上海市金山區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市金山區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、填空題1.已知集合，，則___________．〖答案〗〖解析〗由，故.故〖答案〗為：.2.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，解?故〖答案〗為：.3.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，所以此函數(shù)的定義域?yàn)椋省即鸢浮綖椋?.已知復(fù)數(shù)滿足，則的模為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，由，得，則，解得，所以，所以.故〖答案〗為：5.設(shè)公比為2的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則___________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，?故〖答案〗為：46.如圖，長(zhǎng)方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是_____.〖答案〗10〖解析〗因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積為120，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.7.設(shè)()，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)是奇函數(shù)，則恒成立，而不恒為0，因此，，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為.故〖答案〗為：8.已知雙曲線(,),給定的四點(diǎn)、、、中恰有三個(gè)點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是___________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得，兩點(diǎn)一定在雙曲線上，若在雙曲線上，則，方程組無(wú)解，故不在雙曲線上，則在雙曲線上，則，解得，所以雙曲線的離心率.故〖答案〗為：.9.為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下圖所示列聯(lián)表：藥物疾病合計(jì)未患病患病服用50未服用50合計(jì)8020100取顯著性水平，若本次考察結(jié)果支持“藥物對(duì)疾病預(yù)防有顯著效果”，則()的最小值為_(kāi)__________．(參考公式：；參考值：）〖答案〗〖解析〗由題意可知，則，解得或，而，故m的最小值為44.故〖答案〗為：44.10.在的展開(kāi)式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，則___________．〖答案〗〖解析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以，則.故〖答案〗為：4011.某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段、是救生棧道的一部分，其中，，在的北偏東方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在處載上遇險(xiǎn)游客需要盡快抵達(dá)救生棧道，則最短距離為_(kāi)__________m．(結(jié)果精確到1m)〖答案〗〖解析〗作交于E，由題意可得如圖：，所以，，在中，由正弦定理可得：，所以，所以，，在直角中，，故〖答案〗為：475.12.已知平面向量、、滿足：，，則的最小值為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗因，由可得，即在方向上的投影數(shù)量等于在方向上的投影數(shù)量，且等于，又由可得，不妨設(shè)，則，，于是，因，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，取得最小值.故〖答案〗為：.二、選擇題13.若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，則的值為（）．A.2 B.3 C.4 D.8〖答案〗D〖解析〗由題意知，（）的焦點(diǎn)為，的右頂點(diǎn)為，所以，解得.故選：D14.下列說(shuō)法不正確的是（）．A.一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14B.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則C.若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高D.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，且回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是〖答案〗A〖解析〗對(duì)A：因?yàn)?，所以第百分位?shù)為,A錯(cuò)誤；對(duì)B：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則，則，B正確；對(duì)C：若線性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C正確；對(duì)于D，樣本點(diǎn)的中心為，所以，，因?yàn)闈M足線性回歸方程，所以，所以，D正確.故選：A15.如圖，點(diǎn)為正方形的中心，△為正三角形,平面⊥平面，是線段的中點(diǎn)，則以下命題中正確的是（）．A. B.C.A、、三點(diǎn)共線 D.直線與相交〖答案〗D〖解析〗取中點(diǎn)F，連接,取中點(diǎn)H，連接.又△為正三角形，則，，又平面⊥平面，平面平面，則平面，平面，又平面，平面，則，，設(shè)，則,則，則.故選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；假設(shè)，又，，平面，則平面，又平面，則，這與矛盾，故假設(shè)不成立，不互相垂直.故選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；由平面，可得直線平面，假設(shè)A、、三點(diǎn)共線，則，則平面，這與平面矛盾，故假設(shè)不成立.故選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；由，可得，，則四邊形為梯形，則直線與相交.