數(shù)學(xué)2019年全國(guó)各地真題（有答案）

2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?全國(guó)【卷

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合M={x|-4<x<2},Af={x|x2-x-6<0},則MDN=()

A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}

C.{x\~2<x<2]D.{x|2<x<3}

C【考查目標(biāo)】本題主要考查集合的交運(yùn)算、解一元二次不等式等，考查考生的化

歸與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】通解"：N={x\-2<x<3},M={x\-4<x<2},：.MC\N={x\-2<x<2},

故選C.

優(yōu)解由題可得'={川―2<犬<3}.V-3$2V,二一34MCIN,排除A,B;V2.55M,

2.54〃nN,排除D.故選C.

【解題關(guān)鍵】求解此類題的關(guān)鍵：一是化簡(jiǎn)集合，如本題通過(guò)解一元二次不等式，達(dá)

到化簡(jiǎn)集合的目的；二是借形解題，有關(guān)集合之間的補(bǔ)集、交集、并集問(wèn)題，需對(duì)集合的相

關(guān)概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，通過(guò)觀察集合之間的關(guān)系，借助數(shù)軸尋求元素之

間的關(guān)系，使問(wèn)題直觀準(zhǔn)確地得到解決.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z—i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()

A.(x+l)2+y2=]B.(A：—l)2+y2=l

C.9+。-1)2=1D.N+(y+l)2=l

C【考查目標(biāo)】本題主要考查復(fù)數(shù)的模的概念和復(fù)數(shù)的幾何意義，考查考生的化歸

與轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】通解在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,j),.t.z=x+yi(x,yGR).,.析一i|=l,

.,.pv+(y-l)i|=l,1)2=1.故選C.

優(yōu)解一；|z-i|=l表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(0,1)的距離為1,Ax2

+。-1)2=1.故選C.

優(yōu)解二在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)(1,1)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=l+i滿足憶一“=1,但點(diǎn)(1,1)不在選

項(xiàng)A,D的圓上，.?.排除A,D;在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)(0,2)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=2i滿足|z—i|=l,

但點(diǎn)(0,2)不在選項(xiàng)B的圓上，,排除B.故選C.

3.已知a=log20.2,6=202,c=0.20-3,則()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

B【考查目標(biāo)】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查考生的運(yùn)算求解

能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

2o3

【解析】?.,a=log20.2<0,h=20->\,c=O.2-G（O,1）,...aVcCA故選B.

【得分秘籍】破解此類題，通常尋找中間變量0,1進(jìn)行估算，即可比較大小.

4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度

之比是好號(hào)1M.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如

此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是嚀」若

某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26

cm,則其身高可能是（）

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

B【考查目標(biāo)】本題主要考查以數(shù)學(xué)文化為背景的估算思想，考查考生的運(yùn)算求解

能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】26+26^0.618+（26+26-0.618）-0.618=178（cm）,故其身高可能是175cm,故

選B.

5.函數(shù)大力=泌空當(dāng)在［一兀，用的圖象大致為（）

COSIX-

D【考查目標(biāo)】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、數(shù)

形結(jié)合能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】?/—、）=V匕不=—我累=—於），二危）為奇函數(shù)，排

sin兀+兀Tt>。，：.排除C;?加）=黑哥,且sinl>cos1,；如）

除A;：刎=

cosTI+TT-1+?t2

>1,二排除B.故選D.

【方法總結(jié)】已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)圖象的技巧：一是靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，常

利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來(lái)排除錯(cuò)誤選項(xiàng)；二是取特殊點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的解析式，選擇特殊

點(diǎn)，即可快速排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而得出正確的選項(xiàng).

6.我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻

組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻"——“，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則

該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是（）

5c11

A正B.我

C2Dn

=32"16

A【考查目標(biāo)】本題主要考查古典概型、計(jì)數(shù)原理等知識(shí)，考查考生的運(yùn)算求解能

力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】由6個(gè)爻組成的重卦種數(shù)為2，＞=64,在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰

有3個(gè)陽(yáng)爻的種數(shù)為C&=父?*=20.根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得，所求概率「=|^=焉

故選A.

