06 含指數(shù)式的極值點偏移問題-高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊極值點偏移專題

專題06含指數(shù)式的極值點偏移問題近幾年全國各地模擬試題?高考試題中頻繁出現(xiàn)一類考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的題型：在給定區(qū)間內(nèi)研究兩函數(shù)之間的不等關(guān)系．要解決這類問題，往往是直接構(gòu)造某個新函數(shù)，或者分離變量之后構(gòu)造新的函數(shù)，通過研究構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性來求出最值或者得到我們想要的不等關(guān)系．這一類問題多數(shù)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)，解題時除了直接構(gòu)造一元函數(shù)求解，還可將問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)問題，再用對數(shù)平均不等式求解，本文對此類問題做一探究．★（2016年新課標(biāo)I卷理數(shù)壓軸21題）1.已知函數(shù)有兩個零點．證明：．【答案】證明見解析.【解析】【分析】由參變分離得，，求導(dǎo)，得在遞減，在遞增，由，得.設(shè)，，進而設(shè)，，求導(dǎo)判斷，從而得，令，代入上式即可證得.【詳解】由函數(shù)有兩個零點，得，不難發(fā)現(xiàn)，，故可整理得：，設(shè)，則，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：，設(shè)，，則，故單調(diào)遞增，有．因此，對于任意的，．由可知?不可能在的同一個單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有，令，則有，而在上單調(diào)遞增，因此：，整理得：．【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）證明不等式成立的常用方法：（1）構(gòu)造部分對稱函數(shù)；（2）參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)；（3）參變分離再構(gòu)造對稱函數(shù)；（4）構(gòu)造加強函數(shù)；（5）利用“對數(shù)平均”不等式.★（2010天津理）2.已知函數(shù)，如果，且．證明：．【答案】證明見解析.【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，由，化簡得，令，整理得，進而得到，轉(zhuǎn)化為證明：，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，得，化簡得…①，不妨設(shè)，可得，令，則，代入①式，可得，解得，則，故要證，即證，又因為，等價于證明：…②，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，，從而也在上單調(diào)遞增，，即證②式成立，也即原不等式成立．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3.設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于兩點，且．證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）．【答案】證明見解析.【解析】【分析】由題意，，兩式相減，得到，記，將轉(zhuǎn)化為，再由導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性，從而得到，再由是單調(diào)增函數(shù)，得到.【詳解】因為兩式相減得.記，則，設(shè)，則，所以是單調(diào)減函數(shù)，則有，而，所以.又是單調(diào)增函數(shù)，且；所以.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，零點存在定理，關(guān)鍵是換元法構(gòu)造新函數(shù)，涉及知識點較多，題目較綜合，屬于難題.招式演練：4.已知函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若，為函數(shù)的兩個極值點，求的取值范圍并證明.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）將代入方程，求導(dǎo)可得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率，再求得的值，代入直線方程，即可得答案；（Ⅱ）依題意，，是方程的兩個實數(shù)根，設(shè)，求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，結(jié)合的圖像與性質(zhì)，即可求得a的范圍；根據(jù)，可解得，利用作差法比較與a的大小關(guān)系，即可得證.【詳解】（Ⅰ）依題意，，，故，而，故所求切線方程為，即.（Ⅱ）依題意，，是方程的兩個實數(shù)根，不妨設(shè)，設(shè)，則，則單調(diào)遞增，由得，由得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以要使方程有兩個實數(shù)根，只需，所以.由得，故，要證，則證明即可.，設(shè)，則，所以，設(shè)，則，當(dāng)時，易知，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而可得，故原不等式成立.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，綜合較強，計算難度偏大，屬難題.5.已知f（x）＝me2x﹣2x（x+1）ex，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，且函數(shù)f（x）恰有兩個極值點x1，x2.（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）求證：3＜x1x2﹣（x1+x2）＜8.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求得導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為值域的求解，利用導(dǎo)數(shù)處理即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，據(jù)此求得的范圍，借助基本不等式求得的范圍，即可證明.【詳解】（1），函數(shù)f（x）恰有兩個極值點x1，x2，則有兩個變號零點，當(dāng)時，，其，故此時有兩個變號零點，滿足題意；當(dāng)時，，令，故可得，故當(dāng)或時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.且當(dāng)時，恒成立，當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于0，又趨近于負無窮時，趨近于正無窮；且，故當(dāng)時，只有一個極值點，不滿足題意；當(dāng)時，有三個極值點，不滿足題意；當(dāng)時，有兩個極值點，滿足題意；當(dāng)時，沒有極值點，不滿足題意.綜上所述，（2）令，則，不妨設(shè)，由（1）可得：，令，則，故在單調(diào)遞減.故當(dāng)時，，即.令，則，又，故，又因為，且在單調(diào)遞減，故，即.故，由（1）知，則故，即.綜上可得：，.故3＜x1x2﹣（x1+x2）＜8即證.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)極值點個數(shù)求參數(shù)范圍，以及用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題，涉及極值點偏離思路的應(yīng)用，屬綜合困難題.6.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線與直線平行，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若，且，證明：.