2019年湖北省襄陽市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年湖北省襄陽市中考數(shù)學試卷

一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的，請將其標號在答題卡上涂黑作答

1.（3分）（2019?襄陽）計算|-3|的結(jié)果是（）

A.3B.1C.-3D.±3

3

【考點】15：絕對值.

【專題】511：實數(shù).

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行計算.

【解答】解:|-3|=3.

故選：A.

【點評】本題考查了絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是

它的相反數(shù)；。的絕對值是0.

2.（3分）（2019?襄陽）下列運算正確的是（）

-"

A3_2——D2,3——66_j_J2——3n（2\3——6

A.ci-a—aJj.ci*ci—ciC.a?a—aD.）—a

【考點】35：合并同類項；46：同底數(shù)幕的乘法；47：幕的乘方與積的乘方；48：同底

數(shù)幕的除法；6F：負整數(shù)指數(shù)累.

【專題】512：整式.

【分析】直接利用合并同類項法則以及同底數(shù)募的乘除運算法則分別化簡得出答案.

【解答】解：A、無法計算，故此選項錯誤；

B、a2,a3=a5,故此選項錯誤；

C、a6-^-a2—a4,故此選項錯誤；

D、（a2）~3=a~6,正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了合并同類項以及同底數(shù)塞的乘除運算，正確掌握相關(guān)運算法則

是解題關(guān)鍵.

3.（3分）（2019?襄陽）如圖，直線BC//AE,CDLAB于點D,若NBCD=40。，則N1

的度數(shù)是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【考點】J3：垂線；JA：平行線的性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】先在直角△C2。中可求得的度數(shù)，然后平行線的性質(zhì)可求得N1的度數(shù).

【解答】解：??,CD_LA8于點。，ZBCD=40°,

A90°.

：.ZBCD+ZDBC=90°,BPZBCD+40°=90°.

AZDBC=50°.

:直線BC//AE,

.?.N1=NOBC=50°.

故選：B.

【點評】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)、垂線的定義、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì),

掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

4.（3分）（2019?襄陽）某正方體的平面展開圖如圖所示，則原正方體中與“春”字所在的

)

來C.斗D.奮

【考點】18：專題：正方體相對兩個面上的文字.

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】正方體展開圖的“Z”字型找對面的方法即可求解;

【解答】解：由：“Z”字型對面，可知春字對應(yīng)的面上的字是奮;

故選：D.

【點評】本題考查正方體的展開圖；熟練掌握正方體展開圖的特點是解題的關(guān)鍵.

5.（3分）（2019?襄陽）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【考點】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

8、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

。、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：B.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找

對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩

部分重合.

6.（3分）（2019?襄陽）不等式組<的解集在數(shù)軸上用陰影表示正確的是（

.3+x>3x+9

A,B.

D.

【考點】C4：在數(shù)軸上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式組.

【專題】11：計算題；524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用.

【分析】求出不等式組的解集，表示出數(shù)軸上即可.

【解答】解：不等式組整理得：fX<4,

述《-3

???不等式組的解集為X<-3,

故選：C.

【點評】此題考查了解一元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2019?襄陽）如圖，分別以線段A3的兩個端點為圓心，大于A3的一半的長為

半徑畫弧，兩弧分別交于C,。兩點，連接AC,BC,AD,BD,則四邊形ADBC一定是

（）

A.正方形B.矩形C.梯形D.菱形

【考點】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方

形的判定；LH：梯形；N3：作圖一復雜作圖.

【專題】13：作圖題.

【分析】根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷.

【解答】解：由作圖可知：AC=AD=BC=BD,

...四邊形AC8。是菱形，

故選：D.

【點評】本題考查基本作圖，菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，

屬于中考?？碱}型.

8.（3分）（2019?襄陽）下列說法錯誤的是（）

A.必然事件發(fā)生的概率是1

B.通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率

C.概率很小的事件不可能發(fā)生

D.投一枚圖釘，“釘尖朝上”的概率不能用列舉法求得

【考點】XI：隨機事件；X3：概率的意義；X6：列表法與樹狀圖法；X8：利用頻率估

計概率.

【專題】54：統(tǒng)計與概率.

【分析】不確定事件就是隨機事件，即可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，發(fā)生的概率大于0

并且小于1.

