湖南省衡陽市江河中學高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析

湖南省衡陽市江河中學高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.

二次函數(shù)的對稱軸為，則當時，的值為

(

）A．

B．1

C．17

D．25參考答案：D2.已知函數(shù)，則“函數(shù)f（x）有兩個零點”成立的充分不必要條件是a∈（）A．（0，2] B．（1，2] C．（1，2） D．（0，1]參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；函數(shù)零點的判定定理．【分析】x=1時，f（1）=2﹣a＞0，解得a＜2．x＞1時，f（x）=﹣x+a，此時函數(shù)f（x）一定有零點．x＜1時，f（x）=2x﹣a，由存在x，使得2x﹣a≤0，則a≥（2x）min，可得a＞0．“函數(shù)f（x）有兩個零點”成立的充要條件是a∈（0，2）．進而得出結論．【解答】解：x=1時，f（1）=2﹣a＞0，解得a＜2．x＞1時，f（x）=﹣x+a，此時函數(shù)f（x）一定有零點．x＜1時，f（x）=2x﹣a，由存在x，使得2x﹣a≤0，則a≥（2x）min，∴a＞0．∴“函數(shù)f（x）有兩個零點”成立的充要條件是a∈（0，2）．∴“函數(shù)f（x）有兩個零點”成立的充分不必要條件是a∈（1，2）．故選：C．3.已知平面區(qū)域，直線和曲線有兩個不同的交點，它們圍成的平面區(qū)域為M，向區(qū)域上隨機投一點A，點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為，若，則的取值范圍為A．

B．

C．

D．

參考答案：D已知直線過半圓上一點（－2,０），當ｍ＝０時直線與ｘ軸重合，這時，故可排除A,B,若ｍ＝１，如圖可求得當，故選D.高考資源網(wǎng)w。w-w*k&s%5￥u4.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構成，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A由題意得到該幾何體是一個組合體，前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐，體積為故答案為：A.

5.已知橢圓的一個焦點到相應準線的距離等于橢圓長半軸的長，則這個橢圓的離心率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D6.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=kn2+n，且a10=39，則a100=（）A．200 B．199 C．299 D．399參考答案：D【考點】數(shù)列的概念及簡單表示法．【分析】由Sn=kn2+n，可得n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2kn﹣k+1，利用a10=39，解得k=2．即可得出．【解答】解：∵Sn=kn2+n，∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=kn2+n﹣[k（n﹣1）2+（n﹣1）]=2kn﹣k+1，∵a10=39，∴20k﹣k+1=39，解得k=2．∴an=4n﹣1則a100=400﹣1=399．故選：D7.下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.在平面直角坐標系中，已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,點Q滿足=(a+b).曲線C={P|=acos+bsin,0＜2},區(qū)域={P|0＜r||R,r＜R}．若C∩為兩段分離的曲線，則（A）1＜r＜R＜3

（B）1＜r＜3≤R（C）r≤1＜R＜3

（D）1＜r＜3＜R參考答案：A9.如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側棱，是上底面上其余的八個點，則的不同值的個數(shù)為（

）（A）1

(B)2

(C)4

(D)8參考答案：

A

10.如右圖，某幾何體的主（正）視圖與左（側）視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知角α的終邊過點A（3，4），則cos（π+2α）=．參考答案：【考點】GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】根據(jù)任意三角函數(shù)的定義求出cosα的值，化簡cos（π+2α），根據(jù)二倍角公式即可得解．【解答】解：角α的終邊過點A（3，4），即x=3，y=4．∴r==5．那么cosα=．則cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=1﹣=．故答案為：．12.已知f(x)＝log(x2－ax＋3a)在區(qū)間[2，＋∞)上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______________.參考答案：a∈(－4,4]13.設方程x3﹣3x=k有3個不等的實根，則常數(shù)k的取值范圍是

．參考答案：（﹣2，2）考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：利用導數(shù)，判斷出函數(shù)的極值點，用極值解決根的存在與個數(shù)問題．解答： 解：設f（x）=x3﹣3x，對函數(shù)求導，f′（x）=3x2﹣3=0，x=﹣1，1．x＜﹣1時，f（x）單調(diào)增，﹣1＜x＜1時，單調(diào)減，x＞1時，單調(diào)增，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，要有三個不等實根，則直線y=k與f（x）的圖象有三個交點，∴﹣2＜k＜2故答案為：（﹣2，2）．點評：學會用導數(shù)及單調(diào)性處理根的存在與個數(shù)問題，極值的正負是解決此問題的關鍵．是中檔題．14.若關于的函數(shù)（）的最大值為，最小值為，且，則實數(shù)的值為

．參考答案：2【知識點】函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的最值.B3

B4解析：，設：，因為是奇函數(shù)，所以函數(shù)的最大值與最小值互為相反數(shù)，所以，所以t=2.【思路點撥】函數(shù)f(x)可化為常數(shù)t與奇函數(shù)的和，而奇函數(shù)的最大值與最小值的和為0，所以，所以t=2.15.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），復數(shù)，則一個以為根的實系數(shù)一元二次方程是________.

