，AD=1,

.-.EC=AD=l..-.BC=BE+EC=^+1.

由此可還原原圖形如圖②，是一個直角梯形.

z

在原圖形中，A'D，=1,A'Bz=2,BzCz乎+1,且A'D'IIBC',A'B'1

BzC,

.?.原圖形的面積為S=g(A'D'+B'C')?A'B'=gx(l+1+乎)X2=2+*.

答案：2+坐

方法規(guī)律

平面圖形直觀圖與原圖形面積間的關(guān)系

對于幾何體的直觀圖，除掌握斜二測畫法外，記住原圖形面積S與直觀圖面積S'之間

的關(guān)系S'=坐，能更快捷地進行相關(guān)問題的計算.

口變式訓練

如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角均為45°,腰和上底均為1的等

腰梯形，那么原平面圖形的面積是)

A.2+y［2B.上稱回

C.苧D.1+^

解析：選A由題意畫出斜二測直觀圖及還原后原圖，由直觀圖中底角均為45°,腰和

上底長均為1,得下底長為1+啦，所以原圖是上、下底分別為1,1+m,高為2的直角梯

形.所以面積S=；X(1+啦+l)X2=2+*.

--------［課堂歸納一通法領(lǐng)悟］---------------------------

2點注意——畫三視圖和直觀圖時應注意的兩個問題

(1)注意空間幾何體的不同放置對三視圖的影響.

(2)畫直觀圖注意平行性、長度兩個要素.

3條規(guī)則——畫三視圖時應遵循的三條規(guī)則

(1)畫法規(guī)則：“長對正，寬相等，高平齊”.

(2)擺放規(guī)則：側(cè)視圖在正視圖的右側(cè)，俯視圖在正視圖的正下方.

(3)實虛線的畫法規(guī)則：可見輪廓線和棱用實線畫出，不可見線和棱用虛線畫出.

［全盤鞏固］

一、選擇題

1.充滿氣的車輪內(nèi)胎(厚度忽略不計)可山下面某個圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成，這個圖形是

()

解析：選C選項A得到的是空心球；D得到的是球面；B得到的是空心的環(huán)狀幾何體；

選項C得到的是車輪內(nèi)胎.

2.(2015?長春模擬)已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正

三角形，那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為()

11

正視圖

2

解析：選B由正視圖可看出長為2的側(cè)棱垂直于底面，側(cè)視圖為直角三角形，直角邊

長為2,另一直角邊為底邊三角形的高小.故側(cè)視圖可能為B.

3.給出下列四個命題：

①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；②對角面是全等矩形的六面體一定是長

方體；③有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④長方體一定是正四棱柱.其中正確的

命題個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

解析：選A①直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱，故①錯；②底面是

等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長方體，故②錯；③④顯然錯誤，故選A.

4.（2015?煙臺模擬）一個簡單幾何體的正視圖，側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖不可能為：

①長方形；②直角三角形；③圓；④橢圓.

正視圖側(cè)視圖

其中正確的是（）

A.①B.②C.③D.?

解析：選C當該幾何體的俯視圖為圓時，由三視圖知，該幾何體為圓柱，此時正視圖

和側(cè)視圖應相同，所以該幾何體的俯視圖不可能是圓，其余都有可能.故選C.

5.（2015?江西，、校聯(lián)考）底面水平放置的正三棱柱的所有棱長均為2,當其正視圖有最

大面積時，其側(cè)視圖的面積為（）

A.273B,3

C.小D.4

解析：選A當正視圖的面積最大時，可知其為正三棱柱某個側(cè)面的面積，可以按如圖

所示放置，此時S他=24.

二、填空題

6.在如圖所示的直觀圖中，四邊形O'A'B'C'為菱形

且邊長為2cm,則在xOy坐標系中，四邊形ABCO為,面積為cm2.

解析：由斜二測畫法的特點，知該平面圖形的直觀圖的原圖，即在xOy坐標系中，四邊

形ABCO是長為4cm,寬為2cm的矩形，所以四邊形ABCO的面積為8cm2.

