2023學(xué)年德陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)高二數(shù)學(xué)（下）期中考試卷附答案解析

2023學(xué)年德陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)高二數(shù)學(xué)（下）期中考試卷考試時(shí)間：120分鐘總分：150分2024.04第I卷（選擇題共60分）一、單選題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．過(guò)和兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率是（）A．1 B． C． D．3．的展開(kāi)式中的系數(shù)為A．10 B．20 C．40 D．804．已知等差數(shù)列中，，則（

）A．24 B．36 C．48 D．965．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．6．將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種7．已知，則的最小值是（

）A．6 B．4 C． D．8．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)項(xiàng)是符合要求的，全選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知空間中的兩條直線(xiàn)和兩個(gè)平面，則（

）A．若，則沒(méi)有公共點(diǎn)B．若，則m,n沒(méi)有公共點(diǎn)C．若，則可能互相平行D．若，則m,n可能互相平行10．已知函數(shù)，則（

）A．在處取得極小值 B．有3個(gè)零點(diǎn)C．在區(qū)間上的值域?yàn)?D．曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心為11．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門(mén)課程中選三門(mén)作為選考科目，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若任意選擇三門(mén)課程，選法總數(shù)為B．若物理和化學(xué)至少選一門(mén)，選法總數(shù)為C．若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為－D．若物理和化學(xué)至少選一門(mén)，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為12．已知，則（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，將答案直接填在答題卡上）13．已知，，則的值為．14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．15．除以的余數(shù)為.16．已知拋物線(xiàn)為上一點(diǎn)，，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或推演步驟）17．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直．(1)求；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．18．2021年底某市城市公園主體建設(shè)基本完成，為了解市民對(duì)該項(xiàng)目的滿(mǎn)意度，從該市隨機(jī)抽取若干市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分（滿(mǎn)分100分），根據(jù)所得數(shù)據(jù)，按，，，，進(jìn)行分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該市市民評(píng)分的分位數(shù)；(2)為進(jìn)一步完善公園建設(shè)，按分層隨機(jī)抽樣的方法從評(píng)分在中抽取7人，再隨機(jī)抽取其中2人進(jìn)行座談，求這2人的評(píng)分在同一組的概率.19．設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為等邊三角形．(1)求證：；(2)若二面角的大小為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．21．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值集合.22．橢圓的離心率，且橢圓的短軸長(zhǎng)為2．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，又點(diǎn)是橢圓的下頂點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求直線(xiàn)的方程．1．D【解析】根據(jù)并集定義，直接計(jì)算結(jié)果.【詳解】，，.故選：D2．A【分析】由斜率公式可得.【詳解】根據(jù)斜率公式求得所給直線(xiàn)的斜率.故選：A3．C【詳解】分析：寫(xiě)出，然后可得結(jié)果詳解：由題可得令,則所以故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．4．C【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)，可求.【詳解】等差數(shù)列中，，則.故選：C.5．C【分析】設(shè)，，由橢圓定義得，由余弦定理求出，從而利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓，得，，.

