高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)題

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1.掌握分類(lèi)討論必須遵循的原則

2.能夠合理，正確地求解有關(guān)問(wèn)題

命題分析：

分類(lèi)討論是一種重要的邏輯方法，也是一種常用的數(shù)學(xué)方法，這可以培養(yǎng)學(xué)生思維

的條理性和概括性，以及認(rèn)識(shí)問(wèn)題的全面性和深刻性，提高學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.

因此分類(lèi)討論是歷年數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).而且也是高考的一個(gè)難點(diǎn).這次的一?？荚囍?，

尤其是西城與海淀都設(shè)置了解答題來(lái)考察學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論問(wèn)題的掌握情況.

重點(diǎn)題型分析：

例L解關(guān)于X的不等式：》2+“3<5+/?(qwR)

解:原不等式可分解因式為：(x-a)(x--)<0

(下面按兩個(gè)根的大小關(guān)系分類(lèi))

(1)當(dāng)a>a'na'-a〈O即O〈a〈l時(shí)，不等式的解為xe(a2,a).

(2)當(dāng)a<a'na'-a〉O即a<0或a>l時(shí)，不等式的解為:xe(a,a2)

(3)a=a2=>a2-a=0即a=0或a=l時(shí),不等式為x"<0或(xT)二。

不等式的解為XG0.

綜上，當(dāng)(Xa〈l時(shí)，xe(a',a)

當(dāng)a<0或a>l時(shí)，xe(a,a')

當(dāng)a=0或a=l,時(shí),xe0.

評(píng)述:抓住分類(lèi)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，此題分解因式后，之所以不能馬上寫(xiě)出解集，主要是不知兩

根誰(shuí)大誰(shuí)小，那么就按兩個(gè)根之間的大小關(guān)系來(lái)分類(lèi).

例2.解關(guān)于x的不等式ax2+2ax+l>0(aeR)

解:此題應(yīng)按a是否為0來(lái)分類(lèi).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，不等式為1〉0,解集為R.

(2)aM時(shí)分為a>0與a〈0兩類(lèi)

[a>0[?>0[a>0,

①<=><=><na>l時(shí)，方程ax'+2ax+l=0有兩

[/〉0[4tz2-4a>0[a(a-1)>0

根______________

-2a±y/Aa2-4a-a±yla2-a,』a(a-1)

X|,2=----------------=--------------=T±----------

2aaa

則原不等式的解為(-00,-1-"("T))U(-l+,+8).

aa

a>0fa>0[a>0

②<=><=><nO<a<l時(shí)，

/I<0[4a2-4a<0[0<a<1

方程ax2+2ax+l=0沒(méi)有實(shí)根，此時(shí)為開(kāi)口向上的拋物線，則不等式的解為(-8,+8).

a>0fa>0[a>0

③<二><二><a=1時(shí)，

/=0[4a2-4a=0[a=0或a=1

方程ax°+2ax+l=0只有一根為x=T,則原不等式的解為(-8,T)U(-1,+oo).

a<0a<0[a<0

=><=<、=>a<0時(shí),

/>04a2-4。>0[a<O^a>1

-2a±y]a(a-l)

2

方程ax+2ax+l=0有兩根,X1,2=-1±

2a-----------a

此時(shí)，拋物線的開(kāi)口向下的拋物線，故原不等式的解為:

(-1+----------1-----------).

aa

a<0a<0[a<0

=>s=<=>〃￡(!)

2

zl<0i4a-4a<0、0<a<l

綜上:

當(dāng)OWa〈l時(shí)，解集為(-00,+oo).

當(dāng)a>1時(shí)，解集為(-00,-1-"(“T))U(-l+業(yè)(“7,+oo).

aa

當(dāng)a=l時(shí)，解集為(-oo,T)U(T,+oo).

當(dāng)a<0時(shí)，解集為(-1+心——--1-^——-).

aa

例3.解關(guān)于x的不等式ax2-222x-ax(a￡R)(西城2003'一模理科)

解:原不等式可化為oax2+(a-2)x-2^0,

(l)a=0時(shí)，xWT,即x￡(-8,-[].

(2)aM時(shí)，不等式即為(ax-2)(x+l)20.

2

①a>0時(shí)，不等式化為(x——)(%+1)>0,

a

。>0

2

當(dāng)<2，即a>0時(shí)，不等式解為(-8,-1]UJ,+8).

->-la

a>0

當(dāng),2，此時(shí)a不存在.

-<-1

4

2

②水0時(shí)、不等式化為(％——)(x+l)<0,

a

\a<0

當(dāng)《2，即-2<a<0時(shí)，不等式解為[一2,—1]

-<-la

Itz

a<0

2

當(dāng)42，即a<-2時(shí)，不等式解為[—1,—].