【解題關(guān)鍵】破解此題的關(guān)鍵：一是會(huì)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求樣本空間所含的基本

事件總數(shù)；二是會(huì)利用組合數(shù)求事件發(fā)生所含的基本事件數(shù)；三是會(huì)利用古典概型的概率計(jì)

算公式求事件發(fā)生的概率.

7.已知非零向量8滿足⑷=2網(wǎng)，且儂一為，"則a與》的夾角為（）

7t

A工B.

3

57r

D.~6

B【考查目標(biāo)】本題主要考查平面向量的垂直、平面向量的夾角，考查考生的化歸

與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】設(shè)a與的夾角為a,,.?（“一/＞）_!_瓦.'.（a—b＞6=0,二。力=於，；.|研|用cosa

1IT

=|》F,又|a|=2|A|,.,.cosa=^,*/ae（0,n）,.故選B.

【易錯(cuò)警示】本題易錯(cuò)點(diǎn)有兩處：一是兩向量的夾角公式記錯(cuò)，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤；二是

由三角函數(shù)值求角時(shí)，把正弦的函數(shù)值與余弦的函數(shù)值搞混，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤，從而誤選A.

8.如圖是求一1r■的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（

2+-J

2+2

A=2+A

B.4=2+]

A

C'4=1+24

D-A="=

A【考查目標(biāo)】本題主要考查含有當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，考查考生的推理論證

能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理.

【解析】A=~z,k=1,1W2成工，執(zhí)行循環(huán)體；A—7,k=2,2W2成立，執(zhí)行循

2+2

環(huán)體；A=—―,k=3,3W2不成立，結(jié)束循環(huán)，輸出A.故空白框中應(yīng)填入.故

2+72十A

2+2

選A.

【方法總結(jié)】破解此類題需關(guān)注題干中所陳述的意思和程序框圖中所含的結(jié)構(gòu)，才能

準(zhǔn)確填寫處理框中的內(nèi)容.

9.設(shè)S,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.已知$4=0,的=5,則()

A.an—2n—5B.a“=3n—10

22

C.Sn=2n—8nD.Sn=^n~2n

A【考查目標(biāo)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式，考查考生的運(yùn)

算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、教學(xué)運(yùn)算.

【解析】解法一設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為乩

f.4x3

54=0,46n+-7-J=0,〃]=-3

解得a=a\+(n—l)d=-3+2(〃-1)=2〃一

6/5=5,,d=2,tl

、〃i+4d=5,

n1)d=〃2—4〃.故選A.

_=

5,SnnciiI-

[S4=o,

解法二設(shè)等差數(shù)列｛如｝的公差為d,???

[45=5,

'4x3

4^|+-7-^=0,[67i=-3,

2解得選項(xiàng)A,m=2xl-5=-3;選項(xiàng)B,0=3x1-10=

?.G〔d=2.

l?i+4AJ=5,

13

-7,排除B;選項(xiàng)C,$=2—8=—6,排除C;選項(xiàng)D,5]=]—2=—5，排除D.故選A.

10.已知橢圓。的焦點(diǎn)為尸i(—1,0),F2(l,0),過(guò)巳的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若

\AF2\=2\F2B\9|AB|=|BF1|,則C的方程為()

y2v-2

A.y+y2=1B.可+，=1

12y2,y2丫2

4+7=1D.W+5=1

B【考查目標(biāo)】本題主要考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力、化歸與

轉(zhuǎn)化思想以及教形結(jié)合思想，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

92

【解析】由題意設(shè)橢圓的方程為，+b=1(“>6>0),連接F\A,令|F2B|=,〃，則

=2m,|BQ|=3九由橢圓的定義知，4m=2a,得力=冬故|&A|=a=|QA|,則點(diǎn)A為橢圓C

的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn).令/。4尸2=仇0為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sin6=5.在等腰三角形A8Fi中，cos2。

211小22J

=z-=7,所以Q=l—2匕)，得〃2=3.又”=］,所以抉=々2—/=2,橢圓。的方程為(+'=

1.故選B.

【解后反思】求解圓錐曲線試題，首先考慮畫圖，其次考慮定義與幾何性質(zhì).凡涉及

焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題，應(yīng)注意解三角形知識(shí)的應(yīng)用.