【解答】解：A、必然事件發(fā)生的概率是I,正確；

8、通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率，正確；

c、概率很小的事件也有可能發(fā)生，故錯誤；

。、投一枚圖釘，“釘尖朝上”的概率不能用列舉法求得，正確，

故選：C.

【點評】本題考查了概率的意義，概率的意義反映的只是這一事件發(fā)生的可能性的大小,

概率取值范圍：OWpWl,其中必然發(fā)生的事件的概率P（A）=1；不可能發(fā)生事件的概

率尸（A）=0；隨機事件，發(fā)生的概率大于0并且小于1.事件發(fā)生的可能性越大，概率

越接近與1,事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0.

9.（3分）（2019?襄陽）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，卷七“盈不足”中有題譯文如

下：今有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢.問合伙人數(shù)、

羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，所列方程正確的是（）

A.5尤-45=7x-3B.5x+45=7x+3C.D.

5757

【考點】89：由實際問題抽象出一元一次方程.

【專題】34：方程思想；521：一次方程（組）及應(yīng)用.

【分析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，根據(jù)羊的總價錢不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，

此題得解.

【解答】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，

依題意，得：5尤+45=7x+3.

故選：B.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一

次方程是解題的關(guān)鍵.

10.（3分）（2019?襄陽）如圖，是O。的直徑，BC是弦,四邊形02CD是平行四邊形,

AC與08相交于點P,下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AP=20PB.CD=20PC.OBLACD.AC平分OB

【考點】KX：三角形中位線定理；L5：平行四邊形的性質(zhì)；M2：垂徑定理；M5：圓周

角定理.

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】利用圓周角定理得到NACD=90°,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CDHOB,

CD=OB,則可求出/A=30°,在Rt^A。尸中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可

對A選項進行判斷；利用OP〃CD,C￡>_LAC可對C選項進行判斷；利用垂徑可判斷。尸

為△ACD的中位線，則CZ）=2OP,原式可對8選項進行判斷；同時得到。8=2。尸，則

可對。選項進行判斷.

【解答】解：YA。為直徑，

AZAC￡>=90°,

?/四邊形OBCD為平行四邊形，

J.CD//OB,CD=OB,

在RtAACD中，sinA=—

AD2

AZA=30",

在RtZ\A。尸中，AP=MOP,所以A選項的結(jié)論錯誤；

'：OP//CD,CD±AC,

：.OP±AC,所以C選項的結(jié)論正確；

：.AP=CP,

，。尸為△AC。的中位線，

：.CD=2OP,所以8選項的結(jié)論正確；

：.OB=2OP,

；.AC平分。8,所以。選項的結(jié)論正確.

故選：A.

【點評】此題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的

圓周角所對的弦是直徑.也考查了垂徑定理和平行四邊形的性質(zhì).

二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上

11.（3分）（2019?襄陽）習總書記指出，善于學習，就是善于進步.“學習強國”平臺上線

后的某天，全國大約有1.2億人在平臺上學習.1.2億這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為L2X

108.

【考點】II：科學記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】科學記數(shù)法就是將一個數(shù)字表示成"X10的〃次累的形式），其中

〃表示整數(shù)，即從左邊第一位開始，在首位非零的后面加上小數(shù)點，再乘以10的〃次幕.

【解答】解：1.2億=1.2X28.

故答案為：1.2X108.

【點評】此題考查了對科學記數(shù)法的理解和運用和單位的換算.科學記數(shù)法的表示形式

為aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

12.（3分）（2019?襄陽）定義：。*6=旦，則方程2*（x+3）=1*（2%）的解為x=l.

b

【考點】1G：有理數(shù)的混合運算；B3：解分式方程.

【專題】23：新定義.

【分析】根據(jù)新定義列分式方程可得結(jié)論.

【解答】解：2*（x+3）=1*（2x）,

2_1

x+32x

4x=x+3,

x=L

經(jīng)檢驗：尤=1是原方程的解，

故答案為：X=l.

【點評】本題考查了解分式方程和新定義的理解，熟練掌握解分式方程的步驟是關(guān)鍵.

