第二講 圖形的對稱、平移、旋轉與位似含圖形的運動與坐標（題型突破+專題精練）（解析版）

→?題型突破←→?專題訓練←題型一平移1.在平面直角坐標系中，將點向右平移個單位長度后得到的點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直角坐標系的坐標平移即可求解.【詳解】一個點向右平移之后的點的坐標，縱坐標不變，橫坐標加4，故選A【點睛】此題主要考查坐標的平移，解題的關鍵是熟知直角坐標系的特點.2.如圖，點的坐標為，點在軸上，把沿軸向右平移到，若四邊形的面積為9，則點的坐標為_______．【答案】(4，3)【分析】過點A作AH⊥x軸于點H，得到AH=3，根據(jù)平移的性質證明四邊形ABDC是平行四邊形，得到AC=BD，根據(jù)平行四邊形的面積是9得到，求出BD即可得到答案.【詳解】過點A作AH⊥x軸于點H，∵A（1,3），∴AH=3，由平移得AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴AC=BD，∵，∴BD=3，∴AC=3，∴C(4，3)故答案為：(4，3).【點睛】此題考查平移的性質，平行四邊形的判定及性質，直角坐標系中點到坐標軸的距離與點坐標的關系.3.如圖，把沿邊平移到的位置，圖中所示的三角形的面積與四邊形的面積之比為4∶5，若，則此三角形移動的距離是____________．【答案】【分析】根據(jù)題意可知△A1BD∽△ABC，又根據(jù)已知條件“圖中所示的三角形的面積與四邊形的面積之比為4∶5”可得與的面積比為4∶9，即得出A1B∶AB=2∶3，已知，故可求A1B，最終求出．【詳解】∵根據(jù)題意“把沿邊平移到的位置”，∴AC∥A1D，故判斷出△A1BD∽△ABC，∵圖中所示的三角形的面積與四邊形的面積之比為4∶5，∴與的面積比為4∶9，∴A1B∶AB=2∶3，∵，∴A1B=，∴=AB－A1B=4－=．故答案為．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定方法和性質是解答本題的關鍵．4.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點、、均在格點上（1）將向左平移個單位得到，并寫出點的坐標；（2）畫出繞點順時針旋轉后得到的，并寫出點的坐標；（3）在（2）的條件下，求在旋轉過程中掃過的面積（結果保留）．【答案】（1）見解析,；（2）圖形見解析，；（3）【分析】（1）根據(jù)題意，可以畫出相應的圖形，并寫出點的坐標；（2）根據(jù)題意，可以畫出相應的圖形，并寫出點的坐標；（3）根據(jù)題意可以求得BC的長，從而可以求得在旋轉過程中掃過的面積．【詳解】（1）如圖所示，；（2）如圖所示，（3）【點睛】此題考查作圖-平移變換，作圖-旋轉變換，扇形面積的計算，解題關鍵在于掌握作圖法則．題型二對稱5.在平面直角坐標系中，點與點關于y軸對稱，則（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點關于y軸對稱，其橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同即可得到答案.【詳解】A，B關于y軸對稱，則橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同,故選B【點睛】本題考查點坐標的軸對稱，解題的關鍵熟練掌握點坐標的軸對稱.6.下列四個銀行標志中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是A． B． C． D．【答案】C【解析】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項正確；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選C．【名師點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．7.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是()A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正五邊形【答案】C【解析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．A、是軸對稱圖形．不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對稱圖形的定義．故錯誤；B、不是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一條直線，沿這條直線對折后它的兩部分能夠重合；即不滿足軸對稱圖形的定義．是中心對稱圖形．故錯誤；C、是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．故正確；D、是軸對稱圖形．不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對稱圖形的定義．故錯誤．故選C．點睛：此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，根據(jù)定義得出圖形形狀是解決問題的關鍵．8.下列圖形中既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．9.下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．

