專題11 模型構(gòu)建專題：全等三角形中的常見七種解題模型全攻略（原卷版）

專題11模型構(gòu)建專題：全等三角形中的常見七種解題模型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【模型一平移型模型】 1【模型二軸對(duì)稱型模型】 8【模型三四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】 12【模型四一線三等角模型】 19【模型五三垂直模型】 25【模型六旋轉(zhuǎn)型模型】 30【模型七倍長(zhǎng)中線模型】 39【典型例題】【模型一平移型模型】例題：（2023秋·江蘇淮安·八年級(jí)淮安市浦東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，點(diǎn)，在線段上，，，．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在和中，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，．求證：．

2．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．3．（2023春·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐探索圖形平移中的數(shù)學(xué)問題問題情境：如圖，已知是等邊三角形，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為邊，在外部作等邊三角形．操作探究：將△ADE從圖的位置開始，沿射線方向平移，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，．（1）如圖，善思小組的同學(xué)畫出了時(shí)的情形，求此時(shí)△ADE平移的距離；（2）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在△ADE平移過程中，連接交射線于點(diǎn)，敏學(xué)小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)始終成立請(qǐng)你證明這一結(jié)論；拓展延伸：（3）請(qǐng)從，兩題中任選一題作答，我選擇______題A.在△ADE平移的過程中，直接寫出以，，為頂點(diǎn)的三角形成為直角三角形時(shí)，△ADE平移的距離．B．在△ADE平移的過程中，直接寫出以，，為頂點(diǎn)的三角形成為直角三角形時(shí)，△ADE平移的距離．【模型二軸對(duì)稱型模型】例題：（2023秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)校考期中）如圖，，，求證：．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·四川成都·七年級(jí)成都嘉祥外國語學(xué)校校考期中）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，，且，求證：．

2．（2023秋·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E、F是線段上的兩個(gè)點(diǎn)，與交于點(diǎn)M．已知，，．

(1)求證：；(2)若．求證：是等邊三角形．3．（2023春·湖南益陽·八年級(jí)校考期中）兩組鄰邊分別相等的四邊形我們稱它為箏形．如圖，在箏形中，，，、相交于點(diǎn)，求證：

(1)；(2)．【模型三四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】例題：（2023春·江蘇淮安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，，，、分別是和的中點(diǎn)．求證：．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西玉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，小文對(duì)箏形的性質(zhì)進(jìn)行了探究．

(1)小文通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明得到箏形角的性質(zhì)是“箏形有一組對(duì)角相等”．請(qǐng)你幫他將證明過程補(bǔ)充完整．已知：如圖，在箏形中，，．求證：___________．證明：___________(2)小文連接箏形的兩條對(duì)角線，探究得到箏形對(duì)角線的性質(zhì)是___________．（寫出一條即可）2．如圖，在四邊形ABCD中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．3．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時(shí)，（2）中結(jié)論仍然成立？【模型四一線三等角模型】例題：（2023春·廣西南寧·七年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，射線在的內(nèi)部，點(diǎn)B、C分別在的邊、上，且，若，求證：；（2）類比探究：如圖2，，且．（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，在中，，．點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)D、F在線段上，．若的面積為，，求與的面積之比．

【變式訓(xùn)練】1．已知是經(jīng)過頂點(diǎn)C的一條直線，．E、F分別是直線上兩點(diǎn)，且．(1)若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線上，請(qǐng)解決下面問題：①如圖1，若，，求證：；②如圖2，若，探索三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，題（1）②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確的結(jié)論再給予證明．2．（2023春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，的面積是12，求與的面積之和．【模型五三垂直模型】例題：（2023春·遼寧本溪·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，，，垂足分別為點(diǎn)D，E．

(1)如圖①，求證：(2)如圖②，（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，請(qǐng)寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·甘肅酒泉·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；2．如圖，已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，．（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系：____________．【模型六旋轉(zhuǎn)型模型】例題：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請(qǐng)你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請(qǐng)你直接寫出△ADE的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開學(xué)考試）【問題初探】和是兩個(gè)都含有角的大小不同的直角三角板

（1）當(dāng)兩個(gè)三角板如圖（1）所示的位置擺放時(shí)，D、B，C在同一直線上，連接，請(qǐng)證明：【類比探究】（2）當(dāng)三角板保持不動(dòng)時(shí)，將三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖（2）所示的位置，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．【拓展延伸】如圖（3），在四邊形中，，連接，，，A到直線的距離為7，請(qǐng)求出的面積．2．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形中，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．易證得．大致證明思路：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，由可得、、三點(diǎn)共線，，進(jìn)而可證明，故．任務(wù)：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．請(qǐng)參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論是否依然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．3．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐課上，李老師讓同學(xué)們以“等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形按圖的方式擺放，，隨后保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請(qǐng)你幫忙解答：,【初步探究】(1)如圖1，直接寫出線段和的關(guān)系：______．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，則______．【深入探究】(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，連接，興趣小組認(rèn)為不僅（1）中的結(jié)論仍然成立，而且在旋轉(zhuǎn)過程中,的度數(shù)不發(fā)生變化，請(qǐng)給出推理過程并求出的度數(shù)．【拓展延伸】(4)如圖3，試探究線段，之間是否存在某種特定的數(shù)量關(guān)系，若存在，直接寫出數(shù)量關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【模型七倍長(zhǎng)中線模型】例題：（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀理解課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到，其理由是什么？(2)的取值范圍是什么？[感悟]解題時(shí)，條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和結(jié)論轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中．[問題解決](3)如圖3，是的中線，交于點(diǎn)，且，試說明．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)四川省大竹中學(xué)?？计谀?）閱讀理解：

如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)使，再連接，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段的取值范圍是；則中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，此時(shí)：與的大小關(guān)系，并說明理由．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作，邊，分別交，于，兩點(diǎn)，連接，此時(shí)：、與的數(shù)量關(guān)系2．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【發(fā)現(xiàn)問題】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師提出了如下問題：如圖1，在中，，，求邊上的中線的取值范圍．

【探究方法】第一小組經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長(zhǎng)到E，使得；②連接，通過三角形全等把、、轉(zhuǎn)化在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為，從而得到的