13.（3分）（2019?襄陽）從2,3,4,6中隨機選取兩個數(shù)記作a和b（a<b）,那么點（a,

b）在直線y=2x上的概率是_1一

【考點】F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】畫出樹狀圖，找到b=2a的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式解答

【解答】解：畫樹狀圖如圖所示，

開始

a234

/1\Z\I

ft346466

一共有6種情況，b=2a的有（2,4）和（3,6）兩種,

所以點（a,b）在直線y=2x上的概率是2=工，

63

故答案為：—.

3

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果

求出力再從中選出符合事件A或2的結(jié)果數(shù)目如然后根據(jù)概率公式求出事件A或B

的概率.

14.（3分）（2019?襄陽）如圖，已知添加下列條件中的一個：①/A=N

D,@AC=DB,@AB=DC,其中不能確定的是②（只填序號）.

【考點】KB：全等三角形的判定.

【專題】553：圖形的全等；67：推理能力.

【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS,SAS,AAS,ASA,據(jù)此可逐個對比求解.

【解答】解：：己知且BC=CB

，若添加①則可由44s判定△ABCgZkOCB；

若添加②AC=Z）8,則屬于邊邊角的順序，不能判定

若添加③則屬于邊角邊的順序，可以判定△ABC之△DCB.

故答案為：②.

【點評】本題考查全等三角形的幾種基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此題不

難判斷.

15.（3分）（2019?襄陽）如圖，若被擊打的小球飛行高度〃（單位：m）與飛行時間t（單

位：s）之間具有的關(guān)系為/1=20-5匕則小球從飛出到落地所用的時間為

【考點】AD：一元二次方程的應(yīng)用；HE：二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】536：二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)關(guān)系式，令〃=0即可求得f的值為飛行的時間

【解答】解：

依題意，令6=0得

0=20/-5?

得f（20-5f）=0

解得f=0（舍去）或t=4

即小球從飛出到落地所用的時間為4s

故答案為4.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用.此題為數(shù)學建模題，關(guān)鍵在

于讀懂小球從飛出到落地即飛行的高度為0時的情形，借助二次函數(shù)解決實際問題.此

題較為簡單

16.（3分）（2019?襄陽）如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點重合于

點C,點。在A8上，

/BAC=NDEC=30°,AC與DE交于點F,連接AE,若BD=1,AO=5,則空=

【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】過點C作于點M,過點E作ENLAC于點N,先證

求出AE的長及NCA￡=60°,推出N￡ME=90°,在RtZVME中利用勾股定理求出?！?/p>

的長，進一步求出CD的長，分別在RtADCM和RtAAEN中，求出MC和NE的長，再

證AMFCsANFE,利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可求出b與所的比值.

【解答】解：如圖，過點C作于點M,過點E作ENLAC于點N,

；8￡>=1,AO=5,

：.AB^BD+AD^6,

:在Rt^ABC中，ZBAC=30°,ZB=90°-ZBAC=60°,

：.BC=^-AB^3,AC=~\[^BC=3M，

在RtABCA與RtZXZJCE中，

：NBAC=NZ)EC=30°,

tanZBAC=tanZDEC,

?BCDC

，，AC^EC，

'：BCA=ZDCE=90°,

'：BCA-ZDCA=ZDCE-ZDCA,

：.ZBCD=ZACEf

AABCD^AACE,

：.ZCAE=ZB=60°,.?里Jl,

ACAE

ZDAE^ZDAC+ZCAE^30°+60°=90°,—

3^3AE

:.AE=、眄,

在Rt^AOE中，

D￡=22=2

VAD+AE7S+（V3）2=2A

在RtZvDCE中，ZD￡C=30°,

AZ￡￡）C=60°,DC=》E=5,

在RtAZJCM中，

MC=^-DC=^^~,

22

在RtZWEN中，

NE=^-AE=i,

22

??ZMFC=ZNFE,ZFMC=ZFNE=90,

：.AMFCsANFE,

V21_

.CF_MC2,V21

,?甌麗旦~~3~，

2

故答案為：返L

3

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等，解題關(guān)鍵

是能夠通過作適當?shù)妮o助線構(gòu)造相似三角形，求出對應(yīng)線段的比.

三、解答題：本大題共9個小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，

并且寫在答題卡上每題對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。

2

17.（6分）（2019?襄陽）先化簡，再求值：（^-1）+三+：x+l,其中

xTx2-l

【考點】6D：分式的化簡求值.

