2024年陜西西咸新區(qū)高三一模高考理科數(shù)學卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁西咸新區(qū)2024年高三數(shù)學（理科）第一次模擬考試注意事項：1．本試卷共4頁，全卷滿分150分，答題時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知，是虛數(shù)單位，若，，則（

）A．1或-1 B． C． D．或2．設集合，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，，且，則的值為（

）A．-17 B．-15 C．17 D．154．已知變量，之間的一組相關數(shù)據(jù)如下表所示：681012632據(jù)此得到變量，之間的線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（

）A．變量，之間成負相關關系 B．可以預測，當時，C． D．該回歸直線必過點5．中國古代數(shù)學家很早就對空間幾何體進行了系統(tǒng)的研究，中國傳世數(shù)學著作《九章算術》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計算公式，例如在推導正四棱臺（古人稱方臺）體積公式時，將正四棱臺切割成九部分進行求解．右圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖．對應的是正四棱臺中間位置的長方體，、、、對應四個三棱柱，、、、對應四個四棱錐．若這四個三棱柱的體積之和等于長方體的體積，則四棱錐與三棱柱的體積之比為（

）A．3:1 B．1:3 C．2:3 D．1:66．已知偶函數(shù)在區(qū)間單調遞增，則滿足的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．將5個1和2個0隨機排成一行，則2個0相鄰的概率為（

）A． B． C． D．8．已知正三棱柱的底面邊長為1，側棱的長為2，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．9．記函數(shù)（）的最小正周期為，且，將的圖象向右平移個單位，所得圖象關于軸對稱，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．510．已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，，為雙曲線的右支上一點，且，與軸交于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．11．已知圓的方程為：，點，，是線段上的動點，過作圓的切線，切點分別為，，現(xiàn)有以下四種說法：①四邊形的面積的最小值為1；②四邊形的面積的最大值為；③的最小值為；④的最大值為．其中所有正確說法的序號為（

