定積分在幾何上的應(yīng)用09528

第二節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用二、體積一、平面圖形的面積三、平面曲線的弧長(zhǎng)1一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線及x軸所圍曲邊梯形面積為A.取x為積分變量，其變化區(qū)間為[a,b]，取任一小區(qū)間[x,x+dx],從而此區(qū)間的窄曲邊梯形面積可以由底為dx、高為f(x)的窄矩形面積f(x)dx近似表示,所以面積元素為2解:例1.相應(yīng)于其間任一區(qū)間[x,x+dx]的窄條面積近似等于底為dx,高為的窄矩形面積3解:得交點(diǎn)計(jì)算拋物線與直線的面積.所圍圖形為簡(jiǎn)便計(jì)算,選取y作積分變量,則y的變化區(qū)間為[2,4].例2.由相應(yīng)于任一區(qū)間[y,y+dy]的窄條面積近似等于底為dy,高為的窄矩形面積,從而4故思考:為什么此處選取y為積分變量?5由對(duì)稱性知總面積等于第一象限部分面積的4倍．解：例3.橢圓的參數(shù)方程為或?qū)⒋肭蠓e分也可.取x為積分變量，其變化區(qū)間為[0,a].62.極坐標(biāo)系的情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為7對(duì)應(yīng)

計(jì)算阿基米德螺線解:從0變到2

所圍圖形面積.例4.8利用對(duì)稱性知解:例5.9二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積圓柱圓錐圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.10xyo旋轉(zhuǎn)體體積求法11旋轉(zhuǎn)體的體積為類似地，12解:例6.xx1314解:例7.15于是旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為16解:例8.17182.平行截面面積已知的立體的體積如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.xyo19特別,考慮連續(xù)曲線段考慮連續(xù)曲線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積為軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積為20解:例9.如圖建立直角坐標(biāo)系.21解:例10.22三、平面曲線的弧長(zhǎng)并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，若折線的長(zhǎng)的極限存在，則稱此極限為曲線弧的弧長(zhǎng)，并稱是可求長(zhǎng)的.定理:任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.231.直角坐標(biāo)系情形弧長(zhǎng)的計(jì)算24所求弧長(zhǎng)為解:例11.252.參數(shù)方程情形26