【專題】513：分式.

【分析】根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，代入計算即可.

2

【解答】解：--1）

xTx2-l

_（、x_xT）-x2+2x+l

x-lx-lJ-]

=1X（x+l）（x-l）

x-l（x+1）2

=1

x+1'

當X=&-1時，原式=L1---=義2.

V2+1-12

【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵.

18.（6分）（2019?襄陽）今年是中華人民共和國建國70周年，襄陽市某學校開展了“我和

我的祖國”主題學習競賽活動.學校3000名學生全部參加了競賽，結(jié)果所有學生成績都

不低于60分（滿分100分）.為了了解成績分布情況，學校隨機抽取了部分學生的成績

進行統(tǒng)計，得到如下不完整的統(tǒng)計表.根據(jù)表中所給信息，解答下列問題：

成績尤（分）分組頻數(shù)頻率

60?70150.30

70Wx<80a0.40

80?9010b

90^x^10050.10

（1）表中a=20,b=0.2；

（2）這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在70<x<80范圍內(nèi):

（3）判斷：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定落在70Wx<80范圍內(nèi)，這個說法正確（填“正確”

或“錯誤”）；

（4）這組數(shù)據(jù)用扇形統(tǒng)計圖表示，成績在80Wx<90范圍內(nèi)的扇形圓心角的大小為

72°；

（5）若成績不小于80分為優(yōu)秀，則全校大約有900名學生獲得優(yōu)秀成績.

【考點】V5：用樣本估計總體；V7：頻數(shù)（率）分布表；VB：扇形統(tǒng)計圖；W4：中位

數(shù)；W5：眾數(shù).

【專題】541：數(shù)據(jù)的收集與整理.

【分析】（1）調(diào)查學生總數(shù)：154-0.3=50（名），70Wx<80的頻數(shù)：50-15-10-5=

20,即a=2080Wx<90的頻率：1-0.3-0.4-0.1=0.2,即6=0.2；

（2）共50名學生，中位數(shù)落在“70Wx<80”范圍內(nèi)；

（3）"70Wx<80”范圍內(nèi)，頻數(shù)最大，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)落在70Wx<80范圍內(nèi)；

（4）成績在80Wx<90范圍內(nèi)的扇形圓心角：360。X①"=72°；

50

（5）獲得優(yōu)秀成績的學生數(shù)：3000X—=900（名）.

50

【解答】解：（1）調(diào)查學生總數(shù)：15+0.3=50（名），

70W尤<80的頻數(shù)：50-15-10-5=20,即a=20

80Wx<90的頻率：1-0.3-0.4-0.1=0.2,即6=0.2,

故答案為20,0.2；

（2）共50名學生，中位數(shù)落在“70―<80”范圍內(nèi)；

（3）"70Wx<80”范圍內(nèi)，頻數(shù)最大，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)落在70Wx<80范圍內(nèi)，

故答案為正確；

（4）成績在80Wx<90范圍內(nèi)的扇形圓心角：360°X—=72°,

故答案為72°；

（5）獲得優(yōu)秀成績的學生數(shù)：3000X—=900（名），

50

故答案為900.

【點評】本題考查了中位數(shù)與眾數(shù)，正確理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.

19.（6分）（2019?襄陽）改善小區(qū)環(huán)境，爭創(chuàng)文明家園.如圖所示，某社區(qū)決定在一塊長

（AD）16/7！,寬（AB）9機的矩形場地ABC。上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與A8

平行，另一條與平行，其余部分種草.要使草坪部分的總面積為112/，則小路的寬

【考點】AD：一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】設(shè)小路的寬應(yīng)為xm,那么草坪的總長度和總寬度應(yīng)該為（16-2x）,（9-尤）；

那么根據(jù)題意得出方程，解方程即可.

【解答】解：設(shè)小路的寬應(yīng)為

根據(jù)題意得：（16-2x）（9-x）=112,

解得：xi=l,X2=16.

V16>9,

.??x=16不符合題意，舍去，

??1.

答：小路的寬應(yīng)為

【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，弄清“草坪的總長度和總寬度”是解決本題的

關(guān)鍵.