11.關(guān)于函數(shù)40=sink|+kinx|有下述四個(gè)結(jié)論：

①/(x)是偶函數(shù)

②/W在區(qū)間(壬兀)單調(diào)遞增

③穴》)在［一兀，利有4個(gè)零點(diǎn)

④/U)的最大值為2

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②④B.②④

C.①④D.①③

C【考查目標(biāo)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、最值)，函數(shù)

零點(diǎn)，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯

推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】通解#—x)=sin|—x|+、in(—x)|=sinR+binx|=/U),?\/(x)為偶函數(shù)，故①

正確；當(dāng)5Vxe兀時(shí)，/x)=sinx+sinx=2sinx,?\/(x)在俘兀)單調(diào)遞減，故②不正確；於)

在［一兀，n］的圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)7U)在［一兀，Ti］只有3個(gè)零點(diǎn)，故③不正確；???丁

=sin|x|與)，=kinx|的最大值都為1且可以同時(shí)取到，?7/(幻可以取到最大值2,故④正確.綜

上，正確結(jié)論的序號(hào)是①④.故選C.

優(yōu)解V/-X)=sin|+|sin(—x)\=sin|x|+|sinx\=fix),??J(x)為偶函數(shù)，故①正確，排

除B;當(dāng)，VxV兀時(shí)，*x)=sinx+sinx=2sinx,?\/(x)在《，兀)單調(diào)遞減，故②不正確，排除

A;?.,y=sinR與y=|sinx|的最大值都為1且可以同時(shí)取到，的最大值為2,故④正確.故

選C.

12.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2

的正三角形，E,F分別是用，A8的中點(diǎn)，NCEF=90。，則球0的體積為()

A.8#兀B.4優(yōu)兀

C.2#itD.y[fm

D【考查目標(biāo)】本題主要考查三棱錐的外接球的體積，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、

空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)E,尸分別為以，AB的中點(diǎn)，所以EF〃PB,

因?yàn)?CEF=90°,所以EF_LCE,所以P8_LCE.

取AC的中點(diǎn)￡>,連接BO,PD,易證AC_L平面BOP,

所以尸B_LAC,又ACDCE=C,AC,CEU平面必C,所以尸3_L平面B4C,

所以尸8_LB4,PBLPC,因?yàn)楸?PB=PC,ZXA8C為正三角形，

所以朋_LPC,即B4,PB,PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC放在正方體中如圖所示.因

為AB=2,所以該正方體的棱長(zhǎng)為也，所以該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為優(yōu),所以三棱錐P-ABC

的外接球的半徑R=坐,所以球0的體積丫=條尸=$(坐)=觀兀，故選D.

【解題關(guān)鍵】破解此類題的關(guān)鍵：一是熟悉正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征；二是會(huì)利用正方體

或長(zhǎng)方體，把三棱錐放入正方體或長(zhǎng)方體中求解；三是會(huì)用公式，熟記球的體積公式.

二'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線y=3(x2+x)e，在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

y=3x【考查目標(biāo)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查

的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】因?yàn)樗郧€在點(diǎn)(0,0)處的切

線的斜率々=^'=0=3,所以所求的切線方程為y=3x.

【方法總結(jié)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與曲線的切線聯(lián)系在一起，曲線大x)在點(diǎn)

(x(),7(X0))處的切線方程為y—J(xo)=f(xo)(x—xn),其中/(Xo)表示曲線人》)在點(diǎn)(M),兀卬))處的切

線的斜率.

14.設(shè)S”為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若屆=46，則$5=.

虧【考查目標(biāo)】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式，考查考生的運(yùn)

算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】通解設(shè)等比數(shù)列｛〃"｝的公比為4，因?yàn)榍?。6,所以（。0）2=0爐，所以“同

,（?_與、弓*（1—3，）si

=1,又ai=Q,所以q=3,所以S5=色―j—5-=;---j----=-^~.

3I—q1—3J

優(yōu)解設(shè)等比數(shù)列｛如｝的公比為q,因?yàn)殛?。6,所以a2a6=。6,所以“2=1,又ai=g,

（15、Q—3，）I。]

“，~~,八ai（1—o'）3121

所以q=3,所以$5=]_g=匚百=--

【方法總結(jié)】首項(xiàng)與公比是等比數(shù)列的“基本量”，在解決等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，“基

本量法”是常用的方法.