->-la

a

[a<0

當(dāng)42，即a=-2時(shí)，不等式解為x二-L

-=-1

綜上：

a=0時(shí)，x￡(-co,-1).

2

a>0時(shí)，xG(-oo,-l]U[—,+℃))-

a

-2<a<0時(shí)，xG1].

a

2

a<-2時(shí),x￡[—1,—].

a

a=-2時(shí)，xW{x|x=T}.

評(píng)述:通過(guò)上面三個(gè)例題的分析與解答，可以概括出分類(lèi)討論問(wèn)題的基本原則為:

1"：能不分則不分；

2°:若不分則無(wú)法確定任何一個(gè)結(jié)果；

30:若分的話，則按誰(shuí)礙事就分誰(shuí).

例4.已知函數(shù)f(xhcosl+asinx-a'+Za+S.有最大值2,求實(shí)數(shù)a的取值.

a3

:f(x)=l-sin2x+asinx-a:+2a+5=—(sinx--)2——a2+2〃+6.

24

令sinx=t,tG[-1,1].

則/?)=—?一$2一+2a+6(tw[-i,i]).

(1)當(dāng)3>1即a>2時(shí)，t=l,y=-a3+3。+5=2

“ITluA

+工口/曰3+」21_p.3J21

解萬(wàn)程得：a=-------或a=--------(舍).

22

2

(2)當(dāng)一時(shí)，即一2WaW2時(shí)，t=-fvax=--a+2a+6=2,

224

4

解方程為：a=-一或a=4(舍).

3

(3)當(dāng)@<一1即a<-2時(shí),t=-l時(shí),ymax=-a~+a+5=2

2

-1+V13

即a-a-3=0Va<-2,/.a=7全都舍去.

2

綜上，當(dāng)”=3+0或q=_/時(shí),能使函數(shù)f(x)的最大值為2.

23

例5.設(shè){aj是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S.是其前n項(xiàng)和，證

.l°g0.5S"+logo.5S〃+2、…

明m：-----------------------g0-5Sc〃+l-

證明：(1)當(dāng)q=l時(shí)，Sn=na]從而

22

s?-S"+2-S,3=nat-(?+2)為一(〃+I)a,=—a；<。

(2)當(dāng)qWl時(shí)，S,=虹二心，從而

i-q

一aj(l一q，+l)2

s〃*s〃+2-s〃+i=9=~a\qn<0，

(If/

由(1)(2)得:SJS"+2<S3

???函數(shù)y=l嘀5為單調(diào)遞減函數(shù)?二"gf1+2—

例6.設(shè)一雙曲線的兩條漸近線方程為2x-y+l=0,2x+y-5=0,求此雙曲線的離心率.

分析：由雙曲線的漸近線方程，不能確定其焦點(diǎn)位置，所以應(yīng)分兩種情況求解.

解：(1)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在直線y=3時(shí)、雙曲線的方程可改為G一廳_.(了/3)二=],

ab

一條漸近線的斜率為2=2,；.b=2.；.6=￡=近五=』1"=有.

aaa5

（2）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在直線x=i時(shí)，仿（1）知雙曲線的一條漸近線的斜率為q=2,

b

此時(shí)e=好

2

綜上（1）（2）可知，雙曲線的離心率等于行或好.

2

評(píng)述:例5,例6,的分類(lèi)討論是由公式的限制條件與圖形的不確定性所引起的，而例1-4

是對(duì)于含有參數(shù)的問(wèn)題而對(duì)參數(shù)的允許值進(jìn)行的全面討論.

例7.解關(guān)于x的不等式542<1.

解:原不等式=5,<<5°

tz(l—X)[八(1—+Cl-2八、/c八

律>---------------------F1<0--------------<0(x—2)[(1—6f)x—(2-〃)]<0

工一2X-2

1-a>01-6F<0

l-a=O

或⑶<

O⑴或⑵?/—、/2-a.八2—〃、

(x-2)(l-2)<0(X-2XX-)<0(x—2)(%—>0

1一。

由(1)a=l時(shí)，x-2>0,即x￡(2,+8).

2-a

由⑵/<1時(shí)?，一->0,下面分為三種情況.

1-a

a<1，

a<12—a

?\l-a-<即*1時(shí)，解為（2,—）.

2

---->a<01一。

[\-a

a<\

a<1

(g)<2-a=>\=>〃=0時(shí)，解為0.

----=2a=0

[1-a

a<1

a<12-ci

2-a即0<a<l時(shí)，原不等式解為：（——,2）.