答案：矩形8

7.如圖所示，在正方體ABCD-ABCD中，點P是上底面ABCD內(nèi)一動點，則三棱錐P-ABC

的正視圖與側(cè)視圖的面積的比值為一

解析：三棱錐P-ABC的正視圖與側(cè)視圖為底邊和高均相等的三角形，故它們的面積相等,

兩者面積的比值為1.

答案：1

8.正四棱錐的底面邊長為2,側(cè)棱長均為十，其正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形,

則正視圖的周長為.

解析：

由題意知，正視圖就是如圖所示的截面PEF,其中E,F分別是AD,BC的中點，則BF=1,

在Rt^PBF中，BF=1,PB=[5,于是PF=*,同理PE=*,故其正視圖的周長為2+2*.

答案：2+2加

三、解答題

9.已知：圖①是截去一個角的長方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖②是某幾何體

的三視圖，試說明該幾何體的構(gòu)成.

俯視圖

圖①圖②

解：圖①幾何體的三視圖為:

圖②所示的幾何體是上面為正六棱柱、下面為倒立的正六棱錐的組合體.

10.已知正三棱錐V-ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖，如圖所示.

正視圖例視圖

傭視圖

(1)畫出該三棱錐的直觀圖;

(2)求出側(cè)視圖的面積.

解：(1)直觀圖如圖所示.

.■?SAVBC=^X2^/5X2^/5=6.

［沖擊名校］

（2015?長沙模擬）將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的

側(cè)視圖為（）

ABCD

解析：選D如圖所示，點。的投影為G,點D的投影為C,點A的投影為B,故選D.

第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積鬻

【考綱下載】

了解球體、柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式（不要求記憶）.

O匕F知識?練中問扣O憶教材夯基提能

??＞知識清單

一、必備知識

1.多面體的表（側(cè)）面積

因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積

是側(cè)面積與底面面積之和.

側(cè)面積S閥分物=

S網(wǎng)柱惻=2兀rlS?如悔側(cè)=皿

公式兀(—

3.空間幾何體的表面積和體積公式

名稱

表面積體積

幾何體

柱體

S衣面積=S例+2S底V=Sh

(棱柱和圓柱)

錐體V=|sh

S表面積=S側(cè)+S底

(棱錐和圓錐)

臺體S表面積=S側(cè)+V=j(Si-,+SF+

(棱臺和圓臺)S上十S下dss)h

球S=47tR2V=R3

占J---

二、必記結(jié)論

1.與體積有關(guān)的幾個結(jié)論

(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

(2)等底面面積且高相等的兩個同類幾何體的體積相等.

2.幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

(1)正方體的棱長為a,球的半徑為R,

①若球為正方體的外接球，則2R=45a；

②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R=a；

③若球與正方體的各棱相切，則2R=，ia.

(2)長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=^a2+b2+c2.

(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

?>>對點演練

一、思考辨析

判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“鏟，錯誤的打“x”)

(1)錐體的體積等于底面面積與高之積.()

(2)球的體積之比等于半徑之比的平方.()

(3)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.()

(4)圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是

271s.()

提示：(1)錯誤.由錐體的體積公式可知錯誤.

(2)錯誤.由球的體積公式可知球的體積之比等于半徑之比的立方.

(3)正確.根據(jù)臺體與錐體之間的關(guān)系可知正確.

(4)錯誤.由條件可知，圓柱的底面周長為正方形的邊長，設(shè)圓柱的底面半徑為r,則有S

irr2,從而圓柱側(cè)面積為47rs.

答案：(l)x(2)x(3)<(4)x

二、牛刀小試

1.一個正方體的體積是8,則這個正方體的內(nèi)切球的表面積是()

A.87tB.6兀C.4nD.兀

解析：選C設(shè)正方體的棱長為a,貝ija?=8,即a=2.

