2022-2023上海八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末專題復(fù)習(xí)02二次根式的運(yùn)算（考點(diǎn)講解）（教師版）

專題02二次根式的運(yùn)算【考點(diǎn)剖析】1.二次根式的運(yùn)算【典例分析】【考點(diǎn)1】二次根式的混合運(yùn)算1．計(jì)算：【考點(diǎn)】二次根式乘方【專題】二次根式混合運(yùn)算【分析】根據(jù)二次根式的加、減、乘、除、乘方進(jìn)行運(yùn)算【解答】原式＝＝.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的加減乘除法則是解決本題的關(guān)鍵．2．計(jì)算：.【考點(diǎn)】二次根式乘方【專題】二次根式混合運(yùn)算【分析】根據(jù)二次根式的加、減、乘、除、乘方進(jìn)行運(yùn)算【解答】原式＝.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的加減乘除法則是解決本題的關(guān)鍵．3．已知等腰的兩邊長(zhǎng)分別為和，則等腰的周長(zhǎng)是______．【考點(diǎn)】等腰三角形【專題】二次根式混合運(yùn)算【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊难L(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為時(shí)，當(dāng)?shù)妊难L(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊难L(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為時(shí)，，∴不能組成三角形；當(dāng)?shù)妊难L(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為時(shí)，∴等腰的周長(zhǎng)；綜上所述：等腰的周長(zhǎng)是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2】分母有理化1．的一個(gè)有理化因式是（