-----<2Q〉0\-a

A-ci

2—a

由（3）a>l時(shí)，——的符號(hào)不確定，也分為3種情況.

1-a

a>1

a>1

①.2-a=>v=>a不存在.

>2,<0

A-a

a>1(.

a>12—ci

?<2-a=>當(dāng)a>l時(shí),原不等式的解為：(-00,——)U(2,4-00).

----<2a>01-a

A-a

綜上：

a=l時(shí)，X￡(2,+8).

2—ct

時(shí)，x￡(2,-----)

1-a

a=0時(shí),xe0.

2—a

0<a<l時(shí)，x￡(-----,2)

{-a

2—a..

a>1時(shí)，xG(—oo,----)U(2,+oo).

1—Cl

評(píng)述:對(duì)于分類(lèi)討論的解題程序可大致分為以下幾個(gè)步驟：

1°:明確討論的對(duì)象，確定對(duì)象的全體；

20:確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，正確分類(lèi)，不重不漏；

3°:逐步進(jìn)行討論，獲得結(jié)段性結(jié)記；

4°:歸納總結(jié)，綜合結(jié)記.

課后練習(xí)：

1.解不等式log,(5——8x+3)>2

2.解不等式Ilog】xl+llog1(3—x)Kl

23

3.已知關(guān)于x的不等式的解集為M.

x-a

(1)當(dāng)a=4時(shí)，求集合M:

(2)若3wM,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.在xOy平面上給定曲線y:2x,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,0),aeR,求曲線上點(diǎn)到點(diǎn)A距離的

最小值d,并寫(xiě)成d=f(a)的函數(shù)表達(dá)式.

參考答案:

133

1.(-,-)U(->+oo)

252

2.居

(1)M為(-8,2)U(9,2)

3.

4

(2)ae(-oo,-|)U(9,+oo)

當(dāng)a>1時(shí)

4.d=f(a)

當(dāng)a<1時(shí)

2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)函數(shù)押題針對(duì)訓(xùn)練

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：函數(shù)問(wèn)題專(zhuān)題，主要幫助學(xué)生整理函數(shù)基本知識(shí)，解決函數(shù)問(wèn)題的基本方法

體系，函數(shù)問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn)，并提高學(xué)生靈活解決綜合函數(shù)問(wèn)題的能力。

復(fù)習(xí)難點(diǎn)：樹(shù)立數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)方程的思想解決有關(guān)問(wèn)題。

主要內(nèi)容：

(-)基本問(wèn)題

1.定義域2.對(duì)應(yīng)法則3.值域

4.圖象問(wèn)題5.單調(diào)性6.奇偶性（對(duì)稱性）

7.周期性8.反函數(shù)9.函數(shù)值比大小

10.分段函數(shù)11.函數(shù)方程及不等式

（二）基本問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn)及基本方法

1.集合與映射

＜1＞認(rèn)清集合中的代表元素

＜2＞有關(guān)集合運(yùn)算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的區(qū)別。還應(yīng)注意空集的情形,

驗(yàn)算端點(diǎn)。

2.關(guān)于定義域

〈1〉復(fù)合函數(shù)的定義域，限制條件要找全。

＜2＞應(yīng)用問(wèn)題實(shí)際意義。

＜3＞求值域，研究函數(shù)性質(zhì)（周期性，單調(diào)性，奇偶性）時(shí)要首先考察定義域。

〈4＞方程，不等式問(wèn)題先確定定義域。

3.關(guān)于對(duì)應(yīng)法則

注：＜1＞分段函數(shù)，不同區(qū)間上對(duì)應(yīng)法則不同

＜2〉聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)求解析式

4.值域問(wèn)題

基本方法：＜1＞化為基本函數(shù)一一換元（新元范圍）?；癁槎魏瘮?shù)，三角函數(shù)，……并

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，求值域。

Xh

＜2＞均值不等式：一一形如和，積，及/（x）=-+±形式。注意識(shí)別及應(yīng)用條件。

ax

＜3＞幾何背景：一一解析幾何如斜率，曲線間位置關(guān)系等等。

易錯(cuò)點(diǎn)：＜1＞考察定義域

＜2＞均值不等式使用條件

5.函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性。

關(guān)注問(wèn)題：＜1＞判定時(shí)，先考察定義域。

〈2＞用定義證明單調(diào)性時(shí)，最好是證哪個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，在哪個(gè)區(qū)間上任取xi及制。

＜3＞求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)區(qū)間及定義域，有時(shí)需分類(lèi)討論。