故該正方體的內(nèi)切球的半徑r=l,

所以該正方體的內(nèi)切球的表面積S=4兀『=4兀

2.一個幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的體枳為()

俯視圖

A.2兀+4B.2兀+8

C.4兀+4D.4兀+8

解析：選B由三視圖知該幾何體的上面是一個半圓柱，下面是一個長方體，則由三視

圖的尺寸知該幾何體的體積為V=1x2x4+1x7tx12X4=8+2n.

3.側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐的表面積是.

解析：側(cè)面都是直角三角形，故側(cè)棱長等于半a,

-cz。亞,、1/啦丫3+小2

所以S=+3x5x(苛aI=-a.

答案:

4.表面積為37r的圓錐，它的側(cè)面展開圖是?個半圓，則該圓錐的底面直徑為

解析：設(shè)圓錐的母線為1,圓錐底面半徑為r,由題意可知，

Ttrl+?！?3兀，且兀1=2加.解得r=1,即直徑為2.

答案：2

5.如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD-ABGDi中,P是A|B|上一點，且PB|="B，

則多面體P-BCC|Bi的體積為.

解析：由題意知，VP-BCGB1=

■^SBCC|B|-PB|=^x42xl=-y.

答案:y

o熱點題型.分類突破o析考點強化認知

考點一空間幾何體的表面積

[例1]（1）（2015?臨沂模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖中的圓弧是半圓,

則該幾何體的表面積為（）

A.92+1471B.82+1471

C.92+24兀D.82+24)1

（2）（2015?天水模擬）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

俯視圖

A.6+7小B.10+V3

C.12+小D.12

(3)(2014?山東高考)一個六棱錐的體積為2s,其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長

都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為.

［聽前試做］

E

H

(1)由幾何體的三視圖，知該幾何體的下半部分是長方體，上半部分是半徑為2,高為5

的圓柱的一半.在長方體中EH=4,HG=4,GK=5，所以長方體的表面積(去掉一個上底面)

為2(4x4+4x5)+4x5=92.半圓柱的兩個底面積為兀><2?=4兀泮圓柱的側(cè)面積為7tx2x5=10兀,

所以整個組合體的表面積為92+4兀+107r=92+14n,選A.

(2)由三視圖知，原幾何體為一個三棱柱截去一個三棱錐，三棱柱的底面為邊長是2的等

邊三角形高為2所以該幾何體的表面積為S=1x2xA/3+3x2x2-2x|x2xl+32乂2=12+小.

故選C.

(3)由題意可知，該六棱錐是正六棱錐，設(shè)該六棱錐的高為h,則;x6xWx22xh=2小，解

得h=1,底面正六邊形的中心到其邊的距離為小,故側(cè)面等腰三角形底邊上的高為2,故該

六棱錐的側(cè)面積為$12x2=12.

答案：(1)A(2)C⑶12

方法?規(guī)律

空間幾何體表面積的求法

(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間

的位置關(guān)系及數(shù)量.

⑵多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

⑶旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應用.

口變式訓練

一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為.

\■nrii

-i1—2—-I1I——QS-2—?IQ5I-

該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為長為4,寬為3,高為1的長方體內(nèi)部挖去一個

底面半徑為1,高為1的圓柱.

，S*=2x（4+3+12）+2兀-27t=38.

答案：38

高頻考點，發(fā)散思維

空間幾何體的體積

考點二

空間幾何體的體積是每年高考的熱點之一，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難

度較小，屬容易題.歸納起來，且主要有以下幾個命題角度：

角度一：求以三視圖為背景的幾何體的體積

[例2]（2014?安徽高考）一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為（）

A字47

B6C.6D.7

［聽前試做］如圖，由三視圖可知，該幾何體是由棱長為2的正方體從右后和左下分別

截去一個小三棱錐得到的，其體積為V=8-2xgxlxgxlxl=?.