故選項(xiàng)D判斷正確.故選：D.16.設(shè)，有如下兩個(gè)命題：①函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)；②存在唯一的正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．則下列說(shuō)法正確的是（）A.①正確，②正確 B.①正確，②不正確C.①不正確，②正確 D.①不正確，②不正確〖答案〗B〖解析〗對(duì)①：令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，函數(shù)的圖象與圓的圖象如圖所示：故函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，故①正確；對(duì)②：由，故要使得正方形存在，則為等腰直角三角形，顯然，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在函數(shù)圖像外側(cè)，則，此時(shí)；利用極限思想，時(shí)，，此時(shí)；時(shí)，，此時(shí)，如圖所示，故至少兩個(gè)正方形，故②錯(cuò)誤.故選：B.三、解答題17.已知函數(shù)，記，，，.（1）若函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，求和的值；（2）若，，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，所以，則當(dāng)時(shí)，，所以，得，因?yàn)椋匀〉?，?）解法一：當(dāng)，時(shí)，，，設(shè)，由題意得，在有解，化簡(jiǎn)得，又在上單調(diào)遞減，所以，則.解法二：當(dāng)，時(shí)，，，設(shè)，由題意得，在有解，記，對(duì)稱軸為，則由根的分布可得，即，解得，所以.18.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，異面直線與所成的角是．（1）求證：；（2）若，，求二面角的大?。?）證明；因?yàn)?，所以是直線與所成角，為，所以，得，又因?yàn)?，且，平面，平面，所以平面，由平面，得．?）解：解法一：取的中點(diǎn)，連接，，．因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所以．取中點(diǎn)，連接，，．則，，所以為所求二面角的平面角．又，所以．在中，由于，由余弦定理得，所以，因此為等邊三角形，因此二面角E?AG?C的大小為．解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)?、、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題意得，，，，故，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量．由，可得，取，可得平面的一個(gè)法向量．設(shè)是平面一個(gè)法向量．由，可得，取，可得平面的一個(gè)法向量．所以．因此二面角E?AG?C的大小為．19.有標(biāo)號(hào)依次為1，2，…，(，)的個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球．現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，…，依次進(jìn)行到從號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入號(hào)盒子為止．（1）當(dāng)時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；（2）設(shè)號(hào)盒子中紅球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布及，并猜想的值（無(wú)需證明此猜想）．解：（1）由題可知2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率為；（2）由題可知可取，，，，所以3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)的分布列為：；猜想，理由如下：當(dāng)時(shí)，設(shè)號(hào)盒子里有3個(gè)紅球的概率為，有2個(gè)紅球的概率為，則號(hào)盒子里有1個(gè)紅球的概率為，則，，，則，由每個(gè)盒子中原本的紅球與白球個(gè)數(shù)相等，故號(hào)盒子中紅球個(gè)數(shù)為與白球個(gè)數(shù)為的概率相等，即，即有，故，當(dāng)時(shí)，有，，，，故可得.20.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、．（1）證明：點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為；（2）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為，且與平行時(shí)，求直線的方程；（3）當(dāng)直線與軸不垂直，且△的周長(zhǎng)為時(shí)，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（1）證明：由，得；（2）解：根據(jù)題意畫出圖象，如圖，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，由，得，從而，，又，，由與平行，得，解得，故直線的方程為；（3）解：直線與圓相切，證明過(guò)程如下：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去，得，從而，由，得，即，又因?yàn)椋?，化?jiǎn)，整理得，即，從而，又圓心到直線的距離，故直線與圓相切．21.已知函數(shù)與有相同的定義域．若存在常數(shù)()，使得對(duì)于任意的，都存在，滿足，則稱函數(shù)是函數(shù)關(guān)于的“函數(shù)”．（1）若，，試判斷函數(shù)是否是關(guān)于的“函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)與均存在最大值與最小值,且函數(shù)是關(guān)于的“函數(shù)”,又是關(guān)于的“函數(shù)”,證明：；（3）已知，，其定義域均為．給定正實(shí)數(shù)，若存在唯一的，使得是關(guān)于的“函數(shù)”，求的所有可能值．（1）解：不是關(guān)于的“函數(shù)”．解法一：當(dāng)時(shí)，，所以不存，使得解法二：因?yàn)楹瘮?shù)()的值域?yàn)?，?/p>