設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.6．C【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.7．C【分析】由“1”的妙用結(jié)合基本不等式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，的最小值為.故選：C.8．D【分析】構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合，得到；構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合得到，即，從而得到答案.【詳解】構(gòu)造，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，又，故，故，構(gòu)造，，則在上恒成立，故在單調(diào)遞減，又，，故，即，故，綜上：故選：D【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是常考內(nèi)容，以下時(shí)常用的不等式放縮，，，，，等，觀察要比較的式子結(jié)構(gòu)，選擇合適的不等式.9．BCD【分析】根據(jù)題意，由空間中直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】若，則或相交，故A錯(cuò)誤；若，則沒(méi)有公共點(diǎn)，故B正確；若，則可能互相平行也可能相交，故C正確；若，則可能互相平行也可能相交還可能異面，故D正確；故選：BCD10．ABD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，零點(diǎn)，值域，可判斷A，B，C選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)奇偶性及圖象變換可判斷D.【詳解】由，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故A正確；又，，，，，所以函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，同理函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)共有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確；由前面得在上值域?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；設(shè)，，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又是向下平移1個(gè)單位得到，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，故D正確.故選：ABD.11．ABD【分析】利用組合的概念進(jìn)行計(jì)算即可判斷A；分類(lèi)討論物理和化學(xué)只選一門(mén)，物理化學(xué)都選然后進(jìn)行計(jì)算判斷B；利用間接法進(jìn)行分析判斷即可判斷C，將問(wèn)題分三類(lèi)討論：只選物理，只選化學(xué)，同時(shí)選物理和化學(xué)，由此進(jìn)行計(jì)算和判斷D.【詳解】解：由題意得：對(duì)于選項(xiàng)A：若任意選擇三門(mén)課程，選法總數(shù)為，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若物理和化學(xué)選一門(mén)，有種方法，其余兩門(mén)從剩余的五門(mén)中選，有種選法；若物理和化學(xué)選兩門(mén)，有種選法，剩下一門(mén)從剩余的五門(mén)中選，有種選法，所以總數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：有3種情況：①選物理，不選化學(xué)，有種選法；②選化學(xué)，不選物理，有種選法；③物理與化學(xué)都選，有種選法.故總數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABD12．AD【分析】結(jié)合賦值法、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算以及二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】由，令得，A選項(xiàng)正確.令得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由此可知是負(fù)數(shù)，為正數(shù)，所以令得，，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤由，兩邊求導(dǎo)得，令得，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD13．##【分析】根據(jù)條件概率的概率公式即可求解.【詳解】由題可知：，即，解得.故答案為：14．【分析】求定義域，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)大于0解不等式，求出遞增區(qū)間.【詳解】的定義域?yàn)?，，令，解得：或，因?yàn)槎x域?yàn)?，所以單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：15．【分析】把化為，根據(jù)二項(xiàng)式定理，即可求得答案.【詳解】由于由于前項(xiàng)都有因數(shù)，故所給的式子故除以的余數(shù)即為除以的余數(shù)，故所給的式子除以的余數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，把所給的式子化為，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)而思想，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.16．【分析】由點(diǎn)在拋物線(xiàn)上得到符合拋物線(xiàn)的方程即，表示出，把用表示，當(dāng)?shù)玫?，?dāng)時(shí)利用均值不等式得到的最小值及等號(hào)成立條件得到此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而得到此時(shí)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.【詳解】設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，由上可知，取最小值時(shí)，，所以.故答案為：.17．(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，極小值【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線(xiàn)垂直的性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）借助導(dǎo)數(shù)可討論單調(diào)性，即可得極值.【詳解】（1），則，由題意可得，解得；（2）由，故，則，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故有極大值，有極小值.18．(1)，85；(2).【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，求出，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；（2）利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）由題意得，，解得.因?yàn)椋?，所以分位?shù)位于之間，則市民評(píng)分的分位數(shù)約為.（2）由題意得，按分層隨機(jī)抽樣從評(píng)分在中抽取人，其中評(píng)分在中有人，記為，；評(píng)分在中有人，記為，，，，.現(xiàn)抽取其中人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，共有21種情況，它們是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中這2人評(píng)分在同一組有11種情況，它們是：，，，，，，，，，，，則所求概率.19．（1）；（2）.【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項(xiàng)，根據(jù)的通項(xiàng)公式特征，用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.20．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，，依題意可得、，即可得到平面，從而得證；（2）取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)闉榱庑吻?，所以為等邊三角形，故．又在等邊三角形中，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）由，，可得就是二面角的平面角，所以，在中，，所以為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，由（1）可知，面底面，取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的方向?yàn)椋?，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，在中，，，可得，，，，故，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，令，則，得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則有，故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.21．(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，分和討論.恒成立，在在上單調(diào)遞減；時(shí)由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到的單調(diào)區(qū)間.（2）由及恒成立得到，要使得恒成立，則恒成立，又由時(shí)，，記為關(guān)于的函數(shù)，得到，要使恒成立，只能為.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得遞減，由，得遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2），若，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，不符合