答案:A

角度二：求簡單幾何體的體積

［例3］（2014?山東高考）三棱錐P-ABC中，D,E分別為PB,PC的中點，記三棱錐D-ABE

的體積為V1,P-ABC的體積為V2，則稱=

［聽前試做］

如圖，設(shè)點C到平面PAB的距離為h,ZXPAB的面積為S，則V2=：Sh,V1=VE.ADB=1

1111

所

X-sX-h以V_I-

22sh4

12V2

1

案

答-

4

角度三：求組合體的體積

［例4］（2014?天津高考）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為

俯視圖

［聽前試做」由三視圖可得該幾何體是組合體，上面是底面圓的半徑為2m、高為2m的

圓錐，下面是底面圓的半徑為1m、高為4m的圓柱，所以該幾何體的體積是:x4兀、2+4兀=半

m3.

口.3

方法?規(guī)律

空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略

(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行

求解.

(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等

方法進行求解.

(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條

件求解.

口變式訓練

1.(2013?山東高考)一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如右圖

所示，則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是()

O

A.4小，8B.4&]

Q

C.4(75+1),3D,8,8

解析：選B由題意可知該四棱錐為正四棱錐，底面邊長為2,高為2,側(cè)面上的斜高為

?\^22+I2=小，所以S=4xgx2x小)=4小,V=1X22X2=

2.如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且AADE,ABCF

解析：選A如圖，分別過點A,B作EF的垂線，垂足分別為G,H,連接DG,CH,

容易求得EG=HF=g,AG=GD=BH=HC=^,

1啦I啦

SAAGD=SABHC=XX1==

224:、V-VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC2VE-ADG+VAGD-BHC

1應1c近,也母注入

=3X4x2x2+4x1=拳故選A.

3.（2013?湖北高考）一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體

組成，其體枳分別記為V1,v2,v3,v4,上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾

何體均為多面體，則有（)

A.V1<V2<V4<V3B.V1<V3<V2<V4

C.V2<VJ<V3<V4D.V2<V3<VJ<V4

解析：選C由題意可知，由于上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾何體

均為多面體.根據(jù)三視圖可知，最上面一個簡單幾何體是上底面圓的半徑為2,下底面圓的

半徑為1,高為1的圓臺，其體積V產(chǎn)31x(12+22+ix2)*l7=1TV；從上到下的第二個簡單幾

何體是一個底面圓半徑為1,高為2的圓柱，其體積V2=012x2=2兀；從上到下的第三個簡

3

單幾何體是棱長為2的正方體，其體積V3=2=8；從上到下的第四個簡單幾何體是一個棱

臺，其上底面是邊長為2的正方形，下底面是邊長為4的正方形，棱臺的高為1,故體積V4

=|x(22+2x4+42)xl=y，比較大小可知答案選C.

題根遷移，多維探究

與球有關(guān)的切、接問題

考點三

［例5］(2015?沈陽模擬)一知直三棱柱ABC-A］B1G的6個頂點都在球O的球面上，若

AB=3,AC=4,AB±AC,AA|=12,則球O的半徑為()

B.C.yD.3y［\0

［聽前試做］如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.

又AM=1BC=|,OM=；AAi=6,

所以球O的半徑R=OA=

答案:C

［探究1］本例若將直三棱柱改為“棱長為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體

積各是多少？

解：由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內(nèi)

切球的直徑.設(shè)該正方體外接球的半徑為R,內(nèi)切球的半徑為r.

又正方體的棱長為4,故其體對角線長為4小,

從而V外接球='兀1<3二3'（2?。?=32小兀，

“434c332兀

V內(nèi)切球=§兀「=§兀x2=—.

［探究2］本例若將直三棱柱改為“正四面體”，則此正四面體的表面積Si與其內(nèi)切球的

表面積S2的比值為多少?

解：正四面體棱長為a,則正四面體表面積為S1=4-Y-a2=V3a2,其內(nèi)切球半徑r為正

亞

1亞

-因此內(nèi)切球表面積為，=而耳,嚕=誓=乎.

四面體高的1，即r43a=

12

6

［探究3］本例中若將直三棱柱改為“側(cè)棱和底面邊長都是3^2的正四棱錐”，則其外接

球的半徑是多少？

解：依題意得，該正四棱錐的底面對角線的長為3啦x啦=6,

因此底面中心到各頂點的距離均等于3,

所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.