20.（6分）（2019?襄陽）襄陽臥龍大橋橫跨漢江，是我市標志性建筑之一.某校數(shù)學興趣

小組在假日對豎立的索塔在橋面以上的部分（上塔柱和塔冠BE）進行了測量.如圖

所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距離為121%，拉索AB與橋面AC的

夾角為37°,從點A出發(fā)沿AC方向前進23.5如在。處測得塔冠頂端E的仰角為45°.請

你求出塔冠BE的高度(結(jié)果精確到0.1加.參考數(shù)據(jù)sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°

20.75,我P1.41).

【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】根據(jù)正切的定義分別求出EC、BC,結(jié)合圖形計算，得到答案.

【解答】解：在Rt^ABC中，tanA=里，

AC

則BC=AC?tanAF21X0.75=90.75,

由題意得，CD=AC-AD=91.5,

在RtZ^ECD中，/EDC=45°,

：.EC=CD=975,

:.BE=EC-BC=6.75%6.8(m),

答：塔冠BE的高度約為68w.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟

記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

21.(7分)(2019?襄陽)如圖，已知一次函數(shù)yi=fcx+b與反比例函數(shù)丫2=2的圖象在第一、

x

第三象限分別交于A(3,4),B(a,-2)兩點，直線A8與y軸，x軸分別交于C,D

兩點.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)比較大?。篈D=BC(填“>”或“〈”或“=”)；

(3)直接寫出聲<”時尤的取值范圍.

【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】533：一次函數(shù)及其應(yīng)用；534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】(1)把A(3,4)代入反比例函數(shù)”=更，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得相，得到

x

反比例函數(shù)的解析式，然后代入8(a,-2)),求得a,再根據(jù)待定系數(shù)法求得一次函數(shù)

的解析式即可；

(2)求得C、D的坐標，利用勾股定理即可判斷；

(3)根據(jù)圖象即可求得.

【解答】解：(1)把A(3,4)代入反比例函數(shù)”=皿得，

X

4=—,解得m=12,

3

...反比例函數(shù)的解析式為”=空；

X

VB(〃，-2)點在反比例函數(shù)”=皿的圖象上，

x

-2a=12,解得a=-6,

：.B(-6,-2),

???一次函數(shù)刀=依+力的圖象經(jīng)過A(3,4),B(-6,-2)兩點，

“3k+b=4,解得「春

I-6k+b=-2匕=2

一次函數(shù)的解析式為戶=點+2；

(2)由一次函數(shù)的解析式為竺=*+2可知C(0,2),D(-3,0),

??,AD=7(3+3)2+42=2仍互,fiC=V62+(-2-2)2=2^3,

：.AD^BC,

故答案為=;

(3)由圖象可知：刃＜"時工的取值范圍是xV-6或0VxV3.

【點評】此題是考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，

待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是中學階段求函數(shù)解析式常

用的方法，一定要熟練掌握并靈活運用.

22.（8分）（2019?襄陽）如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓。。

相交于點。，過。作直線。G〃BC.

（1）求證：OG是。。的切線；

（2）若。E=6,BC=643,求優(yōu)弧南的長.

【考點】MA：三角形的外接圓與外心；ME：切線的判定與性質(zhì)；MI：三角形的內(nèi)切圓

與內(nèi)心；MN：弧長的計算.

【專題】55C：與圓有關(guān)的計算.

【分析】（1）連接。。交于X,如圖，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到

則而=而，利用垂徑定理得到ODLBC,BH=CH,從而得到OOLOG,然后根據(jù)切線

的判定定理得到結(jié)論；

（2）連接班）、OB,如圖，先證明NZ）班=ND3E得到。8=OE=6,再利用正弦定義

求出/8?！?60°,則可判斷△08。為等邊三角形，所以/8。。=60°,OB=BD=6,

則NBOC=120。，然后根據(jù)弧長公式計算優(yōu)弧南的長.