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意先求出的值，再利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；（2）先代入數(shù)值求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得出的單調(diào)性，整理已知條件，再次構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性整理即可得出結(jié)論.【詳解】（1），，則，，令，得或；令，得；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明：，，令，則，所以在上為增函數(shù)；，，與同號，不妨設(shè)，設(shè)，則，，，，在上為增函數(shù)，，，，又在上為增函數(shù)，，即.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及構(gòu)造函數(shù)證明不等式問題.考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，做題時要注意對條件的利用.屬于較難題.7.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若方程有兩個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍；（3）如果，且，求證：.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出；（2）由（1）可求出函數(shù)的值域，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合，即可求出的范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證函數(shù)在上單調(diào)遞增，可證對恒成立，由，則，利用函數(shù)單調(diào)性，可證，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可證明．【詳解】解：（1）因為，所以，.可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知函數(shù)在處取得最大值，，所以函數(shù)的圖象大致如下：.易知函數(shù)的值域為.因為方程有兩個不同的根，所以，即，，解得.即實數(shù)a的取值范圍為（3）證明：由，，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，，也即對恒成立.由，則，所以，即，又因為，，且在上單調(diào)遞減，所以，即.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查不等式與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．8.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)是上的增函數(shù)求的取值范圍；（2）若函數(shù)恰有兩個不等的極值點、，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）問題轉(zhuǎn)化為對恒成立.求導(dǎo)后分離參數(shù)得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求得最小值，根據(jù)不等式恒成立的意義得到所求范圍；（2）由，為兩個極值點不妨設(shè)，聯(lián)立極值點的條件，并結(jié)合要證不等式，消去a,將要證不等式轉(zhuǎn)化為只含有，的不等式，適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為只含有的不等式，作換元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進而證明即可.【詳解】解：（1），在上增函數(shù)等價于對恒成立.即，設(shè)，，0－0+極小值，故（2）由，由，為兩個極值點不妨設(shè)則兩式相減得要證明：等價于證明即兩邊同除等價于證明：，設(shè)即，設(shè)由（1）可知：當(dāng)時，恒成立，成立，即，∴∴在單調(diào)遞減∴故成立.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及不等式恒成立中的參數(shù)范圍，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點，以及關(guān)于極值點的不等式的證明問題，涉及消參思想和換元思想，構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值解決不等式相關(guān)問題，是典型題.9.已知函數(shù)(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，k∈R)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)函數(shù)有兩個零點時，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【詳解】試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題．（1）求導(dǎo)數(shù)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性．（2）根據(jù)題意將證明的問題轉(zhuǎn)化為證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可．試題解析：（1）解：∵∴．①當(dāng)時，令，解得，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．②當(dāng)時，恒成立，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增.（2）證明：當(dāng)時，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個零點．所以．設(shè)函數(shù)的兩個零點為，則，設(shè)，解得，所以，要證，只需證，設(shè)設(shè)單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故．10.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，，，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，再對分和兩種情況即得函數(shù)的單調(diào)性；（2）分析得到所以，，再化簡得到，構(gòu)造函數(shù)，得到，不等式即得證.【詳解】（1）．因為.當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由解得或，∵是增函數(shù)，∴此時在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）由（1）知，∴，所以，所以，∵，∴，，令，∴，∴在上是減函數(shù)，，∴，即．所以原不等式得證.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若方程有兩個不同的根，求實數(shù)的取值范圍；（3）如果，且，求證：．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出；（2）先求出函數(shù)的值域，即可求出的范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明．【詳解】解：（1）因為，所以，令，解得，令，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）可得函數(shù)在處取得最大值，，所以函數(shù)的圖象大致如下：．易知函數(shù)的值域為．因為方程有兩個不同的根，所以，即，，解得．即實數(shù)的取值范圍為．（3）證明：由，，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，，，則，所以在，上單調(diào)遞增，，也即對，恒成立．