CH4-數(shù)值積分與數(shù)值微分-4.1-Newton-Cotes公式

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分數(shù)值計算方法張紅梅自動化學院2010年3月4.1

Newton-Cotes公式用插值多項式P(x)代替被積函數(shù)或者被微分函數(shù)f(x),從而導出計算f(x)的定積分和微分近似值的公式。4.1Newton-Cotes公式4.2復合求積法4.3Romberg算法4.4*Gauss求積法4.5數(shù)值微分利用等距節(jié)點的Lagrange插值多項式建立插值型求積公式將求積區(qū)間等分為多個子區(qū)間,然后在每個子區(qū)間用低階求積公式利用復合梯形公式,并采用加速技術(shù)用插值多項式代替被求微分的函數(shù)本章要點對于任意函數(shù)的定積分,是否都可以利用Newton-Leibniz公式求得？如果f(x)的原函數(shù)F(x),那么由Newton-Leibniz公式：可求得式(1)的積分值.(1)f(x)的解析式不存在,只給出了f(x)的一些數(shù)值；

f(x)的原函數(shù)F(x)無法求出,例如F(x)不是初等函數(shù)；

f(x)的表達式結(jié)構(gòu)復雜,求原函數(shù)較困難.

對于積分解決方案：建立積分近似計算

——Newton-Leibniz

公式失效的幾種情況：利用插值多項式構(gòu)造數(shù)值求積公式如何解決上述問題？引言4.1Newton-Cotes公式1-1插值型求積公式及Cotes系數(shù)使用

Newton-Cotes公式求解數(shù)值積分問題的步驟:那么f(x)可表示為：(2)1.將積分區(qū)間

[a,b]n等分,令,得等距節(jié)點：等距節(jié)點下使用

Lagrange插值多項式建立的數(shù)值求積公式.Newton-Cotes公式

:

2.將(2)代入定積分公式

：(4)(3)(3)式為

插值型求積公式

為

求積系數(shù)

為

數(shù)值積分余項

利用公式(3)計算

In

的關(guān)鍵:計算求積系數(shù)Ak

3.定義近似積分：如何計算

Ak？4.Ak的計算注意:節(jié)點等距設(shè)由可知且有代入(5)式,得

(5)(6)將Ak代入(3)式,稱為

Cotes系數(shù).

求積區(qū)間等分數(shù)注：1.只要節(jié)點上的函數(shù)值,以及積分區(qū)間等分數(shù),即可求得積分的近似值；2.n取不同的值,得不同的求積公式?？芍?

Cotes系數(shù)與函數(shù)

f(x)

以及區(qū)間

[a,b]

無關(guān),而只與區(qū)間等分數(shù)

n

有關(guān)。由節(jié)點下標得

Newton-Cotes求積公式:n=1~8的Cotes系數(shù)全正有正有負

x0

x1Newton-Cotes

公式中,n=1,2,4

時的求積公式是最常用、最重要的三個公式。1.梯形(trapezoid)公式Cotes系數(shù)為:求積公式為:取即梯形求積公式/兩點公式則2.

Simpson公式Cotes系數(shù)為:取則

x0

x1x2Simpson求積公式/三點公式/拋物線公式Simpson求積公式為:3.

Cotes

公式Cotes系數(shù)為:取則Cotes求積公式為:Cotes求積公式/五點公式記為例：用梯形公式和Simpson公式對冪函數(shù)xm(m=1,2,3,4)和指數(shù)函數(shù)ex在區(qū)間[-2,0]上積分，結(jié)果如下：函數(shù)f(x)1xx2x3x4ex精確值2-22.667-46.40.865梯形值2-24-8161.135Simpson值2-22.667-46.6670.869結(jié)論：simpson公式對更多的函數(shù)求積分是準確的。為了使一個求積公式(近似積分)具有較好的實際計算意義,就希望它對盡可能多的被積函數(shù)都準確成立.但對

m+1

次的多項式卻不能準確成立,即只要那么稱該求積公式具有m次的代數(shù)精度.對不超過

m

次的代數(shù)多項式都準確成立,即若的某求積公式代數(shù)精度第二積分中值定理梯形公式具有

1

次代數(shù)精度故梯形公式的余項為:由余項公式可知:1-2低階

Newton-Cotes

公式的余項Simpson

公式的余項為:Simpson公式具有3

次代數(shù)精度Cotes公式的余項為:Cotes

公式具有5

次代數(shù)精度考察Cotes系數(shù):因此,用Newton-Cotes公式計算積分的舍入誤差主要由函數(shù)值的計算引起.1-3Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性只與函數(shù)

f(x)

以及區(qū)間

[a,b]

無關(guān),而只與區(qū)間等分數(shù)

n

有關(guān),其值可以精確計算.為誤差假設(shè)為精確值,而以作為的計算值,記:為

In的近似值(計算值)而理論值為與的誤差為即當時,Newton-Cotes公式是穩(wěn)定的.若有此時,公式的穩(wěn)定性將無法保證.在實際應(yīng)用中一般不使用高階Newton-Cotes公式,而是采用低階復合求積法(下節(jié)內(nèi)容)事實上,當時,公式都是穩(wěn)定的.若有正有負,則有參見教材P129表1-1