【解答】（1）證明：連接OD交BC于如圖，

:點E是△ABC的內(nèi)心，

；.A￡）平分4BAC,

即

BD=CD,

C.ODLBC,BH=CH,

'：DG//BC,

：.OD±DG,

???0G是。。的切線；

(2)解：連接跳入0B,如圖，

??,點E是△A3C的內(nèi)心，

ZABE=NCBE,

/DBC=/BAD,

：.ZDEB=ZBAD+ZABE=NDBC+NCBE=NDBE,

:?DB=DE=6,

■;BH=LBC=3如,

2

在RtZkB。"中，sinNBQH=^=^&=返，

BD62

1?NBDH=60°,

而OB=OD,

：.AOBD為等邊三角形，

：.ZBOD=60°,0B=BD=6,

：.ZB0C=12Q°,

優(yōu)弧血的長=(360T20)?兀，6=87T

180

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；

三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角.也考查了切線的判定和弧長公式.

23.（10分）（2019?襄陽）襄陽市某農(nóng)谷生態(tài)園響應(yīng)國家發(fā)展有機農(nóng)業(yè)政策，大力種植有機

蔬菜.某超市看好甲、乙兩種有機蔬菜的市場價值，經(jīng)調(diào)查，這兩種蔬菜的進價和售價

如下表所示：

有機蔬菜種類進價（元伙g）售價（元/?。?/p>

甲m16

乙n18

(1)該超市購進甲種蔬菜10依和乙種蔬菜5kg需要170元；購進甲種蔬菜6kg和乙種

蔬菜10kg需要200元.求m,n的值；

(2)該超市決定每天購進甲、乙兩種蔬菜共100飯進行銷售，其中甲種蔬菜的數(shù)量不少

于20依，且不大于70依.實際銷售時，由于多種因素的影響，甲種蔬菜超過60依的部

分，當天需要打5折才能售完，乙種蔬菜能按售價賣完.求超市當天售完這兩種蔬菜獲

得的利潤額y(元)與購進甲種蔬菜的數(shù)量x(必)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出尤的取值

范圍；

(3)在(2)的條件下，超市在獲得的利潤額y(元)取得最大值時，決定售出的甲種蔬

菜每千克捐出2a元，乙種蔬菜每千克捐出。元給當?shù)馗＠?，若要保證捐款后的盈利率

不低于20%,求“的最大值.

【考點】9A：二元一次方程組的應(yīng)用；CB：解一元一次不等式組；FH：一次函數(shù)的應(yīng)

用.

【專題】521：一次方程(組)及應(yīng)用；524：一元一次不等式(組)及應(yīng)用；533：一次函

數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】(1)根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以求得機、w的值；

(2)根據(jù)題意，利用分類討論的方法可以求得y與尤的函數(shù)關(guān)系式；

(3)根據(jù)(2)中的條件，可以求得y的最大值，然后再根據(jù)題意，即可得到關(guān)于。的

不等式，即可求得。的最大值，本題得以解決.

【解答】解：(1)由題意可得，

5n=170,解得，0=10,

16nti4011=200ln=14

答：m的值是10,"的值是14；

(2)當20WxW60時,

y=(16-10)x+(18-14)(100-x)—2x+400,

當60<xW70時，

y=(16-10)X60+(16-10)X0.5X(x-60)+(18-14)(100-無)=-x+580,

,,_f2x+400(20<x<60)

[-x+580(60<x<70)

(3)當20Wx(60時，y=2x+400,貝ij當尤=60時，y取得最大值，此時y=520,

當60cxW70時，y=-x+580,貝！Iy<-60+580=520,

由上可得，當x=60時，y取得最大值，此時y=520,

???在（2）的條件下，超市在獲得的利潤額y（元）取得最大值時，決定售出的甲種蔬菜

每千克捐出2a元，乙種蔬菜每千克捐出a元給當?shù)馗＠海乙ＷC捐款后的盈利率不

低于20%,

■520-2aX60-4Qa>

60X10+40X14k

解得，aWL8,

即。的最大值是1.8.

【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、解一元一次不等式，解答

本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和方程的知識解答.

24.（10分）（2019?襄陽）（1）證明推斷：如圖（1）,在正方形中，點E,Q分別在

邊BC,AB上，于點。，點G,尸分別在邊CO,A8上，GF±AE.

①求證：DQ^AE；

②推斷：更的值為1；

AE

（2）類比探究：如圖（2）,在矩形ABCD中，里1=左（左為常數(shù)）.將矩形ABCD沿GP

AB

折疊，使點A落在8C邊上的點E處，得到四邊形PEPG,EP交CD于點H,連接AE

交GP于點。.試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP,當左=工時，若tan/CGP=』，GP=2近5,

34

求CP的長.