由，則，，所以，即，又因為，，且在上單調(diào)遞減，所以，即證．即．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查不等式與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．12.已知函數(shù)有三個極值點，（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）且；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）函數(shù)有3個零點等價于有3個變號零點，由于，且，所以可得有兩個不為0，－1的實根，再對求導(dǎo)討論其單調(diào)性可得結(jié)果；（2）由（1）可知有一個零點為0，所以不妨設(shè)，，而，所以，因此要證，即證而，，而在上遞減，，所以只需證，即，然后構(gòu)造函數(shù)，只需證此函數(shù)值恒大于零即可.【詳解】解：（1）利用的極值點個數(shù)即為的變號零點個數(shù)，，設(shè)，由已知，方程有兩個不為0，－1的實根，當(dāng)時，在上遞增，至多一個實根，故所以在上遞減，在上遞增，因為，所以時，有兩個實根，解得且（2）由（1）不妨設(shè)，，∵，∴.要證，即證而，由在上遞減，在上遞增，且故只要證，又，故只要證即證設(shè)∴∴遞增，∴即∴【點睛】此題考查函數(shù)的極值點問題，極值點偏移問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立等，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.13.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極值；（2）若直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點，，求證：【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，極值；（2）由時，，結(jié)合（1）中極值，可設(shè)，要證，需證，由，，且在是單調(diào)遞減函數(shù)，即只需證：，即只需證，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.【詳解】（1）∵，∴變化時，與變化情況如下－1－0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增∴當(dāng)時，有極小值為∴極小值為，無極大值.（2）由時，，設(shè)，由（1）知，，欲證：，需證：由，，且在是單調(diào)遞減函數(shù)即證：∵，即證：令，，當(dāng)時，，∴單調(diào)遞增∴，∴時，由時，∴，∴，得證【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，分析法的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并證明不等式，還考查了學(xué)生的分析推理能力，轉(zhuǎn)化思想的運用，難度較大.14.已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時若方程存在兩個不同的根，求證:【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，得出，對實數(shù)分兩種情況和討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）解法一：構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性，再由，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可證明，由，得出，通過因式分解得出，可得出所成的結(jié)論；解法二：構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，通過對等式變形得出轉(zhuǎn)化為證不等式，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，于是得出，再通過因式分解以及基本不等式等手段可得出，于此證明結(jié)論．【詳解】（1），，，當(dāng)時，則，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，由，得；由，得．所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）證明：令，，則，令，得；由，得；由，得．所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)，．不妨設(shè)，則，，且．先證明．構(gòu)造函數(shù)，其中，則，因為，則，，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以，，即，因為，所以，，，，且在上單調(diào)遞增，所以，，即．再證：．因為，所以，，且，所以，，所以，，即．所以，，所以，．綜上所述，；解法二：（1）同解法一；（2）證明：令，，則，令，得；由，得；由，得．所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)，．不妨設(shè)，則，，且．由，得，由得：，因為，所以，，，所以，，即，，，由得，，下面證明：，即證，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，所以，．所以．因為，，，所以，，即，因為，所以，即，所以，．綜上所述，．【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點、以及利用導(dǎo)數(shù)來證明函數(shù)不等式，對代數(shù)式變形、化簡以及根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是本題的難點所在，在處理這類問題時，也要注意極值點偏移問題的處理方法，考查分類討論思想以及函數(shù)方程思想，屬于難題．15.已知函數(shù)，其中，，e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若，且當(dāng)時，總成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，且存在兩個極值點，，求證：【答案】(1)；(2)見解析.【解析】【分析】(1)由已知可得，只需對與0的大小關(guān)系分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最小值，即可求出實數(shù)a的取值范圍；(2)根據(jù)，是的根，可得與的關(guān)系及其范圍，進而可將用含有的式子表示，構(gòu)造函數(shù)即可證出.【詳解】(1)若，則，所以，因為，，所以當(dāng)，即時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當(dāng)，即時，時，；時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不符合題意，綜上：實數(shù)a的取值范圍為.(2)若，則，所以，因為存在兩個極值點，所以，所以，令，得，所以是方程的兩個根，所以，，且，，不妨設(shè)，則，所以，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使得，證明：.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對函數(shù)直接求導(dǎo)，得，通過討論導(dǎo)函數(shù)的正負來得出的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.（2）先找到關(guān)于的對稱點，構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性發(fā)現(xiàn)，再結(jié)合條件及（1）的結(jié)論在上單調(diào)遞減，可得.【詳解】（1）由題可知，令，得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時，..令，則.∴在上單調(diào)遞增.