福建省龍巖北大附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022-2023學(xué)年八下期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

龍巖北附2022—2023學(xué)年第二學(xué)期八年級(jí)期中試卷數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1.下列式子為最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】最簡二次根式符合兩個(gè)條件：被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)中不含有開得盡方的因數(shù)或因式，根據(jù)定義逐一判斷即可.【詳解】解：，故A不符合題意；，故B不符合題意；，故C不符合題意；是最簡二次根式，故D符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是最簡二次根式的判斷，掌握“最簡二次根式的定義”是解本題的關(guān)鍵.2.如圖，已知菱形ABCD的周長為8，∠A＝60°，則對(duì)角線BD的長是()A.1 B. C.2 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形ABCD的周長，求出菱形ABCD的邊長，再由∠A＝60°，斷定△ABD是等邊三角形，從而求解．【詳解】∵菱形ABCD的周長為8，

∴菱形ABCD的邊長＝8÷4＝2，

∵∠A＝60°，AD＝AB，

∴△ABD等邊三角形，

∴AB＝BD，

∴BD＝2，

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是證明△ABD是等邊三角形，屬于中考常考題型．3.下列各組線段長度能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A.5，12，13 B.6，7，8 C.3，4，6 D.7，12，15【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理（看看兩小邊的平方和是否等于大邊的平方）分別進(jìn)行判斷即可．詳解】A、∵52+122=132，∴以5，12，13為邊的三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；B、∵62+72≠82，∴以6，7，8為邊三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵32+42≠62，∴以3，4，6為邊的三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵72+122≠152，∴以7，12，15為邊的三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能熟記定理．4.函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則這個(gè)函數(shù)的解析式是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出k值即可得解．【詳解】解：∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，∴正比例函數(shù)的解析式為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式計(jì)算即可，比較簡單．5.如圖，的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，是AB中點(diǎn)，且AE+EO=4，則的周長為A.20 B.16 C.12 D.8【答案】B【解析】【分析】首先證明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解決問題；【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四邊形ABCD周長=2×8=16，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的中位線定理，屬于中考常考題型．6.已知，如圖，一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時(shí)后，則兩船相距（）A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程=速度×?xí)r間，得兩條船分別走了32，24．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【詳解】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴∠BAC=90°，兩小時(shí)后，兩艘船分別行駛了16×2=32海里，12×2=24海里，根據(jù)勾股定理得：（海里）．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，方位角問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，基礎(chǔ)知識(shí)，比較簡單．7.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是4、5、2、4，則最大正方形E的面積是（）A.15 B.61 C.69 D.72【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可知：直角三角形兩個(gè)直角邊平方的和等于斜邊的平方．兩個(gè)相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個(gè)大正方形的面積．【詳解】解：如下圖：由勾股定理可知：，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理，本題屬于基礎(chǔ)題型．8.下列說法正確的是（）A.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形D.四個(gè)角相等的四邊形是矩形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定逐項(xiàng)判斷即可【詳解】解：A：對(duì)角線互相垂直且平分的的四邊形是菱形，故A錯(cuò)誤，不符合題意B：四條邊都相等且有一個(gè)角為直角的平形四邊形是正方形，故B錯(cuò)誤，不符合題意C：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故C錯(cuò)誤，不符合題意D：四個(gè)角相等的四邊形是矩形，說法正確，符合題意故選D【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定，掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解題關(guān)鍵．9.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，連接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的長為（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)菱形的面積和性質(zhì)求出BD的長度，再結(jié)合DH⊥BC和菱形的性質(zhì)識(shí)別出OH為斜邊上的中線，即可得出結(jié)果．