【考點】so：相似形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得AB=ZM，ZAB￡=90°所以NH40+/O4D

=90°,又知NADO+NO4D=90°,所以于是4ABE2乙DAH,可得

AE=DQ.

②證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問題.

(2)結(jié)論：毀="如圖2中，作GALLAB于證明：即可解決問

AE

題.

(3)如圖2-1中，作PMLBC交8c的延長線于利用相似三角形的性質(zhì)求出PM,

CM即可解決問題.

【解答】(1)①證明：：四邊形ABC。是正方形，

：.AB=DA,ZABE=90°^ZDAQ.

：.ZQAO+ZOAD=90°.

\'AE1DH,

：.ZADO+ZOAD=9Q°.

J.ZQAO^ZADO.

：.^ABE^/\DAQ(ASA),

：.AE^DQ.

②解：結(jié)論：如=1.

AE

理由：\"DQLAE,FGVAE,

J.DQ//FG,

'：FQ//DG,

.??四邊形DQFG是平行四邊形，

：.FG=DQ,

'：AE^DQ,

：.FG=AE,

.GF7

AE

故答案為1.

(2)解：結(jié)論：電■=￡

AE

理由：如圖2中，作GM_L48于

圖⑵

AEYGF,

NAOF=NGMF=/ABE=90°,

ZBAE+ZAFO=90a,ZAFO+ZFGM=9Q°,

/BAE=/FGM,

△ABEs^GMF,

GF=GM

AEAB"

ZAMG^ZD=ZDAM^90°,

四邊形4MGO是矩形，

GM=AD,

更=世=氏.

AEABAB'

(3)解：如圖2-1中，作PM_LBC交BC的延長線于

圖(2)

'：FB//GC,FE//GP,

：.ZCGP=ZBFE,

：.tanZCGP=tanZBFE=^-=^

4BF

，可以假設(shè)BE=3上BF=4k,EF=AF=5k,

?.其=2,FG=2%畫,

AE3

.-.AE=3V10.

(3k)2+(9k)2=(3^/10)2,

，K=1或-1(舍棄)，

:.BE=3,42=9,

,:BC：AB=2：3,

:.BC=6,

：.BE=CE=3,AD=PE=BC=6,

,：NBEF=NFEP=NPME=90°,

；./FEB+/PEM=90°,ZPEM+ZEPM^90°,

NFEB=ZEPM,

:.△FBEsAEMP,

.EF=BF__BE

"PEEM而，

■"?EMPM"

；.EM=毀，產(chǎn)加=巡，

55

CM^EM^EC^--3=工，

55

；?PC=VCM2+PM2=-1^-

【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全

等三角形或相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

25.(13分)(2019?襄陽)如圖，在直角坐標系中，直線y=-導+3與x軸，y軸分別交于

點、B,點C,對稱軸為尤=1的拋物線過3,C兩點，且交x軸于另一點A,連接AC.

(1)直接寫出點A,點8,點C的坐標和拋物線的解析式；

(2)已知點P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，當點P到直線BC的距離最大時，求點尸的

坐標；

(3)拋物線上是否存在一點0(點C除外)，使以點Q,A,B為頂點的三角形與aABC

相似？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合；32：分類討論；34：方程思想；6；：數(shù)據(jù)分析觀

念.

【分析】(1)y=-L+3,令x=0,則v=3,令y=0,則x=6,故點3、c的坐標分別

2

為(6,0)、(0,3),即可求解；

(2)P”=PGcosa=2/5(-L^+LX+3+LX-3),即可求解；

5842

(3)分點。在x軸上方、點。在x軸下方兩種情況，分別求解.

