上海市青浦區(qū)2024屆高三下學(xué)期4月學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市青浦區(qū)2024屆高三下學(xué)期4月學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一.填空題1.不等式的解集為____________．〖答案〗〖解析〗或，即或，所以不等式的解集為或，故〖答案〗為：.2.已知向量，，則____________．〖答案〗〖解析〗由向量的夾角公式得，又因?yàn)椋?故〖答案〗為：.3.已知復(fù)數(shù)，則____________．〖答案〗〖解析〗∵，∴，故〖答案〗為：.4.的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈恼归_式通項(xiàng)為，展開式中常數(shù)項(xiàng)，必有，即，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：5.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)_____．〖答案〗〖解析〗由正態(tài)分布的對稱性，得，所以.故〖答案〗為：6.橢圓的離心率為，則____________．〖答案〗〖解析〗由題意得橢圓離心率為，解得，故〖答案〗為：2.7.已知直線傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為____________．〖答案〗〖解析〗由直線方程：得的傾斜角為，所以的傾斜角為，即的斜率為.故〖答案〗為：.8.已知，，若，則滿足條件的的取值范圍是____________．〖答案〗；〖解析〗因?yàn)?，所以，即，解得或，所以的取值范圍是，故〖答案〗為?9.對于函數(shù)，其中，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．〖答案〗〖解析〗將函數(shù)向右平移1個(gè)單位得到，作出函數(shù)的圖象如下：要關(guān)于方程有兩個(gè)不同的根，則函數(shù)和函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，所以當(dāng)函數(shù)和函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，.故〖答案〗：.10.從中任取個(gè)不同的數(shù)字，設(shè)“取到的個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)”為事件，“取到的個(gè)數(shù)字均為奇數(shù)”為事件，則_________．〖答案〗〖解析〗，．由條件概率公式得．故〖答案〗為：．11.如圖，某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深，上口寬，若以的勻速往杯中注水，當(dāng)水深為時(shí)，酒杯中水升高的瞬時(shí)變化率__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)時(shí)刻水的深度為，水面半徑為，則，得，所以當(dāng)水深為時(shí)，酒杯中水面的半徑為，此時(shí)水的體積為，設(shè)當(dāng)水深為的時(shí)刻為，可得，可得；又由題意可得，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，.故〖答案〗為：.12.如圖，在棱長為的正方體中，在棱上，且，以為底面作一個(gè)三棱柱，使點(diǎn)分別在平面上，則這個(gè)三棱柱的側(cè)棱長為____________．〖答案〗〖解析〗以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，則，，，由三棱柱可知，即，所以，，，即，所以，，所以，所以，故這個(gè)三棱柱的側(cè)棱長為，故〖答案〗為：.二、選擇題13.函數(shù)的最小值是（）A.4 B.5 C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.則的最小值是.故選：D.14.已知點(diǎn)是拋物線C：上一點(diǎn)到拋拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d，M是x軸上一點(diǎn)，則“點(diǎn)M的坐標(biāo)為”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件，〖答案〗A〖解析〗由題意知，將點(diǎn)代入方程，即，得，則拋物線C的焦點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)M與拋物線的焦點(diǎn)重合，由拋物線的定義知必有；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)不一定為，理由如下：如圖，連接PF，當(dāng)時(shí)，．因此“點(diǎn)M的坐標(biāo)為”是“”的充分不必要條件.故選：A．15.設(shè)是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）．A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，即且，，且，兩邊都除以，得，可得．對于A，由，可得，故A項(xiàng)不正確；對于B，由于，所以不成立，故B不正確；對于C，因?yàn)?，所以，可得．結(jié)合，可得，故C正確；對于D，根據(jù)且，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)不成立，故D不正確．故選：C．16.如圖，已知直線與函數(shù)的圖象相切于兩點(diǎn)，則函數(shù)有（）．A.2個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn) B.3個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)C.2個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn) D.3個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)〖答案〗B〖解析〗，作出與直線平行的函數(shù)的所有切線，各切線與函數(shù)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，在處的導(dǎo)數(shù)都等于，在上，,單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，因此函數(shù)有三個(gè)極大值點(diǎn)，有兩個(gè)極小值點(diǎn).