＜4＞由周期性及奇偶性（對(duì)稱性）求函數(shù)解析式。

＜5＞“奇偶性”+“關(guān)于直線x=k”對(duì)稱，求出函數(shù)周期。

6.比大小問(wèn)題

基本方法：＜1〉粗分。如以“0”，“1”，“T”等為分界點(diǎn)。

＜2＞搭橋〈3＞結(jié)合單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合

〈4＞比差、比商〈5＞利用函數(shù)圖象的凸凹性。

7.函數(shù)的圖象

基本函數(shù)圖象

＜2＞圖象變換①平移②對(duì)稱（取絕對(duì)值）③放縮

易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)合變換時(shí)，有兩種變換順序不能交換。如下：

〈1》取絕對(duì)值（對(duì)稱）與平移

例：由y=?圖象，經(jīng)過(guò)如何變換可得下列函數(shù)圖象？

＜1＞y=yj\x\-l＜2＞y=y]\x-l\

分析：<1>y-Vx—"1>y-Jx-l—步??-?y-J|X|-1.

平移對(duì)稱

＜2＞y=?-x拱工.〉y二-*1＞y=x-lI.

對(duì)稱

評(píng)述：要由y=?得到y(tǒng)=J?匚T只能按上述順序變換，兩順序不能交換。

〈11＞平移與關(guān)于y=x對(duì)稱變換

例：y=f(x+3)的反函數(shù)與y=f'(x+3)是否相同？

分析：①y=f(x)fJy=f(x+3)-f(x+3)的反函數(shù)。

@y=㈤.＞y=/T(x)"fxt3(x+3).

對(duì)稱平移

，兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)(也可以用具體函數(shù)去驗(yàn)證。)

(三)本周例題：

X

例L判斷函數(shù)/(%)=(1+tgx?次］)?sinX的奇偶性及周期性。

X.71

—W攵兀+一xw2kn+兀

22

分析：＜1＞定義域:=><%(kGZ)

7兀XKTI+—

%w上兀+一I2

2

???f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如圖:

—

LA/、八1COSX..

又/(x)=(1+tgx---；----)sinx=tgx-2n-71071如X

sinx

/.f(-X)=-f(x),

f(x)周期九的奇函數(shù)。

評(píng)述：研究性質(zhì)時(shí)關(guān)注定義域。

例2.＜1＞設(shè)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且/(x+3)=———,又當(dāng)xc［-3,-2］時(shí)，

fW

f(x)=2x,求f(113.5)的值。

＜2＞已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)xW(0,1)時(shí)，f(x)=x+l.求f(x)在(1,2)

上的解析式。

解：/(x+3)=--------

/(x)

…)=-卷=小)'

f(x)周期T=6,

f(113.5)=f(6x19-0.5)=f(-0.5).

當(dāng)xG(-1,0)時(shí)，x+3S(2,3).

xe(2,3)時(shí)，f(x)=f(-x)=2x.

f(x+3)=-2(x+3).

11

二/(x)

/(x+3)2(x+3)

1_1

2x(-12+3)5

2

<2>(法1)(從解析式入手)

,:x￡(l,2),則一x￡(-2,T),

???2-xe(0,1),?:T=2.

f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+l=3-x.

/.f(x)=3-x,xG(1,2).

小結(jié)：由奇偶性結(jié)合周期性，將要求區(qū)間上問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上。

(法2)(圖象)

f(x)=f(x+2)

如圖：x￡(0,1),f(x)=x+l.

xG(-1,0)ff(x)=-x+l.

xG(1,2)ff(x)=-(x-2)+l=3-x.

注：從圖象入手也可解決，且較直觀。

例3.<1>若xG(l,2)時(shí)，不等式(x-l)2(log“x恒成立，求a的取值范圍。

<2>已知二次函數(shù)f(x)=x、ax+5對(duì)任意t都有f(t)=f(-4-t),且在閉區(qū)間Z[m,0]上有

最大值5,最小值1,求m的取值范圍。

2

分析：〈1>設(shè)yi=(x-1),y2=log?x

xe(1,2),即xe(1,2)時(shí),曲線yi在yz的下方,如圖：

a=2時(shí),xW(1,2)也成立,AaE(1,2].

小結(jié)：①數(shù)形結(jié)合②變化的觀點(diǎn)

③注意邊界點(diǎn)，a=2,x取不到2,...仍成立。

<2>Vf(t)=f(-4-t),f(-2+t)=f(-2-t)

f(x)圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱，a=4,，f(x)=X2+4X+5.

f(x)=(x+2),+l,動(dòng)區(qū)間：[m,0],

*/xG[m,0],[f(x)]m?=5,[f(x)]mi?=l,

.*.m6[-4,0].