【解答】解：(l)y=-Lx+3,令x=0,則y=3,令y=0,貝Ux=6,

2

故點8、C的坐標分別為(6,0)、(0,3),

拋物線的對稱軸為x=l,則點A(-4,0),

則拋物線的表達式為：y—a(x-6)(x+4)—a(x2-2x-24),

即-24〃=3,解得：a=-—,

8

故拋物線的表達式為：y=-L2+L+3…①；

-84

(2)過點P作y軸的平行線交8c于點G,作PHL8C于點H,

將點8、C坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：

直線BC的表達式為：y=-L+3,

-2

則/HPG=/C2M=a,tanZCAB=-^=—=tana,則cosa=，

OB2

設(shè)點P(x,--x2+—x+3),則點G(無，-—x+3),

842

則PH-PGcosa-士辰（-1?+1尤+3+1x-3）--叵W,阻x,

58422010

Vj/X<o,故PH有最小值，此時x=3,

20

則點尸（3,2L）；

8

（3）①當點。在x軸上方時，

則點Q,A,8為頂點的三角形與△ABC全等，此時點。與點C關(guān)于函數(shù)對稱軸對稱,

則點Q（2,3）；

②當點。在x軸下方時，

Q,A,8為頂點的三角形與AABC相似，則/AC8=N。'AB,

當NABC=NAB0時，

直線5c表達式的k值為-方，則直線20表達式的左值為5，

設(shè)直線B。'表達式為：y^x+b,將點2的坐標代入上式并解得：

2

直線BQ'的表達式為:y=L-3…②,

聯(lián)立①②并解得：x=6或-8（舍去6）,

故點。（。‘）坐標為（-8,-7）（舍去）；

SZABC=Z.ABQ'時，

同理可得：直線8。的表達式為：y=3x-2…③，

42

聯(lián)立①③并解得：x=6或70（舍去6），

故點。（。'）坐標為（-10,-12）,

由點的對稱性，另外一個點。的坐標為（12,-12）；

綜上，點。的坐標為：（2,3）或（12,-⑵或（-10,-12）.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形三角形相似

等，其中（3）,要注意分類求解，避免遺漏.

考點卡片

1.絕對值

(1)概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù).

(2)如果用字母。表示有理數(shù)，則數(shù)。絕對值要由字母。本身的取值來確定：

①當。是正有理數(shù)時，。的絕對值是它本身a；

②當a是負有理數(shù)時，。的絕對值是它的相反數(shù)-。；

③當。是零時，a的絕對值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(cz<0)

2.有理數(shù)的混合運算

(1)有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右

的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.

(2)進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運算的四種運算技巧

1.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運算中，通

常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)進行約分計算.

2.湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的

兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分數(shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形式，然后進行計算.

4.巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便.

3.科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)

(1)科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成。義10〃的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.【科學記數(shù)法形式：aXlO",其中l(wèi)Wa<10,

力為正整數(shù).】

(2)規(guī)律方法總結(jié)：

①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)

位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)加

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用

此法表示，只是前面多一個負號.

4.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同

系數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)

會減少，達到化簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字

母和字母的指數(shù)不變.

5.同底數(shù)塞的乘法

（1）同底數(shù)幕的乘法法則：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（^?an=am+n（m,〃是正整數(shù)）

（2）推廣：am-all-aP=an,+n+P（機，n,p都是正整數(shù)）

在應(yīng)用同底數(shù)募的乘法法則時，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25,（/.）3與（/房）

4,（x-y）2與G-y）3等；@a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只

有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（3）概括整合：同底數(shù)幕的乘法，是學習整式乘除運算的基礎(chǔ)，是學好整式運算的關(guān)鍵.在

運用時要抓住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當變

形為同底數(shù)哥.

6.累的乘方與積的乘方

（1）幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（曖）n=0nmCm,〃是正整數(shù)）

注意：①累的乘方的底數(shù)指的是暴的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是塞的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)塞的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘.

(M)(〃是正整數(shù))

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)

乘方的意義，計算出最后的結(jié)果.

7.同底數(shù)塞的除法

同底數(shù)暴的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減.

/+(1"=心一"(aWO,"2,〃是正整數(shù)，，，?>〃)

①底數(shù)aWO,因為0不能做除數(shù)；

②單獨的一個字母，其指數(shù)是1,而不是0；

③應(yīng)用同底數(shù)累除法的法則時，底數(shù)?？墒菃雾検剑部梢允嵌囗検?，但必須明確底數(shù)是

什么，指數(shù)是什么.

8.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注

意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

9.負整數(shù)指數(shù)事

負整數(shù)指數(shù)幕：a-P=lapQWO,