A

）A． B． C． D．【考點(diǎn)】分母有理化【專題】有理化因式【分析】根據(jù)有理化的定義以及二次根式的乘除法則解決此題．【解答】解：A．∵，∴就是的一個(gè)有理化因式，故A符合題意；B．∵，∴不是的一個(gè)有理化因式，故B不符合題意；C．∵，∴不是的一個(gè)有理化因式，故C不符合題意；D．∵，∴不是的一個(gè)有理化因式，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義以及二次根式的乘除法則是解決本題的關(guān)鍵．2．的有理化因式可以是___________．（只需填一個(gè)）【考點(diǎn)】分母有理化【專題】有理化因式【分析】根據(jù)有理化的定義解決此題．【解答】的有理化因式可以是，答案不唯一.故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．3．若兩個(gè)代數(shù)式與滿足，則稱這兩個(gè)代數(shù)式為“互為友好因式”，則的“互為友好因式”是．【考點(diǎn)】分母有理化【專題】有理化因式【分析】根據(jù)“互為友好因式”的概念解答即可．【解答】解：由題意可得：的“互為友好因式”為：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了定義新運(yùn)算，二次根式的分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的分母有理化的方法．4．不用計(jì)算器，比較與的大小，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】分母有理化【專題】有理化因式【分析】將分母有理化，即可作答．【解答】，理由如下：，即：∴，即：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要是考查二次根式的大小比較以及二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，掌握二次根式的運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．5．當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是__5____．【考點(diǎn)】分母有理化【專題】有理化因式【分析】將分母有理化，即可作答．【解答】，即：代入得：原式=，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要是考查二次根式的大小比較以及二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，掌握二次根式的運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．6．已知，求的值；【考點(diǎn)】分母有理化【專題】有理化因式【分析】將分母有理化，即可作答．【解答】，代入得：原式=，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要是考查二次根式的大小比較以及二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，掌握二次根式的運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．7．（★★）已知，則＝____5_____【考點(diǎn)】分母有理化【專題】有理化因式【解答】由已知，而原式＝，所以原式＝.故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要是考查二次根式的大小比較以及二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，掌握二次根式的運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3】不等式、方程運(yùn)算1．解不等式：的解集是______．【考點(diǎn)】分母有理化【專題】解不等式【分析】將移項(xiàng)，即可作答．【解答】，移項(xiàng)得左右同時(shí)除以-1，得解得：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要是考查二次根式的不等式的運(yùn)算，掌握不等式的運(yùn)算規(guī)則及分母有理化即可2．【考點(diǎn)】分母有理化【專題】解方程【分析】將移項(xiàng)，即可作答．【解答】，移項(xiàng)得左右同時(shí)除以，解得：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要是考查二次根式的大小比較以及二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，掌握二次根式的運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．3．【考點(diǎn)】分母有理化【專題】解方程組【分析】用加減消元解方程，即可作答．【解答】，由（1）得（3）（3）-（2）得：∴代入（1）式得：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要是考查二次根式的大小比較以及二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，掌握二次根式的運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4】二次根式的計(jì)算應(yīng)用（★★）1．根據(jù)愛(ài)因斯坦的相對(duì)論，當(dāng)?shù)孛嫔系臅r(shí)間經(jīng)過(guò)1秒時(shí)，宇宙飛船內(nèi)時(shí)間只經(jīng)過(guò)秒（c是光速，為千米/秒，v是宇宙飛船的速度）．假定有一對(duì)兄弟，哥哥18歲，弟弟15歲，哥哥乘著宇宙飛船作宇宙旅行，宇宙飛船的速度是光速的0.98倍．問(wèn)：弟弟20歲時(shí)，剛從宇宙旅行回來(lái)的哥哥是幾歲？【考點(diǎn)】二次根式應(yīng)用題【專題】二次根式運(yùn)算【分析】先求出當(dāng)?shù)孛嫔系臅r(shí)間經(jīng)過(guò)1秒時(shí)，宇宙飛船內(nèi)經(jīng)過(guò)的時(shí)間，可得地球上過(guò)5年，宇宙飛船內(nèi)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為年，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：當(dāng)?shù)孛嫔系臅r(shí)間經(jīng)過(guò)1秒時(shí)，宇宙飛船內(nèi)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為秒，∴地球上過(guò)5年，宇宙飛船內(nèi)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為年，∴剛從宇宙旅行回來(lái)的哥哥是歲．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的應(yīng)用；理解題意，確定地面時(shí)間與宇宙飛船時(shí)間之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．【說(shuō)讀材料】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)，時(shí)：∵，∴．∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，有最小值為．【學(xué)以致用】根據(jù)上面材料回答下列問(wèn)題：(1)已知，則當(dāng)時(shí)，式子取到最小值，最小值為；(2)已知，求當(dāng)值為多少時(shí)，分式取到最小值，最小值是多少？(3)用籬笆圍一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形花園，問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？【考點(diǎn)】二次根式應(yīng)用題【專題】二次根式運(yùn)算【解答】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，的最小值是2；即當(dāng)時(shí)，的最小值是2；故答案為：1；2；（2）令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值為，∴當(dāng)時(shí)，．（3）設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為米，則寬為米，所用的籬笆總長(zhǎng)為米，根據(jù)題意得：，由上述性質(zhì)知：∵，∴，此時(shí)，，∴．答：當(dāng)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式與完全平方公式，求最值問(wèn)題，理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵．【課后練習(xí)】下列各式計(jì)算錯(cuò)誤的是（A）A.；B.；C.；D..【考點(diǎn)】二次根式混合運(yùn)算【專題】二次根式運(yùn)算【分析】分別根據(jù)二次根式的加法，乘法，除法法則以及利用平方差公式進(jìn)行分母有理化逐一判斷即可．【解答】A、∵，因而A錯(cuò)誤.B、，正確；C、正確；D、，正確.故此題選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算以及分母有理化，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．2．下列計(jì)算正確的是（