故選：B.三．解答題17.對于函數(shù)，其中，．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）在銳角三角形中，若，，求的面積．解：（1）令，則，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，即，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．（2）由已知，所以，因?yàn)椋?，即，所以，又，所以，所以的面積．18.如圖，三棱柱是所有棱長均為2的直三棱柱，分別為棱和棱的中點(diǎn)．（1）求證：面面；（2）求二面角的余弦值大小．（1）證明：為棱中點(diǎn)，為正三角形，.又三棱柱是直三棱柱，面，又面，，而平面，面，面，面面；（2）解：由（1）得面，面，，是二面角的平面角，在中，二面角的余弦值為．方法二：以為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖：則，，，設(shè)平面、平面的法向量分別為，，可以是可以是，二面角的余弦值為．19.垃圾分類能減少有害垃圾對環(huán)境的破壞，同時(shí)能提高資源循環(huán)利用的效率．目前上海社區(qū)的垃圾分類基本采用四類分類法，即干垃圾，濕垃圾，可回收垃圾與有害垃圾．某校為調(diào)查學(xué)生對垃圾分類的了解程度，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，按照了解程度分為A等級和B等級，得到如下列聯(lián)表：男生女生總計(jì)A等級402060B等級202040總計(jì)6040100（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)回答：學(xué)生對垃圾分類的了解程度是否與性別有關(guān)（規(guī)定：顯著性水平）？附：,其中,．（2）為進(jìn)一步加強(qiáng)垃圾分類的宣傳力度，學(xué)校特舉辦垃圾分類知識問答比賽．每局比賽由二人參加，主持人A和B輪流提問，先贏局者獲得獎(jiǎng)項(xiàng)并結(jié)束比賽．甲，乙兩人參加比賽，已知主持人A提問甲贏的概率為，主持人B提問甲贏的概率為，每局比賽互相獨(dú)立，且每局都分輸贏．現(xiàn)抽簽決定第一局由主持人A提問．（i）求比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率；（ii）設(shè)為結(jié)束比賽時(shí)甲贏的局?jǐn)?shù)，求的分布和數(shù)學(xué)期望．解：（1）提出原假設(shè):學(xué)生對垃圾分類的了解程度與性別無關(guān)，確定顯著性水平，由題意得，可得，由，且，所以接受原假設(shè)，學(xué)生對垃圾分類的了解程度與性別無關(guān).（2）（i）比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束，甲贏得比賽的概率為比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束，乙贏得比賽的概率為，故比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率為；（ii）的可能取值為，，即進(jìn)行了3場比賽，且乙贏得比賽，故，，即進(jìn)行了4場比賽，且乙贏得比賽，前3場中，甲贏得1場比賽，乙第4場贏，故，，即進(jìn)行了5場比賽，且乙贏得比賽，前4場中，甲贏得2場比賽，乙第5場贏，故，，即最后甲贏得比賽，由概率性質(zhì)得，所以分布為0123故數(shù)學(xué)期望為.20.已知雙曲線，，分別為其左、右焦點(diǎn)．（1）求，的坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程；（2）如圖，是雙曲線右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，圓是△的內(nèi)切圓，設(shè)圓與，，分別切于點(diǎn)，，，當(dāng)圓的面積為時(shí)，求直線的斜率；（3）是否存在過點(diǎn)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，且使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．解：（1）因?yàn)殡p曲線，所以，所以，即，，所以雙曲線的漸近線方程是；（2）由題意可知，，，所以，，即是橢圓右頂點(diǎn)設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳A的面積為，則，即，，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得直線的斜率為（3）假設(shè)存在過點(diǎn)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，且使得，設(shè),，,，中點(diǎn)為,，又，，由，可知△為等腰三角形，，且直線不與軸重合，于是，即，因此，，(I)，點(diǎn)，在雙曲線上，所以，①②化簡整理得：，，則，可得，(II)，聯(lián)立（Ⅰ）（Ⅱ）得，，得或（舍），所以，由，得，所以直線的方程為．21.若無窮數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，使得對一切正整數(shù)成立，則稱是周期為的周期數(shù)列．（1）若（其中正整數(shù)m為常數(shù)，），判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；（2）若，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；（3）設(shè)是無窮數(shù)列，已知．求證：“存在，使得是周期數(shù)列”的充要條件是“是周期數(shù)列”．（1）解：因?yàn)?，所以是周期為的周期?shù)列．（2）解：①當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，是周期為1的周期數(shù)列，②當(dāng)時(shí)，記，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，所以在上嚴(yán)格增，若，則，即，進(jìn)而可得，即是嚴(yán)格增數(shù)列，不是周期數(shù)列；同理，若，可得是嚴(yán)格減數(shù)列，不是周期數(shù)列．綜上