小結(jié)：函數(shù)問(wèn)題，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，并應(yīng)用運(yùn)動(dòng)變化的觀

點(diǎn)研究問(wèn)題。如二次函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)問(wèn)題，定函數(shù)動(dòng)區(qū)間及動(dòng)函數(shù)和定區(qū)間，

但兩類(lèi)問(wèn)題若涉及函數(shù)最值，必然要考慮函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而二次函數(shù)的單

調(diào)性研究關(guān)鍵在于其圖象對(duì)稱軸的位置。以發(fā)展的眼光看，還可解決一類(lèi)動(dòng)

直線定曲線相關(guān)問(wèn)題。

X—5

例4.己知函數(shù)/(x)=log0土上，(">0且4W1).

x+5

⑴判定f(x)在xW(-8,-5)上的單調(diào)性，并證明。

(11)設(shè)8G)=1+1。甌&-3),若方程f(x)=g(x)有實(shí)根，求a的取值范圍。

分析：⑴任取xi<x《-5,

i七一5x,-5區(qū)-5)5+5)

則：/(X,)-/(X2)=loga-i---10ga-^―=log"2

Xj+5x24-5(11+5)(九2-5)

,:(xi-5)(X2+5)-(XI+5)(X2-5)=1O(X1-X2)<O

又(xi-5)(X2+5)>0且(xi+5)(X2-5)>0

0<(?]-5)(尤2+5)<]

區(qū)+5)(X2-5)

/.當(dāng)a>l時(shí)，f(xi)-f(x2)<0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0〈a〈l時(shí)，f(xi)-f(X2)>0,；?f(x)單調(diào)遞減。

x—5

(H)若f(x)=g(x)有實(shí)根，即：log”——-=l+log(x-3)o

x+5a

士^>0

x+5=>x>5.

x-3>0

x—5

???即方程：上」=。(工一3)有大于5的實(shí)根。

x+5

,壯%一5(%-5)

(法1)a=-----------------=-----------------------------(.x>5)

(x-3)(x+5)(x-5+2)(x-5+10)

3-V5

x—5_______1_______<1l

(x—5)2+12(x—5)+20(一)+&+】2、2+2病16

16

x—5

(法2)(實(shí)根分布)上二二a(x—3)(1)有大于5的實(shí)根,

1+5

方程(1)化為：ax2+(2a-l)x-15a+5=0.

a>0,△=64aZ-24a+lN0.

J>5

①有一根大于54=>(|).

[/⑸<0

zl>0L

3-V5

②兩根均大于</(5)>0=>ae(0,——］.

16

1-2a_

------>5

I2a

小結(jié)：實(shí)根分布即利用二次函數(shù)圖象及不等式組解決問(wèn)題。用此數(shù)形結(jié)合方法解決

問(wèn)題時(shí)，具體步驟為：①二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向。②圖象對(duì)稱軸的位置。③圖象與X軸交點(diǎn)。

④端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)。此題(2)中，也可以用韋達(dá)定理解決。

小結(jié)：

函數(shù)部分是高考考察重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)對(duì)其予以充分的重視，并配備必要例題，理順

基本方法體系。

練習(xí)：

已知f(X)是定義在［T,1］上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若m,n￡［T,1］,m+nWO時(shí)，有

>Uo

m+n

<1>用定義證明f(x)在［-1,1］上是增函數(shù)。

<2>若f(x)W/-2at+l對(duì)所有aG［-1,1］恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

參考答案：

(2)11122或t=0.

2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)排列與組合押題針對(duì)訓(xùn)練

授課內(nèi)容：復(fù)習(xí)排列與組合

考試內(nèi)容：兩個(gè)原理；排列、排列數(shù)公式；組合、組合數(shù)公式。

考試要求：1)掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)

題。

2)理解排列、組合的意義。掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式，并能用它們

解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

試題安排：一般情況下，排列組合為一道以選擇或填空題的形式出現(xiàn)的應(yīng)用題。有時(shí)還

另有一道排列、組合與其他內(nèi)容的綜合題(大都與集合、立體幾何、不等式證明等相綜合)。

重點(diǎn)：兩個(gè)原理尤其是乘法原理的應(yīng)用。

難點(diǎn)：不重不漏。

知識(shí)要點(diǎn)及典型例題分析：

1.加法原理和乘法原理

兩個(gè)原理是理解排列與組合的概念，推導(dǎo)排列數(shù)及組合數(shù)公式；分析和解決排列與

組合的應(yīng)用問(wèn)題的基本原則和依據(jù)；完成一件事共有多少種不同方法，這是兩個(gè)原理所要回

答的共同問(wèn)題。而兩者的區(qū)別在于完成一件事可分幾類(lèi)辦法和需要分幾個(gè)步驟。

例1.書(shū)架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，5本不同的語(yǔ)文書(shū)，6本不同的英語(yǔ)書(shū)。

