2022-2023學年高二物理競賽課件：剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程

解:

取輪A為研究對象再取輪B和物體C為研究對象因為

得

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程

例：飛輪對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為Jo，以角速度ω0

繞軸O轉(zhuǎn)動。制動時，閘塊給輪以正壓力FN，已知閘塊與輪之間的滑動摩擦因數(shù)為f，輪的半徑為R，軸承的摩擦忽略不計。求制動所需的時間t。解以輪為研究對象，取逆時針方向為正，剛體的轉(zhuǎn)動微分方程為：積分解得FFN其受力分析如圖示剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程主動力：F1

，F(xiàn)2，……，F(xiàn)n

軸承約束力：FN1

，F(xiàn)N2由質(zhì)點系對z軸的動量矩定理，有或上式也可寫成或以上各式均稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程。轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。

例：水平桿AB長為2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，其兩端各用鉸與長為l的桿AC及BD相連，桿端各連結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。起初兩小球用細線相連，使桿AC與BD均為鉛垂時，系統(tǒng)繞z軸的角速度為ω0。如果此時細線拉斷后，桿AC和BD各與垂線成θ角，不計各桿的質(zhì)量，求這時系統(tǒng)的角速度ω。

例:

提升裝置中，均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量分別為m1、m2,半徑分別為r1、r2,物體C

的質(zhì)量為m3

，輪A上作用常力矩M1

。求物體C上升的加速度。剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程

剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量，剛體對任意軸z的轉(zhuǎn)動慣量(momentofinertia)定義為由上式可見，轉(zhuǎn)動慣量的大小不僅與質(zhì)量大小有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布情況有關(guān)。在國際單位制中其單位為kg?m2。轉(zhuǎn)動慣量恒為正值。簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算（1）均質(zhì)細直桿對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)桿長為l，單位長度的質(zhì)量為ρ,取桿上一微段dx，其質(zhì)量m=ρdx，則桿的質(zhì)量于是

（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)圓環(huán)質(zhì)量為m，質(zhì)量mi到中心軸的距離都等于半徑R，所以圓環(huán)對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量為即

，是均質(zhì)圓板單位面積的質(zhì)量。因此圓板對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量（3）均質(zhì)圓板對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)圓板的半徑為R，質(zhì)量為m

。將圓板分為無數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)半徑為ri，寬度為dri，則薄圓環(huán)的質(zhì)量為式中

或

回轉(zhuǎn)半徑（或慣性半徑）定義為如已知ρz

，則即物體的轉(zhuǎn)動慣量等于該物體的質(zhì)量與回轉(zhuǎn)半徑平方的乘積。三、平行軸定理

設(shè)點C為剛體的質(zhì)心，剛體對于通過質(zhì)心的z1

軸的轉(zhuǎn)動慣量為JZc，剛體對于平行于該軸的另一軸z的轉(zhuǎn)動慣量為J