【詳解】解：菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，S菱形ABCD＝24，∴，，S菱形ABCD．∵OA＝4，∴．∵DH⊥BC于點(diǎn)H，∴OH為斜邊上的中線．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，識(shí)別出OH為斜邊上的中線是解題關(guān)鍵．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是長方形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（10，0），C（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.（3，4），（2，4） B.（3，4），（2，4），（8，4）C.（2，4），（8，4） D.（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）【答案】B【解析】【分析】分為兩種情況：①OD＝OP，求出CP，即可求出P的坐標(biāo)；②DP＝OD＝5，此時(shí)有兩點(diǎn)，過P′作P′N⊥OA于N，求出CP′即可；同法可求P″的坐標(biāo)．【詳解】解：有兩種情況：①以O(shè)為圓心，以5為半徑畫弧交BC于P點(diǎn)，此時(shí)OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理得PC=3，則P的坐標(biāo)是（3，4）；②以D為圓心，以5為半徑畫弧交BC于P′和P″點(diǎn)，此時(shí)DP′=DP″=OD=5，過P′作P′N⊥OA于N，Rt△OP′N中，設(shè)ON=x，則DN=5-x，P′N=4，DP′=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，解得：x=2，則P′的坐標(biāo)是（2，4）；過P″作P″M⊥OA于M，設(shè)BP″=a，則DM=5-a，P″M=4，DP″=5，在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，解得：a=2，∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P″的坐標(biāo)是（8，4）；假設(shè)OP=PD，則由P點(diǎn)向OD邊作垂線，交點(diǎn)為Q，則有PQ2十QD2=PD2，∵OP=PD=5=OD，∴此時(shí)的△OPD為正三角形，于是PQ=4，QD=OD=，PD=5，代入PQ2十QD2=PD2，不成立，所以排除此種可能．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的判定的應(yīng)用，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵，注意：一定要進(jìn)行分類討論．二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_________．【答案】且【解析】【分析】根據(jù)開平方時(shí)，被開方數(shù)不能小于零，分母不能為零，從而求出自變量x的取值范圍．【詳解】解：由題可知，且，且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了自變量的取值范圍，掌握此函數(shù)關(guān)系式中分母不為0，被開方數(shù)大于等于0是解題的關(guān)鍵．12.平行四邊形的周長為16，一邊長為5，則另一條鄰邊長為________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，求出兩鄰邊的和，再根據(jù)題意求解即可．【詳解】解：，．，故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟記平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.在中，，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)即可得出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)；解答本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)．14.已知直角三角形的兩條邊為，這個(gè)直角三角形第三邊的長為_____．【答案】或【解析】【分析】分兩種情況結(jié)合勾股定理解答，即可求解．【詳解】解：當(dāng)這個(gè)直角三角形的兩直角邊分別為時(shí)，該三角形的斜邊的長為；當(dāng)為直角邊，為斜邊時(shí)，第三邊長為．綜上所述，這個(gè)直角三角形第三邊的長為或．故答案為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．15.已知四邊形ABCD中，，，，若，，則四邊形ABCD的面積為________．【答案】或【解析】【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，然后過A作AE⊥BC垂足為E,然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得AE，再說明四邊形ABCD是等腰梯形和平行四邊形兩種情況解答即可．【詳解】解：如圖：過A作AE⊥BC垂足為E∵∴∠BAE=30°∵AB=6∴BE=,=6∴①∵,=6∴四邊形ABCD是等腰梯形∴AD=BC-2BE=9-2×3=3∴四邊形ABCD的面積為．②∵,=6∴四邊形ABCD是平行四邊形∴四邊形ABCD的面積為．故答案為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半是解答本題的關(guān)鍵．16.如圖，正方形的邊長為3，E是上一點(diǎn)，，連接與相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，交于點(diǎn)G，連接，則點(diǎn)E到的距離為_____．【答案】【解析】【分析】本題首先經(jīng)過分析可得，由全等三角形的性質(zhì)和邊角關(guān)系可得為等腰直角三角形，進(jìn)而為等腰直角三角形，由勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，作，連接，在正方形ABCD中，，在和中，，，，，，在四邊形ABGF中，，又，，，，，等腰直角三角形，，為等腰直角三角形，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等，等腰直角三角形的判定，勾股定理，直角三角形中銳角三角函數(shù)，題目綜合性強(qiáng)，理清思路，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題：（本大題有9小題，共86分）17.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則，將二次根式化為最簡二次根式，利用零指數(shù)冪、絕對(duì)值的求法計(jì)算，最后進(jìn)行加減運(yùn)算即可得出．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算的理解與運(yùn)用能力．二次根式的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面的．