(1)若從這些書(shū)中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書(shū)中取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各一本，有多少種不同的取法？

(3)若從這些書(shū)中取不同的科目的書(shū)兩本，有多少種不同的取法。

解：(1)由于從書(shū)架上任取一本書(shū)，就可以完成這件事，故應(yīng)分類(lèi)，由于有3種書(shū)，則

分為3類(lèi)然后依據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是：3+5+6=14種。

(2)由于從書(shū)架上任取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各1本，需要分成3個(gè)步驟完成,

據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：3X5X6=90(種)。

(3)由于從書(shū)架上任取不同科目的書(shū)兩本，可以有3類(lèi)情況(數(shù)語(yǔ)各1本，數(shù)英

各1本，語(yǔ)英各1本)而在每一類(lèi)情況中又需分2個(gè)步驟才能完成。故應(yīng)依據(jù)加法與乘法兩

個(gè)原理計(jì)算出共得到的不同的取法種數(shù)是：3X5+3X6+5X6=63鐘

例2.已知兩個(gè)集合A={1,2,3},B={a,b,c,d},從A到B建立映射，問(wèn)可建立多少個(gè)

不同的映射？

分析：首先應(yīng)明確本題中的“這件事是指映射，何謂映射？即對(duì)A中的每一個(gè)元素，在

B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)。”

因A中有3個(gè)元素，則必須將這3個(gè)元素都在B中找到家，這件事才完成。因此，

應(yīng)分3個(gè)步驟，當(dāng)這三個(gè)步驟全進(jìn)行完，一個(gè)映射就被建立了，據(jù)乘法原理，共可建立不同

的映射數(shù)目為：5X5X5=53種)。

2.排列數(shù)與組合數(shù)的兩個(gè)公式

排列數(shù)與組合數(shù)公式各有兩種形式，一是連乘積的形式，這種形式主要用于計(jì)算；

二是階乘的形式，這種形式主要用于化簡(jiǎn)與證明。

連乘積的形式階乘形式

n!

Pra=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=----:——

n(n-m)!

rm_n(n-l)(n-2)...(n-m+1)_n!

C-n=

m(m-1)....3-2-1

例3.求證:PJ+mP「=PM

證明：左邊二一+m——-——

(/I-m)!(/i-m+l)!

_(n-m+l)n!+mn!

(n-m+1)!

(n+1)!

[(n+l)-m]!

=p2=右邊

等式成立。

評(píng)述：這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問(wèn)題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)。

n!(n+l)=(n+l)!.可使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化。

例4.解方程=140P；.

解：原方程可化為:

2x+1>4

x>3

o<

xeN

(2x+l)2x(2x-l)(2x-2)=140x(x-l)(x-2)

x>3

Olx￡N

(2x+1)(2%-1)=35(%-2)

x>3

o<xeN解得x=3.

4x2-35x+69=0

評(píng)述：解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時(shí)，在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號(hào)時(shí)，要注

意把排列數(shù)與組合數(shù)定義中的取出元素與被取元素之間的關(guān)系以及它們都屬自然數(shù)的這重

要限定寫(xiě)在脫掉符號(hào)之前。

3.排列與組合的應(yīng)用題

歷屆高考數(shù)學(xué)試題中，排列與組合部分的試題主要是應(yīng)用問(wèn)題。一般都附有某些限

制條件；或是限定元素的選擇，或是限定元素的位置，這些應(yīng)用問(wèn)題的內(nèi)容和情景是多種多

樣的而解決它們的方法還是有規(guī)律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種。

一般方法有：直接法和間接法

(1)在直接法中又分為兩類(lèi)，若問(wèn)題可分為互斥各類(lèi)，據(jù)加法原理，可用分類(lèi)法；

若問(wèn)題考慮先后次序，據(jù)乘法原理，可用占位法。

(2)間接法一般用于當(dāng)問(wèn)題的反面簡(jiǎn)單明了，據(jù)AU^=I且AC^=0的原理，采

用排除的方法來(lái)獲得問(wèn)題的解決。

特殊方法：

(1)特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置。

(2)捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”，緊密結(jié)合粘成小組，組

內(nèi)外分別排列。

(3)插空法：某些元素必須不在一起的分離排列用“插空法”，不需分離的站好實(shí)

位，在空位上進(jìn)行排列。

(4)其它方法。

例5.7人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。

(1)甲排中間；(2)甲不排兩端；(3)甲，乙相鄰；

(4)甲在乙的左邊(不要求相鄰)；(5)甲，乙，丙連排；

(6)甲，乙，丙兩兩不相鄰。

解：(1)甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6人任意排列，故

共有：IX"=720種不同排法。

(2)甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問(wèn)題，優(yōu)先安置甲在中間五個(gè)位置上任何