15.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決

賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝

的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率

是.

0.18【考查目標(biāo)】本題主要考查獨(dú)立事件的概率、對(duì)立事件的概率，考查考生的邏

輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】記事件M為甲隊(duì)以4：1獲勝，則甲隊(duì)共比賽五場(chǎng)，且第五場(chǎng)甲隊(duì)獲勝，前

四場(chǎng)甲隊(duì)勝三場(chǎng)負(fù)一場(chǎng)，所以P（M）=0.6X（0.62X0.52X2+0.6X0.4X0,52X2）=0.18.

【易錯(cuò)警示】本題的易錯(cuò)點(diǎn)是五場(chǎng)比賽，只考慮甲隊(duì)獲勝的四次，漏考慮失敗的一次,

導(dǎo)致所得的結(jié)果錯(cuò)誤.

16.已知雙曲線C：出一齊=13>0,Q0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,Fi，過(guò)人的直線與

C的兩條漸近線分別交于4,B兩點(diǎn).若m=屈，萬(wàn)方.疫=0,則C的離心率為.

2【考查目標(biāo)】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，直線和雙曲線的位置關(guān)系，平面向

量的相關(guān)知識(shí)，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素

養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】通解因?yàn)镽方?疫=0,所以如圖.

所以|OFi|=|O8|,所以NBFiO=NFiBO,所以/BOF2=2/BFIO.因?yàn)閼袅?屈，所以點(diǎn)

A為QB的中點(diǎn)，又點(diǎn)。為尸正2的中點(diǎn)，所以O(shè)A〃BB,所以FiB_LOA,因?yàn)橹本€0A,

0B為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan/8FiO=￡,tan/8OF2=§.因?yàn)閠an/B0F2=

tan（2ZBFiO）,所以'=3”，所以b2=3a2,所以c2—a2=3a2,即2a=c,所以雙曲線的

離心率e=§=2.

優(yōu)解因?yàn)閼袅?@=0,所以QB_LF2B,在RtZ\Q8F2中，|。用=|。尸2I,所以N08/2=

ZOF2B,又月1=屈，所以A為FiB的中點(diǎn)，所以04〃眄8,所以/QOA=NOF28.又/QOA

=ZBOF2,所以△OBF2為等邊三角形.由尸2（c,0）可得砥華），因?yàn)辄c(diǎn)8在直線y=%

上，所以率c=21所以小，所以e=、/l+曰=2.

乙cizaci

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必

考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分）△4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)（sinB-sinC）2=sin2A-sin

BsinC.

⑴求A；

（2）若也〃+/>=2c,求sinC.

【考查目標(biāo)】本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換，考查考生的化歸與

轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解題思路】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再利用余弦定理，即可求出cosA的值，

從而求得A的大小；（2）利用正弦定理，將邊化為角，再利用（1）的結(jié)論以及兩角差的正弦公式

與輔助角公式，即可求出sinC的值.

解：⑴由已知得sin?B+sin?C-sin?A=sinBsinC,故由正弦定理得32+/一/=加.

加+/一］

由余弦定理得cosA=-------------=/.

因?yàn)?0VAV180。，所以A=600.

（2）由（1）知8=120°-C,由題設(shè)及正弦定理得讓sinA+sin（120°—0=2sinC,即乎+坐

1、歷

cosC+^sinC=2sinC,可得cos（C+60°）=一手.

12

由于（TVCV120。，所以sin（C+6（r）=彳，故

sinC=sin(C+60°-60°)

=sin(C+60°)cos60°—cos(C+60°)sin60°

=4,

【方法總結(jié)】求解此類問(wèn)題的突破口：一是正確分析已知等式中的邊角關(guān)系，合理地

設(shè)計(jì)“邊往角化”還是“角往邊化”，活用正弦定理、余弦定理；二是求角的值時(shí)應(yīng)注意三角形

對(duì)角的取值范圍的限制；三是熟記兩角和、差的三角公式.

18.(12分)如圖，直四棱柱4BCD-A出CQ的底面是菱形，A4=4,

48=2,ZBAD=60°,E,M,N分別是5C,BBi，4。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面GOE；

(2)求二面角A-MAi-N的正弦值.