一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．任何不等于0的數(shù)的零次冪都等于1．靈活運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算法則先將各個(gè)二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行加減運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．18.已知的小數(shù)部分是a，的小數(shù)部分b，求ab的值．【答案】【解析】【分析】估算出的大小，進(jìn)而表示出，即可求解．【詳解】解：，，∵的小數(shù)部分是a，的小數(shù)部分b，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的估算，二次根式的混合運(yùn)算，正確的求得的值是解題的關(guān)鍵．19.已知：中，，，，求和的長．【答案】、【解析】【分析】作，在兩直角三角形中分別根據(jù)勾股定理即可解答本題．【詳解】解：作，，，，在，根據(jù)勾股定理得，，，，，則，在，根據(jù)勾股定理得．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正確做出輔助線并根據(jù)勾股定理列出關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．20.如圖，在矩形中，O為的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：四邊形是菱形．【答案】證明見解析【解析】【分析】先證四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形對(duì)角線垂直證得菱形．【詳解】證明：如圖，∵四邊形是矩形，∴∴∵O為的中點(diǎn)∴∵∴≌（）∴∴四邊形是平行四邊形又∵∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定定理，對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形．21.如圖，在平行四邊形中，，在取一點(diǎn)E，使得，連接．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：作的角平分線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)O；（保留作圖痕跡，不寫作法和結(jié)論）（2）根據(jù)（1）中作圖，經(jīng)過學(xué)習(xí)小組討論發(fā)現(xiàn)，并給出以下證明，請將證明過程補(bǔ)充完整．證明：________________四邊形為平行四邊形________________平分________________四邊形為平行四邊形________________即在中，．【答案】（1）見解析；（2），，，．【解析】【分析】（1）利用基本作圖作的平分線即可；（2）先由得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到，則，接著利用和平行線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到．【小問1詳解】解：如下圖：【小問2詳解】證明：四邊形為平行四邊形平分四邊形為平行四邊形即在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，掌握平行四邊形和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.如圖，正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE，CE，延長AE交CD邊于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）若，，求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得出邊角相等的關(guān)系，證明三角形全等就可證；（2）利用全等三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和變形就可求出β與α之間的數(shù)量關(guān)系．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴，，，在和中，，∴（SAS），∴；【小問2詳解】證明：由（1）知，，又∵，∴，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握以上知識(shí)點(diǎn)結(jié)合圖形靈活運(yùn)用是做出本題的關(guān)鍵．23.閱讀材料：黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合璧，天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個(gè)人合在一起，取長補(bǔ)短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對(duì)子”，如：，它們的積不含根號(hào)，我們說這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式．于是，二次根式除法可以這樣解：如，．當(dāng)然也可以利用得，故，像這樣，通過分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化．解決問題：（1）化簡：；（2）計(jì)算：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平方差公式可以將分母有理化，然后化簡即可；（2）根據(jù)分母有理化的方法，可以將式子化簡，然后計(jì)算加減法即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．【點(diǎn)睛】此題考查了分母有理化，涉及了平方差公式和二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的有關(guān)運(yùn)算．24.如圖，在中，于點(diǎn)D，在線段上取點(diǎn)E使得，平分交于點(diǎn)F，連接．（1）若，，，求的長；（2）若，求證：．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）先判斷出，再用勾股定理求出，進(jìn)而用勾股定理求出；（2）過點(diǎn)F作，再判斷出，得出，可得結(jié)論．【小問1詳解】解：∵，∴，在中，，，∴，在中，，，∴；【小問2詳解】證明：如圖1，由（1）知，，∵DF平分，∴，過點(diǎn)F作，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出，，作出輔助線是解本題的難點(diǎn)．25.已知，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD邊AB、CD、DA上，AH=2．（1）如圖1，當(dāng)DG=2，且點(diǎn)F在邊BC上時(shí).求證：①△AHE≌△DGH；②菱形EFGH是正方形；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在正方形ABCD的外部時(shí)，連接CF.①探究：點(diǎn)F到直線CD的距離是否發(fā)生變化？并說明理由；②設(shè)DG=x，△FCG的面積為S，是否存在x的值，