【答案】B【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義判斷即可．【詳解】解：∵A中的圖形旋轉180°后不能與原圖形重合，∴A中的圖象不是中心對稱圖形∴A不正確；∵B中的圖形旋轉180°后能與原圖形重合，∴B中的圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，∴B正確；∵C中的圖形旋轉180°后能與原圖形重合，∴C中的圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，∴C不正確；∵D中的圖形旋轉180°后不能與原圖形重合，∴D中的圖形不是中心對稱圖形，∴D不正確；故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義是解題的關鍵．10.如圖是以正方形的邊長為直徑，在正方形內畫半圓得到的圖形，則此圖形的對稱軸有（）A．2條 B．4條 C．6條 D．8條【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱的性質即可畫出對稱軸進而可得此圖形的對稱軸的條數(shù)．【詳解】解：如圖，因為以正方形的邊長為直徑，在正方形內畫半圓得到的圖形，所以此圖形的對稱軸有4條．故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質、軸對稱的性質、軸對稱圖形，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質．11.如圖，在扇形中，平分交狐于點．點為半徑上一動點若，則陰影部分周長的最小值為__________．【答案】【分析】如圖，先作扇形關于對稱的扇形連接交于，再分別求解的長即可得到答案．【詳解】解：最短，則最短，如圖，作扇形關于對稱的扇形連接交于，則此時點滿足最短，平分而的長為：最短為故答案為：【點睛】本題考查的是利用軸對稱求最短周長，同時考查了圓的基本性質，扇形弧長的計算，勾股定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．12.在平面直角坐標系中的位置如圖所示，且，在內有一點，M，N分別是邊上的動點，連接，則周長的最小值是______．【答案】【分析】分別作出點P關于OA和OB的對稱點和，連接，分別與OA和OB交于點M和N，此時，的長即為周長的最小值．【詳解】解：分別作出點P關于OA和OB的對稱點和，則（4，-3），連接，分別與OA和OB交于點M和N，此時，的長即為周長的最小值．由可得直線OA的表達式為y=2x，設(x,y)，由與直線OA垂直及中點坐標在直線OA上可得方程組：解得：則(0，5)，由兩點距離公式可得：即周長的最小值．故答案為．【點睛】本題考查了軸對稱變換中的最短路徑問題，解題關鍵在于找出兩個對稱點，利用方程求出點的坐標．13.如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是（1）將向上平移4個單位長度得到，請畫出；（2）請畫出與關于軸對稱的；（3）請寫出的坐標．【答案】（1）如圖所示：，即為所求；見解析；（2）如圖所示：，即為所求；見解析；（3）．【解析】【分析】（1）直接利用平移的性質得出對應點位置進而得出答案；（2）直接利用軸對稱的性質得出對應點位置進而得出答案；（3）利用所畫圖象得出對應點坐標.【詳解】（1）如圖所示：，即為所求；（2）如圖所示：，即為所求；（3）．【點睛】此題主要考查了軸對稱變換以及平移變換，正確得出對應點位置是解題關鍵.題型三旋轉14.如圖，將繞點逆時針旋轉70°到的位置，若，則（）A．45° B．40° C．35° D．30°【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)旋轉角定義可以知道，而，然后根據(jù)圖形即可求出．【詳解】解：∵繞點逆時針旋轉70°到的位置，∴，而，∴故選：D．【點睛】此題主要考查了旋轉的定義及性質，其中解題主要利用了旋轉前后圖形全等，對應角相等等知識．15.如圖，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉得到．此時恰好點C在上，交AC于點E，則△ABE與△ABC的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由旋轉的性質得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，則△BCC'是等邊三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，設CE=a，則BE=a，AE=3a，求出，可求出答案．【詳解】∵∠A=30°，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°，∵將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉得到△A'BC'，∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，∴△BCC'是等邊三角形，∴∠CBC'=60°，∴∠ABA'=60°，∴∠BEA=90°，設CE=a，則BE=a，AE=3a，∴，∴，∴△ABE與△ABC的面積之比為．故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質；熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．16.如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把向左平移4個單位后得到對應的A1B1C1，請畫出平移后的A1B1C1；（2）把繞原點O旋轉180°后得到對應的A2B2C2，請畫出旋轉后的A2B2C2；（3）觀察圖形可知，A1B1C1與A2B2C2關于點（，）中心對稱．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）﹣2，0．【分析】（1）依據(jù)平移的方向和距離，即可得到平移后的△A1B1C1；（2）依據(jù)△ABC繞原點O旋轉180°，即可畫出旋轉后的△A2B2C2；（3）依據(jù)對稱點連線的中點的位置，即可得到對稱中心的坐標．【詳解】解：（1）如圖所示，分別確定平移后的對應點，得到A1B1C1即為所求；（2）如圖所示，分別確定旋轉后的對應點，得到A2B2C2即為所求；（3）由圖可得，A1B1C1與A2B2C2關于點成中心對稱．故答案為：﹣2，0．【點睛】本題考查的是平移，旋轉的作圖，以及判斷中心對稱的對稱中心的坐標，掌握以上知識是解題的關鍵．17.已知和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1：連，求證：；（2）若將繞點O順時針旋轉，①如圖2，當點N恰好在邊上時，求證：；②當點在同一條直線上時，若，請直接寫出線段的長．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②或【分析】（1）利用SAS定理證明即可；（2）①連接，證明，即可證；②當點N在線段上時，連接，在中構造勾股定理的等量關系；當點M在線段上時，同理即可求得．【詳解】（1）證明：即，，即．和是等腰直角三角形，，（2）①證明：如圖1，連接．，，即．和是等腰直角三角形，，，，．是等腰直角三角形，，．②或．溫馨提示：如圖2，當點N在線段上時，連接，設，在中，，；如圖3，當點M在線段上時，連接，設，在中，解得：．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質，三點共線分類討論，對幾何題目的綜合把握是解題關鍵．18.(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一條直線上.