C

）A． B．C． D．【考點(diǎn)】二次根式混合運(yùn)算【專題】二次根式運(yùn)算【分析】分別根據(jù)二次根式的加法，乘法，除法法則以及利用平方差公式進(jìn)行分母有理化逐一判斷即可．【解答】解：A、與不是同類二次根式，所以不能合并，故本選項(xiàng)不合題意；B、，故本選項(xiàng)不合題意；C、，故本選項(xiàng)符合題意；D、，故本選項(xiàng)不合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算以及分母有理化，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．3.計(jì)算：．【考點(diǎn)】二次根式混合運(yùn)算【專題】二次根式運(yùn)算【分析】分別根據(jù)二次根式化簡(jiǎn)、進(jìn)行加法，減法計(jì)算即可．【解答】原式＝.故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．4.計(jì)算：＝.【考點(diǎn)】二次根式混合運(yùn)算【專題】二次根式運(yùn)算【分析】分別根據(jù)二次根式化簡(jiǎn)、進(jìn)行加法，減法計(jì)算即可．【解答】原式＝.故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．5.計(jì)算：＝.【考點(diǎn)】二次根式混合運(yùn)算【專題】二次根式運(yùn)算【分析】分別根據(jù)二次根式化簡(jiǎn)、進(jìn)行加法，減法計(jì)算即可．【解答】原式＝.故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．6.計(jì)算：＝2.【考點(diǎn)】二次根式混合運(yùn)算【專題】二次根式運(yùn)算【分析】分別根據(jù)二次根式化簡(jiǎn)、進(jìn)行乘除計(jì)算即可．【解答】原式＝，或原式＝故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．7.計(jì)算：＝.【考點(diǎn)】二次根式混合運(yùn)算【專題】二次根式運(yùn)算【分析】分別根據(jù)二次根式乘除、平方差公式計(jì)算即可【解答】故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．8.寫出的一個(gè)有理化因式.【考點(diǎn)】分母有理化【專題】有理化因式【分析】根據(jù)分母有理化的概念解決即可【解答】的有理化因式可以是，答案不唯一.故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．9.寫出的一個(gè)有理化因式.【考點(diǎn)】分母有理化【專題】有理化因式【分析】根據(jù)分母有理化的概念解決即可【解答】的有理化因式可以是，答案不唯一.故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．10.比較大?。?gt;【考點(diǎn)】分母有理化【專題】有理化因式【分析】根據(jù)分母有理化的概念得出，然后比較得到【解答】∴∴∵∴>故答案為：>【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．11.不等式的解集是.【考點(diǎn)】分母有理化【專題】解不等式.【分析】將移項(xiàng)，即可作答．【解答】，∴，故原不等式的解集為：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化是解決本題的關(guān)鍵．12.若實(shí)數(shù)，則代數(shù)式的值為3.【考點(diǎn)】分母有理化【專題】二次根式的運(yùn)算【分析】將分母有理化，配方后得出答案．【解答】因?yàn)?，所?故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．13.對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下：，如：，那么＝1.【考點(diǎn)】自定義運(yùn)算【專題】二次根式的運(yùn)算【分析】將按照新運(yùn)算計(jì)算，先算，再算【解答】由已知＝故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握新運(yùn)算及二次根式是解決本題的關(guān)鍵．14、二次根式計(jì)算：(1).【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【專題】二次根式的運(yùn)算【分析】將各式子化簡(jiǎn)后相加減【解答】解：原式＝.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．(2)【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【專題】二次根式的運(yùn)算【分析】將各式子化簡(jiǎn)后相加減【解答】原式＝【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．(3)【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【專題】二次根式的運(yùn)算【分析】將各式子化簡(jiǎn)后相加減【解答】原式＝【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．(4)【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【專題】二次根式的運(yùn)算【分析】將各式子化簡(jiǎn)后相加減【解答】原式＝【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．15、二次根式計(jì)算：(1)【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【專題】二次根式的運(yùn)算【分析】將各式子化簡(jiǎn)后相乘除【解答】解：原式=（1×6）?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是能夠了解法則并能熟練的將除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行運(yùn)算．(2)【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【專題】二次根式的運(yùn)算【分析】先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式的加減法的法則計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意：，，，又∵，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的加減法，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)．解題的關(guān)鍵是將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式．(3)【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【專題】二次根式的運(yùn)算【分析】先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式的加減法的法則計(jì)算即可．【解答】因?yàn)椋剑健军c(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的加減法，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)．解題的關(guān)鍵是將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式．16、二次根式計(jì)算：(1).【考點(diǎn)】分母有理化【專題】二次根式的運(yùn)算【分析】先將二次根式化為分母有理化，再根據(jù)二次根式的乘除法的法則計(jì)算即可．【解答】解：原式＝.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的有理化運(yùn)算，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．(2)【考點(diǎn)】分母有理化【專題】二次根式的運(yùn)算【分析】先將二次根式化為分母有理化，再根據(jù)二次根式的乘除法的法則計(jì)算即可．【解答】解：原式＝.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的有理化運(yùn)算，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．17、解不等式：(1)【考點(diǎn)】分母有理化【專題】解不等式【分析】將移項(xiàng)，即可作答．【解答】解：∴，.【點(diǎn)評(píng)】本題主要是考查二次根式的不等式的運(yùn)算，掌握不等式的運(yùn)算規(guī)則及分母有理化即可(2)【考點(diǎn)】分母有理化【專題】解方程組【分析】將移項(xiàng)，即可作答．【解答】解：∴【點(diǎn)評(píng)】本題主要是考查二次根式的方程的運(yùn)算，掌握方程的運(yùn)算規(guī)則及分母有理化即可18.已知，求的值.【考點(diǎn)】分母有理化【專題】二次根式的運(yùn)算【分析】將分母有理化，代入分式方程計(jì)