【考查目標(biāo)】本題主要考查空間直線與平面的平行關(guān)系，二面角

的正弦值的求解，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，

考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解題思路】(1)欲證MN〃平面CQE,只需在平面CQE內(nèi)尋找一條直線與直線MN

平行；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面M4N的法向量，再求出兩法向

量的夾角的余弦值，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可求出二面角A-M4-N的正弦值.

解：⑴連接SC,ME.因?yàn)镸,E分別為BBi,3c的中點(diǎn)，所以ME〃囪C,且ME=/C.

又因?yàn)锳為4。的中點(diǎn)，所以ND=%Q.

由題設(shè)知4Bi觸。C,可得BiC飆AQ,MEMND,因此四邊形MVDE為平行四邊

形，MN//ED.又MNQ平面EDC{,所以MN//平面CiDE.

(2)由已知可得OE1.D4.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4的方向?yàn)閤軸正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系￡>-孫z,則A(2,0,0),4(2,0,4),

M(l,木,2),N(l,0,2),瓦X=(0,0,-4),皿=(-1,y[3,-2),

屈=(-1,0,-2),加=(0,一小，0).

設(shè)機(jī)=(x,y,z)為平面41MA的法向量，則

?nA|A/=0,

V

mA\A=G.

f-x+d5y_2z=0,廣

所以j可取m=(W，1,0).

〔一4z=0.

設(shè)〃=(p,/r)為平面AiMN的法向量，則

n-Mk=O,

n-Aih—O.

1一小q=0,

所以＜可取"=(2,0,-1).

(—p—2r=0.

于是cos〈，〃，”〉=j孫？j=所以二面角A-M4-N的正弦值為點(diǎn)°.

叫2x75JJ

【易錯(cuò)警示】本題的易錯(cuò)點(diǎn)：一是求平面的法向量出錯(cuò)，應(yīng)注意點(diǎn)坐標(biāo)的求解的準(zhǔn)確

性；二是公式用錯(cuò)，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)；三是審題不認(rèn)真，導(dǎo)致失分.

3

19.(12分)已知拋物線C：尸=3》的焦點(diǎn)為F,斜率為］的直線/與C的交點(diǎn)為A,B,

與x軸的交點(diǎn)為P.

(1)若|4月+|8網(wǎng)=4,求/的方程;

(2)若力=3聞，求|AB|.

【考查目標(biāo)】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位

置關(guān)系、平面向量共線等知識(shí)，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化

歸與轉(zhuǎn)化思想等，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解題思路】(1)設(shè)直線/：y=^x+t,結(jié)合拋物線的定義得xi+x2=|,將直線/與拋物

線C的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得關(guān)于，的方程，解方程，求出，的值，即可得/

的方程；(2)利用向量共線，得點(diǎn)4,8的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，將直線/與拋物線C的方程聯(lián)

立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)+m=2,從而求出點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得點(diǎn)A,B的橫

坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|A周.

解：設(shè)直線/：y=|x+r,A(xi,y)B(JC2,").

⑴由題設(shè)得帽，0),故|AF|+|BF|=XI+X2+|,由題設(shè)可得加+息=|.

y=z^+r,12(/—l)

由42可得9/+12(/—l)x+4戶=0,則為+x2=--------g-------.

.y2=3x

37

所以/的方程為

(2)由#=3肪可得y尸-3y2.

由“―/"+''可得?-2y+2r=0.

j2=3x

所以yi+>2=2.從而-3m+>2=2,故”=—1,巾=3.

代入C的方程得X]=3,12=1.

故依8|=耳亙.

20.(12分)已知函數(shù),*x)=sinx—ln(l+x),/(x)為?x)的導(dǎo)數(shù)，證明：

(1中(X)在區(qū)間(一1，5存在唯一極大值點(diǎn)；

(2求x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【考查目標(biāo)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與函數(shù)零點(diǎn)個(gè)

數(shù)的證明等，考查考生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化

思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

解：(1)設(shè)以》)=/(》)，則g(x)=cosx—Y^：,g〈x)=-sinx+~^7^y^.當(dāng)§時(shí)，

g，(x)單調(diào)遞減，而g<0)>0,g'6)vo，可得g'(x)在(一1,電有唯一零點(diǎn)，設(shè)為a.則當(dāng)Xd(一

1,a)時(shí)，g'(x)>0:當(dāng)xG(a,習(xí)時(shí)，g'(x)<0.

