高中數(shù)學(xué)1.4.2充要條件教學(xué)設(shè)計新人教A版必修第一冊

1.4.2充要條件教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合具體實例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．(重點、難點)2．會求(判斷)某些問題成立的充分條件、必要條件、充要條件．(重點)3．能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明．(難點)核心素養(yǎng)1．通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。2．會對某些命題的充要條件進(jìn)行證明，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。教學(xué)重難點重點：理解充要條件的含義；難點：會證明充要條件的關(guān)系學(xué)情分析充要條件是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)概念之一，它主要討論了命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化的邏輯基礎(chǔ)，是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)。學(xué)生在上一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了充分條件、必要條件的意義，學(xué)會了根據(jù)命題真假的判斷方法，嘗試由條件去推結(jié)論，從命題的條件與結(jié)論的互推關(guān)系，分析充要條件的含義，讓學(xué)生逐漸習(xí)慣用數(shù)學(xué)思維研究數(shù)學(xué)結(jié)論。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖情境導(dǎo)入古文中的邏輯——我國戰(zhàn)國時期墨子所著《墨經(jīng)》對充分條件、必要條件的描述：充分條件：“有之則必然，無之則未必不然”必要條件：“無之則必不然，有之則未必然”物理中的邏輯——

【思考】在①、②兩個電路中，A、C的開閉與燈泡B亮起來，會形成什么邏輯條件呢？【思考】你能舉生活中存在“充分條件或必要條件”的邏輯語句或事例嗎？通過問題探究，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和激發(fā)對民族文化的熱愛的同時，進(jìn)一步加深對新知的全面認(rèn)識.新知講授【知識一：充要條件的判斷】如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有，又有，就記作，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為條件.如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.概括地說，如果p?q，那么p與q互為條件.思考：“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有，即p是s的充要條件．p?qq?pp?q充要充要(1)p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論.(2)p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論.p?s通過問題探究，使學(xué)生深入理解充要條件的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。例1.下列各組命題中，哪些p是充要條件？（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；（2）p：兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例；（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；（4）p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，q：a+b+c=0(a≠0).總結(jié)：判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷.(3)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性.練一練：指出下列各組命題中，p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分又不必要條件”).(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；解:（1）因為對角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形，所以qeq\o(?,/)p，所以p不是q的充要條件。（2）因為“若p，則q”是三角形的性質(zhì)定理，“若q，則p”是相似三角形的判定定理，它們均為真命題，既p?q，所以p是q的充要條件。（3）因為當(dāng)xy>0時，x>0,y>0不一定成立，所以peq\o(?,/)q,所以p不是q的充要條件。（4）若，則，即；若，則，即，故，所以p是q的充要條件．解p：x2>0，則x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分條件.解p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要條件.通過例題及練習(xí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解條件與結(jié)論的推出關(guān)系，強化邏輯推理的核心素養(yǎng)?！局R二：充要條件的證明】例2.已知：O的半徑為r，圓心O到是直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與O相切的充要條件.總結(jié)：充要條件證明的兩個思路(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結(jié)論；其次推證p?q是證明充分性，推證q?p是證明必要性.(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件.練一練：求證：一元二次方程ax2+bx+c=0證明：設(shè)p:d=r，q:直線l與O相切.（1）充分性():如圖，作OP⊥l于點P，則OP=d.若d=r，則點P在O上.在直線l上任取一點Q(異于點P)，連接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除點P外直線l上的點都在O的外部，即直線l與O僅有一個公共點P.所以直線l與O相切.（2）必要性():若直線l與O相切，不妨設(shè)切點為P，則OP⊥l.因此，d=OP=r.由(1)(2)可得，d=r是直線l與O相切的充要條件.證明：證明必要性：若“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根”成立，由韋達(dá)定理可得，x1x證明充分性：若“ac<0”成立，此時一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根.所以“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根”的充要條件是通過學(xué)習(xí)充分條件的探求與證明，使學(xué)生明確充分性、必要性的推導(dǎo)方向，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。【知識三：充要條件的應(yīng)用】例3.設(shè)p：x＞1，q：x＞a，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.練一練：設(shè)命題p：eq\f(1,2)≤x≤1；命題q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.解設(shè)A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}.因為p是q的充分不必要條件，a的取值范圍是0≤a≤eq\f(1,2).通過例題及練習(xí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解條件與結(jié)論的推出關(guān)系，強化邏輯推理的核心素養(yǎng)。課堂練習(xí)1.下列各題中，哪些p是q的充要條件？(1)p:三角形為等腰三角形，q:三角形存在兩角相等；(2)p:⊙O內(nèi)兩條弦相等，q:⊙O內(nèi)兩條弦所對的圓周角相等；(3)p:A∩B是空集，q:A與B之一為空集2.分別寫出“兩個三角形全等”和“兩個三角形相似”的幾個充要條件.3.證明：如圖，梯形ABCD為等腰梯形的充要條件為AC=BD.p是q的充要條件p不是q的充要條件p不是q的充要條件充分性:AC=BD梯形ABCD為等腰梯形必要性:梯形ABCD為等腰梯形AC=BD.通過練習(xí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解條件與結(jié)論的推出關(guān)系，強化邏輯推理的核心素養(yǎng)。課堂小結(jié)充分條件、必要條件的判斷方法(1)定義法：直接利用定義進(jìn)行判斷．(2)等價法：“p?q”表示p等價于q，等價命題可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，當(dāng)我們要證明p成立時，就可以去證明q成立．(3)利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷：如果條件p和結(jié)論q相應(yīng)的集合分別為A和B，那么若A?B，則p是q的充分條件；若A