一個(gè)位置則有8種，其余6人可任意排列有以種，故共有丹?琛=3600種不同排法。

(3)甲、乙相鄰，屬于“捆綁法”，將甲、乙合為一個(gè)“元素”，連同其余5人共6

個(gè)元素任意排列，再由甲、乙組內(nèi)排列，故共有"?Pz'MOO種不同的排法。

(4)甲在乙的左邊?？紤]在7人排成一行形成的所有排列/V中：“甲在乙左邊”

與“甲在乙右邊”的排法是一一對(duì)應(yīng)的，在不要求相鄰時(shí)，各占所有排列的一半，故甲在乙

的左邊的不同排法共有g(shù)可=2520種。

(5)甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“捆綁法”，先將

甲、乙、丙合為一個(gè)“元素”，連同其余4人共5個(gè)''元素”任意排列，現(xiàn)由甲、乙、丙交

換位置，故共有片.8=720種不同排法。

（6）甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的分離排列，用“插空

法”，先將甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每?jī)扇酥g的五個(gè)“空再將甲、

乙、丙插入其中的三個(gè)“空”，故共有外.片=1440種不同的排法。

例6.用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類(lèi)數(shù)

的個(gè)數(shù)：

（1）奇數(shù)；（2）5的倍數(shù)；（3）比20300大的數(shù)；

（4）不含數(shù)字0,且1,2不相鄰的數(shù)。

解：（1）奇數(shù)：要得到一個(gè)5位數(shù)的奇數(shù)，分成3步，第一步考慮個(gè)位必須是奇數(shù)，從

1,3,5中選出一個(gè)數(shù)排列個(gè)位的位置上有8種；第二步考慮首位不能是0,從余下的不是

。的4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)排在首位上有￡種；第三步：從余下的4個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)排在

中間的3個(gè)

數(shù)的位置上，由乘法原理共有P；P：印=388（個(gè)）。

（2）5的倍數(shù)：按0作不作個(gè)位來(lái)分類(lèi)

第一類(lèi)：0作個(gè)位，則有"=120。

第二類(lèi)：0不作個(gè)位即5作個(gè)位，則￡q=96。

則共有這樣的數(shù)為："+￡丹=216個(gè)）。

（3）比20300大的數(shù)的五位數(shù)可分為三類(lèi)：

第一類(lèi)：3xxxx,4xxxx,5xxxx有3gt個(gè)；

第二類(lèi)：21xxx,23xxx,24xxx,25xxx,的48個(gè)：

第三類(lèi)：203xx,204xx,205xx,有38個(gè)，因此，比20300大的五位數(shù)共有：

3A4+46+3舄2=474（個(gè)）。

（4）不含數(shù)字0且1,2不相鄰的數(shù)：分兩步完成，第一步將3,4,5三個(gè)數(shù)字排

成一行；第二步將1和2插入四個(gè)“空”中的兩個(gè)位置，故共有片?4=72個(gè)不含數(shù)字0,

且1和2不相鄰的五位數(shù)。

例7.直線與圓相離，直線上六點(diǎn)Ai,A：i,A,,As,As,圓上四點(diǎn)B”Bs,B“任

兩點(diǎn)連成直線，問(wèn)所得直線最多幾條？最少幾條？

解：所得直線最多時(shí)，即為任意三點(diǎn)都不共線可分為三類(lèi)：第一類(lèi)為已知直線上與圓上

各取一點(diǎn)連線的直線條數(shù)為=24；第二類(lèi)為圓上任取兩點(diǎn)所得的直線條數(shù)為=6；第

三類(lèi)為已知直線為1條，則直線最多的條數(shù)為M=C：C：+C：+1=31條）。

所得直線最少時(shí)，即重合的直線最多，用排除法減去重合的字?jǐn)?shù)較為方便，而重合

的直線即是由圓上取兩點(diǎn)連成的直線，排除重復(fù)，便是直線最少條數(shù)：

N2=N1-2C4=31-12=19條）?