所以g(x)在(一1,a)單調(diào)遞增，在(a,知單調(diào)遞減，故g(x)在(一1,g)存在唯一極大值點(diǎn),

TT

即/(X)在(-1,])存在唯一極大值點(diǎn).

(2次x)的定義域?yàn)?-1,+a>).

6)當(dāng)彳6(—1,0]時(shí)，由(1)知，/(x)在(-1,0)單調(diào)遞增，而了(0)=0,所以當(dāng)xd(—1,

0)時(shí)，/(x)<0,故於)在(一1,0)單調(diào)遞減.又式0)=0,從而x=0是1x)在(-1,0]的唯一零

點(diǎn).

(ii)當(dāng)xG(0,?時(shí)，由(1)知，/(X)在(0,a)單調(diào)遞增，在(a,g單調(diào)遞減，而/(0)=0,

./(?)<0,所以存在夕e(a,使得了劭=0,且當(dāng)xe(0,為時(shí)，/(x)>0;當(dāng)§時(shí)，

/(x)<0.故式x)在(0,用單調(diào)遞增，在仇辨調(diào)遞減.

又<0)=0,周=1一始(1+號(hào)>0,所以當(dāng)xG(0,時(shí)，<x)>0.從而，於)在(0,；沒(méi)有

零點(diǎn).

(iii)當(dāng)n時(shí)，/(x)V0,所以Hx)在兀)單調(diào)遞減.而周>0,刎V0,所以火x)

在得，兀有唯一零點(diǎn).

(iv)當(dāng)xe(7t,+8)時(shí)，ln(x+l)>l,所以火x)V0,從而加x)在(兀，+8)沒(méi)有零點(diǎn).

綜上，兀V)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

21.(12分)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此

進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，

隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其

中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥

更有效.為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白

鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則

乙藥得1分，甲藥得一1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈

率分別記為a和夕，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求*的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，p，G=O,1,…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i

時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則僅)=0,08=1,pi=api-i+bpi+cpi+i(i=l,2,

7),其中a=P(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=l).假設(shè)a=0.5,4=0.8.

(i)證明：｛p,+i-p,｝(i=0,1,2....7)為等比數(shù)列；

(ii)求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

【考查目標(biāo)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列、等比數(shù)列的定義、方案的合理

性問(wèn)題，考查考生的數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、

數(shù)據(jù)分析.

【解題思路】(1)先求出X的所有可能取值，再用a,￡表示出X取各個(gè)值時(shí)的概率，

即可得X的分布列.(2)(i)由(1)得a,b,c的值，再利用等比數(shù)列的定義，證明數(shù)列｛~+1—

2｝是等比數(shù)列；(ii)利用(i)的結(jié)論，將P8用pi表示，再根據(jù)08=1,可求出0,從而得P4

的值，即可對(duì)方案的合理性做出判斷.

解：(1)X的所有可能取值為-1,0,1.

P(X=-I)=(I-?)A

P(X=0)=a/5+(l-a)(l

P(X=l)=a(l-Q).

所以X的分布列為

X-101

P(1-a)在儂+(1—a)(l一份a(l一夕)

(2)(i)由⑴得a=O4,匕=0.5,c=0.1.

因此pi=0APt-\+0.5pi+0.lpi+i,故0.1(/?,+1—pi)=0.4(p,—p,-1),即pi+i—pi=4(pi—pi-i).

又因?yàn)閜i—po=pi/0,所以{pi+i—pi}(i=0,1,2,7)為公比為4,首項(xiàng)為pi的等比

數(shù)列.

(打)由(i)可得

PS=P8—pi+Pl—ph+...+〃1_po+〃O

=（P8-pi）+（P1-〃6）+…+3-po）

48-l

=-y7.

3

由于P8=l,故Pl=4-］,所以

P4=（P4-pi）+（P3—P2）+（P2-P1）+（p1—po）

44-l

=^-Pl

_1

=說(shuō)

P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治

愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為「4=冊(cè)立0039,此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，

說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分.

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

f1-r2

卜=吊，

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為〈Q為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極

9-1+產(chǎn)

點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為勿cos8+小川in9+11=0.