填空:線段AD,BE之間的關系為

.(2)拓展探究

如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,請判斷AD,BE的關系,并說明理由.

(3)解決問題

如圖3,線段PA=3,點B是線段PA外一點,PB=5,連接AB,將AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC,隨著點B的位置的變化,直接寫出PC的范圍.

【答案】(1)AD=BE，AD⊥BE．(2)AD=BE，AD⊥BE．(3)5-3≤PC≤5+3．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質證△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延長BE交AD于點F，由垂直定義得AD⊥BE．（2）根據(jù)等腰三角形性質證△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定義得∠OHB=90°，AD⊥BE；（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，PC=BE，當P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE；當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE，故5-3≤BE≤5+3.【詳解】（1）結論：AD=BE，AD⊥BE．理由：如圖1中，∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt△ACD和Rt△BCE中

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠EBC=∠CAD延長BE交AD于點F，∵BC⊥AD，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．∴AD=BE，AD⊥BE．故答案為AD=BE，AD⊥BE．（2）結論：AD=BE，AD⊥BE．理由：如圖2中，設AD交BE于H，AD交BC于O．∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE，在Rt△ACD和Rt△BCE中

，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如圖3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，∴PC=BE，圖3-1中，當P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE=5-3，圖3-2中，當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE=5+3，∴5-3≤BE≤5+3，即5-3≤PC≤5+3．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找三角形全等的條件，學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．19．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）在學習完《圖形的旋轉》后，劉老師帶領學生開展了一次數(shù)學探究活動【問題情境】劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第頁“探索”部分內容：如圖，將一個三角形紙板繞點逆時針旋轉到達的位置，那么可以得到：，，；，，（

）

劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉的關鍵；故數(shù)學就是一門哲學．【問題解決】（1）上述問題情境中“（

）”處應填理由：____________________；（2）如圖，小王將一個半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點逆時針旋轉到達扇形紙板的位置．

①請在圖中作出點；②如果，則在旋轉過程中，點經(jīng)過的路徑長為__________；【問題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題．

【答案】問題解決（1）旋轉前后的圖形對應線段相等，對應角相等（2）①見解析；②問題拓展：【分析】問題解決（1）根據(jù)旋轉性質得出旋轉前后的圖形對應線段相等，對應角相等；（2）①分別作和的垂直平分線，兩垂直平分線的交點即為所求點O；②根據(jù)弧長公式求解即可；問題拓展，連接，交于，連接，，，由旋轉得，，在和中求出和的長，可以求出，再證明，即可求出最后結果．【詳解】解：【問題解決】（1）旋轉前后的圖形對應線段相等，對應角相等

（2）①下圖中，點O為所求

②連接，，扇形紙板繞點逆時針旋轉到達扇形紙板的位置，，,，設，，，在旋轉過程中，點經(jīng)過的路徑長為以點為圓心，圓心角為，為半徑的所對應的弧長，點經(jīng)過的路徑長；

【問題拓展】解：連接，交于，連接，，如圖所示

．由旋轉得，．

在中，．在中，，，．

．．，

在和中，，又，，．又，，．【點睛】本題考查了旋轉的性質，弧長公式，解直角三角形，三角形全等的性質與判定，解題的關鍵是抓住圖形旋轉前后的對應邊相等，對應角相等，正確作出輔助線構造出直角三角形．20．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點在邊上，點是的中點，連接，．

(1)求證：；(2)將繞點逆時針旋轉，使點的對應點落在上，連接．當點在邊上運動時（點不與，重合），判斷的形狀，并說明理由．(3)在（2）的條件下，已知，當時，求的長．【答案】(1)見解析(2)等腰直角三角形，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的基本性質以及“斜中半定理”等推出，即可證得結論；（2）由旋轉的性質得，從而利用等腰三角形的性質推出，再結合正方形對角線的性質推出，即可證得結論；（3）結合已知信息推出，從而利用相似三角形的性質以及勾股定理進行計算求解即可．【詳解】（1）證：∵四邊形為正方形，∴，，∵點是的中點，∴，∴，∴，即：，在與中，∴，∴；（2）解：為等腰直角三角形，理由如下：由旋轉的性質得：，∴，∴，，∵，∴，即：，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形；（3）解：如圖所示，延長交于點，∵，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，設，則，，∴，解得：，（不合題意，舍去），∴．