方法?規(guī)律

與球有關(guān)的組合體的類型及解法

（1）球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作出它們的軸截面解題.

（2）球與多面體的組合，通常過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖,

把空間問題化歸為平面問題.

一變式訓練

（2013?新課標全國卷I）如圖所示，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高

8cm,將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深6cm,

如果不計容器厚度，則球的體枳為（）

A500K3-866兀

A.—cmB.cm3

-1372兀3n2048兀

C.—cmD.cm3

解析：選A設(shè)球半徑為Rem,根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的

半徑為4cm,球心到截面的距離為田-2)地，所以由42+供-2)2=1<2,得口=5,所以球的

體積V=1nR3=今*53=cm3.

--------［課堂歸納——通法領(lǐng)悟］--------

1種思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想

計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般是將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為宜’來解決，因此要

熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.

2種方法——割補法與等積法

(1)割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進

行解決.

(2)等積法：等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面

積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，

特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)

的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值.

2個注意點——求空間幾何體的表面積應注意兩點

(1)求組合體的表面積時，要注意各幾何體重疊部分的處理.

(2)底面是梯形的四棱柱側(cè)放時，容易和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義，以防出錯.

6能力素養(yǎng)?綜合驗收O練技能查漏補缺

［全盤鞏固］

一、選擇題

1.（2015?許昌模擬）如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方

形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為（）

3n

A.4nB.C.3兀D.2冗

37T

解析：選B由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱,S表=2X冗XTTX1X1=

2.用平面a截球0所得截面圓的半徑為3,球心0到平面a的距離為4,則此球的表

面積為（）

100n500元

A.B3C.75JiD.100n

3

解析：選D易求得球的半徑為轉(zhuǎn)二了=5,所以球的表面積為S=4兀d=io07T.

3.（2014?遼寧高考）某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

俯視圖

nn

A.8-2nB.8-nC.8-—D.8~—

24

解析：選B直觀圖為棱長為2的正方體割去兩個底面半徑為1的;圓柱，所以該幾何體

的體積為23-2XTTX12X2X1=8-TT.

4.已知圓錐的表面積為a,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面直徑是

（）

a、/3幾a八2鏡-a2^/^

A.-B.------C.-T-------D.-r—

解析：選C設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為1,由題意知27ir=rr1,=2r,則圓

錐的表面積5表=nr2+2nr~=a,/.r2=z^-,「?2r=?害"

37T3rr

5.（2014?重慶高考）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.12B.18C.24D.30

解析：選C此幾何體是由一個三棱柱截去一個三棱錐得到的，三棱柱和三棱錐的底面

都是直角三角形，兩直角邊長分別為3和4,其面積為6,三棱柱的高為5,三棱錐的高為3,

所以該幾何體的體積為6X5-；X6X3=24,選C.

二、填空題

6.（2015?南京模擬）已知圓錐的母線長為2,高為小,則該圓錐的側(cè)面積是.

解析：由圓錐的性質(zhì)知其底面圓的半徑為、2?-（鎘底=1,所以圓錐的側(cè)面積為S?=

nrl=7TxiX2=2TT.也可以將圓錐側(cè)面展開成扇形來處理.

答案：2n

7.球0與底面邊長為3的正三棱柱的各側(cè)面均相切，則球0的表面積為.

解析:設(shè)球0的半徑為R,底面正三角形內(nèi)切圓半徑就是球0的半徑，則R=羋,

因“匕球0的表面積S=47TR-=37T.

答案：3n

8.（2014?江蘇高考）設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為3,S2,體積分別為%,V2（若

它們的側(cè)面積相等，且金=*則孩的值是________.

024V2

S,Q

解析：設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面半徑分別是口，母線長分別是L,I2.則由丁=彳可得

024

4='.又兩個圓柱的側(cè)面積相等，即27rr/i=2兀01_2,則?=工=.，所以9=14二？xf

r2212rl3V2S2I2