（1）求C和/的直角坐標(biāo)方程；

（2）求C上的點(diǎn)到/距離的最小值.

【考查目標(biāo)】本題主要考查橢圓的參數(shù)方程與直線的極坐標(biāo)方程、橢圓上的點(diǎn)到直線

的距離最小值等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、

數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解題思路】（1）利用平方法，可輕松消去參數(shù)，從而得曲線C的直角坐標(biāo)方程；利用

極坐標(biāo)公式，即可求出直線/的直角坐標(biāo)方程.（2）設(shè)出C的參數(shù)方程，再利用點(diǎn)到直線的距

離公式與輔助角公式，以及三角函數(shù)的有界性，即可求出C上的點(diǎn)到/的距離的最小值.

解：（1）因?yàn)橐?VR/W1,且f+GJ+下工所以c的直角坐標(biāo)方

程為/+￡=1（琳一1）.

/的直角坐標(biāo)方程為2x+V3y+ll=0.

x=cosa

(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為'’(a為參數(shù)，-7t<aV7t).

j=2sina

C上的點(diǎn)到/的距離為

|2cosa+2,\/3sina+1114cos(a3)+1］

幣=F'

當(dāng)a=一與時(shí)，4cos(a-&+11取得最小值7,故C上的點(diǎn)到/距離的最小值為市.

【解題關(guān)鍵】求解本題的關(guān)鍵：(1)會(huì)轉(zhuǎn)化，即把橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，

并把直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；(2)會(huì)設(shè)動(dòng)點(diǎn)，即利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)

坐標(biāo)；(3)會(huì)活用三角函數(shù)的有界性，利用輔助角公式與三角函數(shù)的有界性，求出最值.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知a,b,c,為正數(shù)，且滿足岫c=l.證明：

(l)!+3+：Wa2+62+c2；

(2)(a+6)3+3+c)3+匕+“)3224.

【考查目標(biāo)】本題主要考查利用綜合法以及基本不等式證明不等式，考查運(yùn)算求解能

力、推理論證能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

解：(1)因?yàn)閍2-1-b2^2ab,b2+c2^2bc,且“bc=l,故有a2+lr+c2^ab

ah+hc+ca

+hc+ca=

abc

所以5+5+!W。2+岳+機(jī)

(2)因?yàn)榉瞓,c為正數(shù)且abc=l,故有

(。+力)3+(。+c)3+(c+a)3

3.___________________________

23d(a+b)3(b+c)(〃+c)3

=3(q+b)S+c)(a+c)23x(2V^)x(2版)X(2M)=24.

所以(a+b)3+(/?+c)3+(c+a)3224.、

2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?全國(guó)n卷

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

I.設(shè)集合人="5一5x+6>0},B={x|x-l<0},貝I]ACIB=()

A.(—oo,1)B.(—2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+o))

A【考查目標(biāo)】本題主要考查不等式的求解、集合的交運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算

求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】因?yàn)橐?x+6>0}={xb>3或x<2},{x|x-1<0}={xpc<1},所

以AD8={x優(yōu)<1},故選A.

2.設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

C【考查目標(biāo)】本題主要考查共軻復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義，意在考查考生的運(yùn)算求

解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】由題意，得z=-3—2i,其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-3,-2),位于第三象

限，故選C.

3.已知顯=(2,3),泥=(3,。，|曲=1,則屈?月逢=()

A.—3B.—2

C.2D.3

C【考查目標(biāo)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，意在考查

考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】因?yàn)檫x=祀一屈=(1,f-3),所以|比|=41+。-3)2=1,解得f=3,所

以證=(1,0),所以顯?證=2x1+3x0=2,故選C.

4.2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航

天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)

器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗

日七點(diǎn)的軌道運(yùn)行.心點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為月球質(zhì)

量為此，地月距離為R,4點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，廠滿

MiMi/\4\r3涼+3。4+。5

足方程：+等=(R+r)需設(shè)a=5.由于a的值很小，因此在近似計(jì)算中

(R+r、)'，產(chǎn)KK(，昔1-\~a)/

=3a3,則，的近似值為()

B.

