遼寧省部分高中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題

姓名：__________考生考號(hào)：__________2023-2024學(xué)年度下學(xué)期高三第三次模擬考試試題數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘；試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若全集，，，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．0 B． C．1 D．1或3．已知正實(shí)數(shù)a，b，則“”是“”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要4．已知平面非零向量，，滿足，且，則（）A． B． C． D．05．在調(diào)查對(duì)某大型活動(dòng)滿意度比例為0.9的人員中抽取10人，設(shè)當(dāng)中持有滿意態(tài)度的人數(shù)為，隨機(jī)變量，則的方差的值為（）A．21 B．6.6 C．3.6 D．4.86．已知對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，再將的圖象向上平移2個(gè)單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則的值是（）A． B． C． D．7．設(shè)點(diǎn)分別為橢圓的左、左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若使得成立的點(diǎn)恰好有4個(gè)，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A．0 B．2 C．4 D．68．已知數(shù)列中各項(xiàng)均為正數(shù)，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意的，都有②數(shù)列可能為常數(shù)列③若，則當(dāng)時(shí)，④若，則數(shù)列為遞減數(shù)列．其中正確結(jié)論有（）A．1 B．2 C．3 D．4二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．關(guān)于二項(xiàng)式的展開式，下列說法正確的是（）A．第三項(xiàng)系數(shù)為270 B．的系數(shù)為90C．二項(xiàng)式系數(shù)和為 D．系數(shù)和為10．已知表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．能說明命題“，，”是假命題的對(duì)應(yīng)的一組整數(shù)a，b，c，d值的選項(xiàng)有（）A．1，2，3，4 B．，，7，5C．8，，， D．5，3，0，11．已知雙曲線及直線，若與交于A，B兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，則實(shí)數(shù)的值可能為（）A．0 B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．某同學(xué)將全班某次數(shù)學(xué)考試的成績整理成頻率分布直方圖后，將每個(gè)小矩形上方線段的中點(diǎn)連接起來，并將小矩形擦去，得到頻率分布折線圖（如圖所示）．已知該同學(xué)繪制頻率分布直方圖時(shí)確定的極差為60，組距為10，據(jù)此估計(jì)此次考試成績的平均數(shù)是__________．13．若函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對(duì)稱，則的值可以為___________．（寫出一個(gè)正確的值即可）14．已知正四面體棱長為2，點(diǎn)分別是，，內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有下列四個(gè)命題：①對(duì)于任意點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使；②存在，使直線平面；③當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為④當(dāng)最大時(shí)，頂點(diǎn)到平面的距離的最大值為．其中正確的有___________．（填選正確的序號(hào)即可）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．（本小題13分）如圖所示，在梯形中，，，，平面，，，，為中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）證明：；（3）求平面與平面夾角的余弦值．16．（本小題15分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．（1）求角；（2）若，設(shè)P，Q分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且．當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離．17．（本小題15分）已知函數(shù)，其在處的切線科淬為．（1）求的值；（2）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求的取值范圍．18．（本小題17分）為進(jìn)一步培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提高創(chuàng)造性思維和解決實(shí)際問題的能力，某省舉辦高中生數(shù)學(xué)建模競賽現(xiàn)某市從M，N兩個(gè)學(xué)校選拔學(xué)生組隊(duì)參賽，M，N兩個(gè)學(xué)校學(xué)生總數(shù)分別為1989人、3012人．