【點睛】本題考查正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形和相似三角形的判定與性質等，理解并熟練運用基本圖形的證明方法和性質，掌握勾股定理等相關計算方式是解題關鍵．21．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當?shù)娜齻€內角均小于時，如圖1，將繞，點C順時針旋轉得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有③；已知當有一個內角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在中，三個內角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元．（結果用含a的式子表示）【答案】(1)①等邊；②兩點之間線段最短；③；④A．(2)(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質和兩點之間線段最短進行推理分析即可得出結論；（2）根據(jù)（1）的方法將繞，點C順時針旋轉得到，即可得出可知當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，最小值為，在根據(jù)可證明，由勾股定理求即可，（3）由總的鋪設成本，通過將繞，點C順時針旋轉得到，得到等腰直角，得到，即可得出當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，即取最小值為，然后根據(jù)已知和旋轉性質求出即可．【詳解】（1）解：∵，∴為等邊三角形；∴，，又，故，由兩點之間線段最短可知，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，∴，，∴，，又∵，∴，∴，∴；∵，∴，，∴，，∴三個頂點中，頂點A到另外兩個頂點的距離和最?。帧咭阎斢幸粋€內角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．∴該三角形的“費馬點”為點A，故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③；④．（2）將繞，點C順時針旋轉得到，連接，由（1）可知當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，最小值為，

∵，∴，又∵∴，由旋轉性質可知：，∴，∴最小值為，（3）∵總的鋪設成本∴當最小時，總的鋪設成本最低，將繞，點C順時針旋轉得到，連接，由旋轉性質可知：，，，，∴，∴，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，即取最小值為，

過點作，垂足為，∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為總的鋪設成本（元）故答案為：【點睛】本題考查了費馬點求最值問題，涉及到的知識點有旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，以及兩點之間線段最短等知識點，讀懂題意，利用旋轉作出正確的輔助線是解本題的關鍵．22．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問題情境：小紅同學在學習了正方形的知識后，進一步進行以下探究活動：在正方形的邊上任意取一點G，以為邊長向外作正方形，將正方形繞點B順時針旋轉．

特例感知：（1）當在上時，連接相交于點P，小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為的中點，如圖①．針對小紅發(fā)現(xiàn)的結論，請給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接，并延長與相交，發(fā)現(xiàn)交點恰好也是中點P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結論，請判斷的形狀，并說明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形繞點B順時針旋轉，連接，點P是中點，連接，，，的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）是等腰直角三角形，理由見解析；（3）的形狀不改變，見解析【分析】（1）連接，，，根據(jù)正方形的性質求出，證明，推出，再利用余角的性質求出，推出即可；（2）根據(jù)正方形的性質直接得到，推出，得到是等腰直角三角形；（3）延長至點M，使，連接，證明，得到，推出，設交于點H，交于點N，得到，由得到，推出，進而得到，再證明，得到，，證得，再由，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質求出，即可證得是等腰直角三角形．【詳解】（1）證明：連接，，，如圖，

∵四邊形，都是正方形，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即點P恰為的中點；（2）是等腰直角三角形，理由如下：∵四邊形，都是正方形，∴∴，∴是等腰直角三角形；（3）的形狀不改變，延長至點M，使，連接，

∵四邊形、四邊形都是正方形，∴，，∵點P為的中點，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，設交于點H，交于點N，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形．【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，平行線的性質等，（3）中作輔助線利用中點構造全等三角形是解題的難點，熟練掌握各性質和判定定理是解題的關鍵．23.將在同一平面內如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點A旋轉，連接BC，DE．探究S△ABC與S△ADC的比是否為定值．（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由．（圖①）（2）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30°角的直角三角板時，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由．（圖②）（3）兩塊三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n為常數(shù)），S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結論，不寫推理過程），如果不是，說明理由．（圖③）【答案】（1）結論：S△ABC：S△ADE＝1，為定值．理由見解析；（2）S△ABC：S△ADE＝，為定值，理由見解析；（3）S△ABC：S△ADE＝，為定值．理由見解析.【解析】【分析】（1）結論：S△ABC：S△ADE=定值．如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．首先證明∠DAE=∠CAG，利用三角形的面積公式計算即可．

（2）結論：S△ABC：S△ADE=定值．如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．首先證明∠DAE=∠CAG，利用三角形的面積公式計算即可．

（3）結論：S△ABC：S△ADE=定值．如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．首先證明∠DAE=∠CAG，利用三角形的面積公式計算即可．【詳解】（1）結論：S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∵AB＝AE＝AD＝AC，∴1．（2）如圖2中，S△ABC：S△