又，∴當(dāng)時，，即.∵，∴.∵，∴.而由知，∵，由（1）知在上單調(diào)遞減，∴，∴.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力及轉(zhuǎn)化思想.屬于較難題.17.已知函數(shù).（1）若曲線在處切線的斜率為，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個零點、，證明，并指出的取值范圍.【答案】（1）為上的增函數(shù)；（2）證明見解析，的取值范圍是.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題意求出的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的零點的個數(shù)，利用單調(diào)性證明不等式后，即可確定滿足條件的的取值范圍，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析得出為的減函數(shù)，可得出，再由以及結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【詳解】（1），，則，得，此時，由得.則時，，為增函數(shù)；時，，為增函數(shù)，且，所以為上的增函數(shù)；（2）①當(dāng)時，由得或，若，由（1）知，為上的增函數(shù)，且，由，，所以只有一個零點，不符合題意；若，則當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)；時，，為增函數(shù).而，故最多只有一個零點，不符合題意；若時，則當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)，則，故最多只有一個零點，不符合題意；②當(dāng)時，由得.由得，為減函數(shù)，由得，為增函數(shù)，則.先證明：當(dāng)時，.構(gòu)造函數(shù)，則當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即.當(dāng)且時，，則，又，所以，函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點，所以當(dāng)時，始終有兩個零點、，不妨令，，構(gòu)造函數(shù)，所以，由于時，，又，則恒成立，所以為的減函數(shù)，則，即，故有.又、是的兩個零點，則，所以，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，所以，所求的取值范圍是.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，可從不等式的結(jié)構(gòu)特點出發(fā)，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的性質(zhì)，借助單調(diào)性或最值實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，在證明（或）的極值點偏移的問題時，一般利用對稱性構(gòu)造函數(shù)，通過利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.18.已知函數(shù)有兩個不同的零點，（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）證明：【答案】（1）（2）證明見解析；【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，有兩個不同的零點有兩個不同的根，然后利用數(shù)形結(jié)合求解即可(2)由(1)得，，得，不妨設(shè)，則結(jié)合圖象易得，，然后，構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論【詳解】（1）有兩個不同的零點有兩個不同的根.令，則，易得時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的公共點，則，所以，實數(shù)的取值范圍為.（2）由(1)得，，不妨設(shè)，則結(jié)合圖象易得，，令（），則，所以單調(diào)遞增，故，所以（）.由條件知，又，，以及由(1)得，函數(shù)在時單調(diào)遞增，得，所以.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題，以及考查極值點偏移的相關(guān)題目，屬于難題19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）已知函數(shù)的圖象與直線相交于，兩點（），證明：．【答案】（1）分類討論，答案見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用確定增區(qū)間，確定減區(qū)間，從而可得極值；（2）由（1）知只有在且即時，函數(shù)的圖象與直線才有兩個交點，由得，可得，同時由消去參數(shù)，并設(shè)，都可用表示，要證不等式，只要證，即，只要證，引入新函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)的知識可證．【詳解】解：（1），①當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，無極值；②當(dāng)時，由，得.所以時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.此時函數(shù)有極小值為，無極大值.（2）由題設(shè)可得，所以，且由（1）可知，，.，，∴，同理，由，可知，所以.由，得，作差得設(shè)（），由，得，所以，即，所以，要證，只要證，即，只要證.設(shè)（），則.所以在單調(diào)遞增，.所以.【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，證明與方程根有關(guān)的不等式．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．對于與方程的解有關(guān)的不等式問題，關(guān)鍵是引入新參數(shù)，如，，象本題，此時的范圍是確定的，如、、等等，接著關(guān)鍵是把用表示（可用消參法建立關(guān)系），要證的不等式就變?yōu)殛P(guān)于的不等式，引入新函數(shù)后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識證明．20.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求不等式在上的解；（2）設(shè)，關(guān)于直線對稱的函數(shù)為，求證：當(dāng)時，；（3）若函數(shù)恰好在和兩處取得極值，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)時，對求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在上的正負號，說明函數(shù)在上的單調(diào)性，再利用，即可解出不等式.（2）根據(jù)題意求出，令，求出說明其大于0.則在上單調(diào)遞增，再結(jié)合，即可得證.（3）根據(jù)題意可知，是函數(shù)的兩個不同實根.不妨設(shè)，分別根據(jù)函數(shù)零點存在性定理可得，可得，則，要證即證.化簡得，令，再根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)說明函數(shù)在上是減函數(shù)，結(jié)合，即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴在上單調(diào)遞增，又，∴的解集為；（2），∵關(guān)于直線對稱的函數(shù)為，∴∴令，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”，∵，故上式取不到“＝”，即，∴在上單調(diào)遞增，故，即，∴當(dāng)時，，（3）證明：由已知，由，是函數(shù)的兩個不同極值點（不妨設(shè)）.即，是函數(shù)的兩個不同實根.即，∴，，兩式相減得：，于是要證明，即證明，兩邊同除以，即證，即證，即證令即證不等式當(dāng)時恒成立.設(shè)，∴而，即，∴，∴在