兩校分別初選出4人、6人用于組隊(duì)參賽，其中兩校選拔的人中各有兩人有比賽經(jīng)驗(yàn)，按照分層抽樣從M，N兩個(gè)學(xué)校初選人中共選擇5名學(xué)生組隊(duì)參賽，設(shè)該隊(duì)5人中有參賽經(jīng)驗(yàn)的人數(shù)為X．（1）求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）各市確定5人組隊(duì)參賽，此次比賽規(guī)則是：小組內(nèi)自行指定一名同學(xué)起稿建立模型，之后每輪進(jìn)行兩人單獨(dú)交流．假設(shè)某隊(duì)決定由A起稿建立模型，A從其他四名成員中選擇一人B進(jìn)行交流，結(jié)束后把成果交由B，然后B再從其他包括A在內(nèi)的四個(gè)成員中選擇一人進(jìn)行交流……每一個(gè)環(huán)節(jié)只能是兩名成員單獨(dú)交流，每個(gè)小組有20次交流機(jī)會(huì)，最后再進(jìn)入評(píng)委打分環(huán)節(jié)，現(xiàn)該市選定甲、乙、丙、丁、戊五人參賽，其中甲、乙兩人有參賽經(jīng)驗(yàn)．在每次交流中，甲、乙被同伴選為交流對(duì)象的概率均為，丙、丁、戊被同伴選為交流對(duì)象的概率相等，比賽由甲同學(xué)因起稿建立模型．①求該組第三次交流中甲被選擇的概率；②求第n次交流中甲被選擇的概率（，）．19．（本小題17分）設(shè)拋物線的方程為，為直線上任意一點(diǎn)；過點(diǎn)作拋物線的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B（A點(diǎn)在第一象限）．（1）當(dāng)M的坐標(biāo)為時(shí)，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程；（2）求證：直線AB恒過定點(diǎn)；（3）當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線l上是否存在點(diǎn)M，使為直角三角形，若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，說明理由；若不存在，也請說明理由．2023-2024學(xué)年度下學(xué)期高三第三次模擬考試試題數(shù)學(xué)參考答案一、1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．C二、9．ACD 10．BC 11．AD三、12．112.5 13． 14．①②④四、15．（1）證明：連接CM，，，是AB中點(diǎn)，且，四邊形是平行四邊形，．又，，，平面平面．又平面，平面．（2）證明：，平面，平面，平面，，是AB中點(diǎn)．且．又，平行四邊形為正方形，．又，平面，平面，．（3）平面，四邊形是正方形．兩兩垂直．建立直角坐標(biāo)系，以為原點(diǎn)，AB為軸，AD為軸，AP為軸.設(shè)平面的法向量，，，，，當(dāng)時(shí)，法向量，設(shè)平面的法向量，，，，，當(dāng)時(shí)，法向量，所以平面與平面夾角的余弦值為：．16．解：（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得，．因?yàn)椋?，同時(shí)則，即．又因?yàn)?，所以，所以，故，?）由（1）可知，，，所以是直角三角形，又，所以，，設(shè)，，又，所以，所以．在中，由余弦定理和均值不等式可知，．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值1．此時(shí)，是邊長為1的等邊三角形，易求得點(diǎn)到直線的距離為．17．解：（1），由題意，，整理得，令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，，所以關(guān)于的方程只有一個(gè)根，即．（2）由（1）問可知，所以，令進(jìn)而可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，時(shí)，，，所以時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的值域?yàn)椋钟深}意，所以，．令，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，所以的值域?yàn)?，所以的取值范圍是?8．解：（1）由題隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4．的分布列為X01234P數(shù)學(xué)期望．（2）①甲、乙兩同學(xué)被同伴選擇的概率均為．其他三名同學(xué)被選擇的概率相等．比賽由甲同學(xué)起稿建立模型，第三次交流中甲被選擇，所以第二次交流中甲未參與．設(shè)“第三次交流中甲被選擇”，則．②第次交流中甲被選擇，則第次交流中甲未被選擇．設(shè)第次交流中甲被選擇的概率為．則，，．．19．解：（1）當(dāng)M的坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，與聯(lián)立，得，整理得，令，解得或，分別代入方程得和，故得，，同時(shí)可求得直線MA的方程為，直線MB的方程為，進(jìn)而可知，即直線MA與直線MB互相垂直，則過M，A，B三點(diǎn)的圓的直徑為線段AB，設(shè)該圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，所以，從而過M，A，B三點(diǎn)的圓的一般方程為．（圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：）．（2）設(shè)切點(diǎn)分別為，，過拋物線上點(diǎn)的切線方程為，與聯(lián)立，整理得，，所以，又因?yàn)椋瑥亩^拋物線上點(diǎn)的切線方程為，即，同理可得過點(diǎn)的切線為，又切線MA，MB都過點(diǎn)，所以得，，即點(diǎn)均滿足方程，故直線AB的方程為．設(shè)，其為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，從而直線AB恒過定點(diǎn)．（3