D【考查目標(biāo)】本題主要考查考生對(duì)背景材料的審讀能力、邏輯思維能力、化歸與

轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】由一譬=(穴+「卷，得,"、+器=(1+舟外?因?yàn)閍弋,所以

I"㈤

Mi?M2?、〃,廿3a3+34+a5M2,36z3+3a4+a5得3加=號(hào)，即3橫

（1+a）支2-（1+幻必，仔（1+a）2=而由（1+a）…，

券所以八隔R故選D,

5.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原

始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相

比，不變的數(shù)字特征是()

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.極差

A【考查目標(biāo)】本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題

的能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理.

【解析】記9個(gè)原始評(píng)分分別為凡b,c,d,e,f,g,/?,，?(按從小到大的順序排列),

易知e為7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.

6.若a>b,貝！］()

A.ln(<?-Z?)>0B.3"<3〃

C.a3~b3>0D.|a|>|fe|

C【考查目標(biāo)】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，意在考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求

解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】通解由函數(shù)y=lnx的圖象(圖略)知，當(dāng)0<a—XI時(shí)，ln(a-/))<0,故A不

正確：因?yàn)楹瘮?shù)y=3*在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，3">3",故B不正確：因?yàn)楹瘮?shù)>=

JC3在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，a3>b\即〃一加>0,故c正確；當(dāng)*a<0時(shí)，\a\<\b\,

故D不正確.故選C.

優(yōu)解當(dāng)。=0.3,匕=一0.4時(shí),\n(a-b)<0,3“>3〃，—,故排除A,B,D.故選C.

【注意事項(xiàng)】特例法具有簡(jiǎn)化運(yùn)算和推理的作用，適用于題目中含有字母或具有一般

性結(jié)論的選擇題，但用特例法做選擇題時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：第一，取特例時(shí)應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單,

有利于計(jì)算和推理；第二，若在某一特殊情況下有兩個(gè)或兩個(gè)以上的選項(xiàng)符合，則應(yīng)選另一

特殊情況再檢驗(yàn)，直到剩余一個(gè)選項(xiàng).

7.設(shè)a,夕為兩個(gè)平面，則a〃4的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與月平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與夕平行

C.a,夕平行于同一條直線

D.a,夕垂直于同一平面

B【考查目標(biāo)】本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，意在考查考生

的空間想象能力、邏斡思維能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象.

【解析】對(duì)于A,a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與￡平行，當(dāng)這無(wú)數(shù)條直線互相平行時(shí)，a與￡

可能相交，所以A不正確；對(duì)于B,根據(jù)兩平面平行的判定定理與性質(zhì)知，B正確；對(duì)于C,

平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；對(duì)于D,垂直于同一

平面的兩個(gè)平面可能相交，也可能平行，如長(zhǎng)方體的相鄰兩個(gè)側(cè)面都垂直于底面，但它們是

相交的，所以D不正確.綜上可知選B.

【方法總結(jié)】判定空間直線、平面間的位置關(guān)系主要有兩種策略：（1）根據(jù)概念、定理、

性質(zhì)進(jìn)行判定；（2）根據(jù)選項(xiàng)給出的位置關(guān)系，聯(lián)想相關(guān)的幾何體（如正方體、正三棱柱等）模

型進(jìn)行直觀判定.

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8.若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓卦+:=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則〃=（）

3PP

A.2B.3

C.4D.8

D【考查目標(biāo)】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，意在考查考生的邏輯思維

能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】由題意，知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（號(hào)0）,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（士回，0）,所以

g二匹,解得p=8,故選D.

9.下列函數(shù)中，以方為周期且在區(qū)間《，?單調(diào)遞增的是（）

A../（x）=|cos2x|B.yCx）=|sin2x|

C./（x）=coslx|D.y（x）=sin[x|

A【考查目標(biāo)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，意在考查考生的邏輯思維能

力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】A中，函數(shù)y（x）=|cos2x|的周期為會(huì)當(dāng)時(shí)，2%6值兀），函數(shù)段）

單調(diào)遞增，故A正確：B中，函數(shù)/（x）=|sin2r|的周期為當(dāng)xW。今）時(shí)，兀），函

數(shù)7W單調(diào)遞減，故B不正確；C中，函數(shù)式X）=COS|A1=COSX的周期為2兀，故C不正確；D

sinx,x20,

中，＜x)=sink|=