2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義與三角變換押題針對(duì)訓(xùn)練

內(nèi)容：三角函數(shù)的定義與三角變換

重點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)定義

難點(diǎn)：三角變換公式的應(yīng)用

內(nèi)容安排說(shuō)明及分析：

本部分內(nèi)容分為兩大塊，一塊是三角的基礎(chǔ)與預(yù)備知識(shí)，另一塊是三角變換公式及其應(yīng)

用。把三角變換公式提到三角函數(shù)圖象與性質(zhì)之前來(lái)復(fù)習(xí)，其目的是突出“工具提前”的原

則。即眾多的三角變換公式是解決三角學(xué)中一系列典型問(wèn)題的工具，也是進(jìn)一步研究三角函

數(shù)的圖象和性質(zhì)的重要工具。

由于本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性與工具性，這是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，因此，最近幾年的

高考試題中占有一定的比例，約占13%左右。有試題多為選擇題，有時(shí)也有解答題，難度多

為容易題與中等題。

知識(shí)要點(diǎn)及典型例題分析：

一、三角函數(shù)的定義

1.角的概念

(1)角的定義及正角，負(fù)角與零角

(2)象限角與軸上角的表達(dá)

(3)終邊相同的角

(4)角度制

(5)弧度制

2.任意角的三角函數(shù)定義

任意角的6個(gè)三角函數(shù)定義的本質(zhì)是給角這個(gè)幾何量以代數(shù)表達(dá)。借助直角坐標(biāo)系這個(gè)

工具，把角放進(jìn)直角坐標(biāo)系中完成的。由任意角的三角函數(shù)定義直接可以得到：

(1)三角函數(shù)的定義域

(2)三角函數(shù)值在四個(gè)象限中的符號(hào)

(3)同角三角函數(shù)的關(guān)系

(4)單位圓中的三角函數(shù)線：要充分利用三角函數(shù)線在記憶三角函數(shù)性質(zhì)與公式以及

解決三角函數(shù)問(wèn)題中的作用。

3.誘導(dǎo)公式

總共9組共36個(gè)公式，記憶口決為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，并弄清口決中的字詞

含義，并根據(jù)結(jié)構(gòu)總結(jié)使用功能。

“奇變”是指所涉及的軸上角為工的奇數(shù)倍時(shí)(包括4組：-±a,—±a)函數(shù)名稱

222

變?yōu)樵瓉?lái)函數(shù)的余函數(shù)；其主要功能在于：當(dāng)需要改變函數(shù)名稱時(shí)，比如：由于“和差化積”

公式都是同名函數(shù)的和差。使用時(shí)，對(duì)于不同名的函數(shù)先化為同名函數(shù)，又如：復(fù)數(shù)化三角

形式,有時(shí)也需要改變函數(shù)名稱，如：sina-icosa=cos(—+a)+isin(—+a)o

22

“偶不變”是指所涉及的軸上角為工的偶數(shù)倍時(shí)(包括5組：2kn+a,兀士a,2ka,-a),

2

函數(shù)名稱不變，其主要功能在于：求任意角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)及某些證明問(wèn)題。

二、典型例題分析：

例1.⑴已知《<a*',求a+(J與a邛的范圍。

(2)已知a的終邊在第二象限，確定兀-a所在象限。

■JTTT

解：(1)V--<a<p<y,.,.-7t<a+p<rt,-n<a-p<0.

(2)有兩種思路：其一是先把a(bǔ)的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱放到-a的終邊(在第三象限)，再

將-a的終邊按逆時(shí)方向旋轉(zhuǎn)兀放到兀-a的終邊即-a的終邊的反向延長(zhǎng)線，此時(shí)兀-a的終邊也

在第二象限。

思路2：是先把a(bǔ)的終邊(第二象限)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)兀，得到a+(F)(第四象限)，

再將它關(guān)于x軸對(duì)稱得到-(aF)F-a的終邊，此時(shí)也在第一象限。

例2.若人=僅限=紅，keZ},B={x|x=—+—,keZ),則AB?

424

解：由B中的x=^+^=(2fc+1>可視為-的奇數(shù)倍所構(gòu)成的集合。

2444

而A中的x="是工的所有奇數(shù)倍，因此AnB。

44

例3.設(shè)0〈。<2兀，問(wèn)50與角。終邊相同，求6。

解：由已知5e=2kn+e,keZ,有*竺，

2

33萬(wàn)

*/0<0<2K,，k=l時(shí)，6=-；k=2時(shí)，6=兀；k=3時(shí)，Q=—.

_______22

例4.若1二cos[=ct『esc。,求。取值范圍。

V1+COS0

解：先看一看右邊=ctgo-csce=*--!-=X」，這樣就決定了左邊的變形方向。

sin0sin0sin0

/1-cos^_/(I-cos^)21(1-cos^)2

V1+cos^V1-cos20vsin2<9'

..1(1-cos6)2cosO—1.fcos6^-l>0|cos6=l

Vsin20sin。[sin9>0[sin0>0

???不存在這樣的。使所給等式成立。

例5.已知sin(jt-a)-cos(rc+a)=旦

,—<a<7r.

32

求：(1)sina-cosa的值(2)sii?(工+a)+cos“工+a)的值