參考答案：16.直三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在球O的球面上．若AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，AA1＝2，則球O的表面積為____________．參考答案：1617.正整數(shù)、滿足，若關于、的方程組有且只有一組解，則的最大值為

.參考答案：2016【測量目標】分析問題與解決問題的能力/能綜合運用基本知識、基本技能、數(shù)學基本思想方法和適當?shù)慕忸}策略，解決有關數(shù)學問題.【知識內(nèi)容】函數(shù)與分析/函數(shù)及其基本性質(zhì)/函數(shù)的基本性質(zhì).【試題分析】令,在同一坐標系中作出兩函數(shù)的圖像如圖所示，要使得關于的方程組有且只有一組解，則只需兩函數(shù)的圖像有且只有一個交點，所以有，由得，，又，所以，所以的最大值為2016，故答案為2016.

apf1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}．(1)當a＝3時，求A∩B，A∪(?UB)；(2)若A∩B＝?，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)∵a＝3，∴A＝{x|－1≤x≤5}．由x2－5x＋4≥0，得x≤1，或x≥4，故B＝{x|x≤1，或x≥4}．∴A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}．A∪(?UB)＝{x|－1≤x≤5}∪{x|1＜x＜4}＝{x|－1≤x≤5}．(2)∵A＝[2－a,2＋a]，B＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，且A∩B＝?，∴解得a＜1.19.已知圓F1：（x+1）2+y2=16，定點F2（1，0），A是圓F1上的一動點，線段F2A的垂直平分線交半徑F1A于P點．（Ⅰ）求P點的軌跡C的方程；（Ⅱ）四邊形EFGH的四個頂點都在曲線C上，且對角線EG，F(xiàn)H過原點O，若kEG?kFH=﹣，求證：四邊形EFGH的面積為定值，并求出此定值．參考答案：【分析】（Ⅰ）利用橢圓的定義，即可求P點的軌跡C的方程；（Ⅱ）不妨設點E、H位于x軸的上方，則直線EH的斜率存在，設EH的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，求出面積，即可證明結論．【解答】（Ⅰ）解：因為P在線段F2A的中垂線上，所以|PF2|=|PA|．所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4＞|F1F2|，所以軌跡C是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，且c=1，a=2，所以，故軌跡C的方程．（Ⅱ）證明：不妨設點E、H位于x軸的上方，則直線EH的斜率存在，設EH的方程為y=kx+m，E（x1，y1），H（x2，y2）．聯(lián)立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，則．①由，得．②由①、②，得2m2﹣4k2﹣3=0．③設原點到直線EH的距離為，，④由③、④，得，故四邊形EFGH的面積為定值，且定值為．20.（12分）（2015?大觀區(qū)校級四模）已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當a=1且k∈z時，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．參考答案：考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．

專題： 綜合題；導數(shù)的概念及應用．分析： （1）易求f′（x）=a+1+lnx，依題意知，當x≥e時，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e時，a≥（﹣1﹣lnx）max，從而可得a的取值范圍；（2）依題意，對任意x＞1恒成立，令則，再令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上單增，從而可求得g（x）min=x0∈（3，4），而k∈z，從而可得k的最大值．解答： 解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，又函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，+∞）上為增函數(shù)，∴當x≥e時，a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范圍為[﹣2，+∞）；

（2）當x＞1時，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）?k＜，即對任意x＞1恒成立．令則，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），則在（1，+∞）上單增．∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，即當1＜x＜x0時，h（x）＜0，即g′（x）＜0，當x＞x0時，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上單減，在（x0，+∞）上單增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，=x0∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即kmax=3．點評： 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，著重考查等價轉化思想與函數(shù)恒成立問題，屬于難題．21.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，．（1）求A；（2）當時，求△ABC的面積．參考答案：（1）；（2）．∵，∴，即．∴，，，則．（2）∵，∴，，∵，∴，由正弦定理，可得，，所以．22.已知函數(shù)．（1）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（3）設函數(shù)，求證：．參考答案：（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是（2）；（3）證明見解析試題分析：（1）函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，則若，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；若可導函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉化為恒成立，從而構建不等式，要注意“=”是否可以取到.（2）含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來處理；二是分離參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般后者