）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④12．已知，則（

）A． B．C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，則．14．已知實數(shù)滿足，則的最小值為．15．如圖，過拋物線（）的焦點的直線交拋物線于點，，交其準線于點，若，且，則此拋物線的標準方程為．16．在數(shù)列中，，．記是數(shù)列的前項和，則．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．近年來“天宮課堂”受到廣大中小學生歡迎，激發(fā)了同學們對科學知識的探索欲望和對我國航天事業(yè)成就的自豪．為領悟航天精神，感受中國夢想，某校組織了一次“尋夢天宮”航天知識競賽（滿分100分），各年級學生踴躍參加．校團委為了比較高一、高二學生這次競賽的成績，從兩個年級的答卷中各隨機選取了50份，將成績進行統(tǒng)計得到以下頻數(shù)分布表：成績高一學生人數(shù)1551515高二學生人數(shù)10102010試利用樣本估計總體的思想，解決下列問題：(1)從平均數(shù)與方差的角度分析哪個年級學生這次競賽成績更好（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）？(2)校后勤部決定對參與這次競賽的學生給予一定的獎勵，獎勵方案有以下兩種：方案一：記學生得分為，當時，獎勵該學生10元食堂代金券；當時，獎勵該學生25元食堂代金券；當時，獎勵該學生35元食堂代金券；方案二：得分低于樣本中位數(shù)的每位學生獎勵10元食堂代金券；得分不低于中位數(shù)的每位學生獎勵30元食堂代金券．若高一年級組長希望本年級學生獲得多于高二年級的獎勵，則他應該選擇哪種方案？18．在中，角所對的邊分別為，且滿足．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，線段的中垂線交于點，求線段的長.19．如圖，四棱錐中，平面平面，，，，且，.(1)求證：平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值.20．已知橢圓的左，右焦點分別為，，且，與短軸的一個端點構成一個等腰直角三角形，點在橢圓，過點作互相垂直且與軸不重合的兩直線，分別交橢圓于，和點，，且點，分別是弦，的中點．(1)求橢圓的標準方程；(2)若，求以為直徑的圓的方程；(3)直線是否過軸上的一個定點？若是，求出該定點坐標；若不是，說明理由．21．已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調性；(2)當時，證明：．（二）選考題：共10分．考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．(1)寫出曲線的極坐標方程及直線的直角坐標方程；(2)設點的極坐標為，射線的極坐標方程為（），射線與曲線和直線分別交于兩點，求的面積【選修4-5：不等式選講】23．設函數(shù).(1)解不等式，(2)若關于的方程沒有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】根據(jù)復數(shù)，得到，再根據(jù)，利用乘法求解.【詳解】因為復數(shù)，所以，，所以.故選：D【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算和概念，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.2．C【分析】根據(jù)補集和交集的定義即可求解.【詳解】由已知得：，而，所以.故選：C3．D【分析】結合等差數(shù)列的通項公式可求得，進而可求出結果.【詳解】因為數(shù)列，都是等差數(shù)列，設數(shù)列，的公差分別為，又，，且，則，即，所以，故選：D.4．C【分析】由，可判斷A正確；當時，得到的預測值，可得判定B正確；由表格中的數(shù)據(jù)，求得樣本中心，代入求得的值，可判定C不正確；由，求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，由，可得變量之間呈現(xiàn)負相關關系，所以A正確；對于B中，當，可得，所以B正確；對于C中，由表格中的數(shù)據(jù)，可得，則，解得，所以C不正確；對于D中，由，可得，所以該回歸直線必經過點，所以D正確.故選：C.5．B【分析】令四棱錐的底面邊長為，高為，三棱柱的高為，寫出三棱柱、長方體和三棱柱的體積列式求解即可.【詳解】如圖，令四棱錐的底面邊長為，高為，三棱柱的高為，所以三棱柱的體積為，長方體的體積為，因為四個三棱柱的體積之和等于長方體的體積，所以，所以，因為四棱錐的體積為，所以四棱錐與三棱柱的體積之比為.故選：B.6．A【分析】利用為偶函數(shù)關于軸對稱，故越靠近軸，函數(shù)值越小，從而解出不等式.【詳解】因為偶函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以在區(qū)間上單調遞減，故越靠近軸，函數(shù)值越小，因為，所以，解得：．故選：A.7．D【分析】首先將5個1和2個0隨機排成一行，求出總的排放方法，再利用插空法求出2個0相鄰的排法，再利用古典概型的概率公式計算即可.【詳解】將5個1和2個0隨機排成一行，總的排放方法有種，要使2個0相鄰，利用插空法，5個1有6個位置可以放兩個0，故排放方法有種，所以所求概率為，故選：D.8．A【分析】利用正三棱柱的特征、中位線性質構造共面直線余弦定理解三角形即可.【詳解】如圖所示，取棱的中點分別為，易知，所以異面直線與所成角的余弦值即，由正三棱柱的特征可知底面，而底面，所以，易知，由余弦定理知，故A正確.故選：A9．D【分析】根據(jù)題意，求得，進而的平移后的函數(shù)為，根據(jù)的圖象關于軸對稱，求得，即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的最小正周期為，且，所以，因為，可得，所以的圖象向右平移個單位后得到，因為所得函數(shù)的圖象關于軸對稱，所以，可得，因為，所以的最小值為.故選：D.10．C【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質，以及三角形的特征，利用角的關系，結合余弦定理，列出等式，即可求雙曲線的離心率.【詳解】由橢圓可知，，則，由，則，則，根據(jù)，有，整理為，即，得或（舍），所以雙曲線的離心率為.故選：C11．B【分析】利用數(shù)形結合，將面積的最值轉化為求的最值，即可判斷①②；利用數(shù)量積和三角函數(shù)表示，再轉化為利用對勾函數(shù)的單調性求最值.【詳解】如圖，當點是的中點時，此時，最短，最小值為，當點與點或點重合時，此時最長，最大值為2，因為是圓的切線，所以，，則四邊形的面積為，所以四邊形的面積的最小值為，最大值為，故①②正確；,，，，設，函數(shù)單調遞增，最小值為0，最大值為，故③錯誤，④正確.故選：B12．C【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)討論其單調性，然后可比較P，M；構造函數(shù)，利用導數(shù)討論其在上的單調性，令，結合和可證.【詳解】由，構造函數(shù)，則.由可知：當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，取得最大值.由在單調遞增可知：，即.由在單調遞減區(qū)間，令有兩個解，且，則，可得①，得②，令，則，當時在上單調遞增，當時，，即時，.若，即，結合①②，得，則有.又當時，，故，由在單調遞減知：，即.故.故選：C.【點睛】本題有兩個難點，一是對M，N，P同構后，構造函數(shù)；二是構造函數(shù)尋找方程兩根的關系，利用其關系比較.13．5【分析】先求得的坐標，再求其模長.【詳解】因，則.故答案為：5.14．【分析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結合圖象，確定出目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，設，可得，結合圖象可得，當直線經過點時，直線在軸上的截距最小，即取得最小值，即目標函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以.故答案為：.15．【分析】依據(jù)求出點的坐標，進而得到方程，聯(lián)立方程組求出點坐標，再利用焦半徑公式求解即可.【詳解】設，，，拋物線準線與交與點，若，作，可得//，故，故，解得，得，將代入拋物線方程，得到，解得(正根舍去)，故，易知，故的方程為，設，聯(lián)立方程組，，解得，故得，由焦半徑公式得，解得，則拋物線的標準方程為.故答案為：16．【分析】根據(jù)當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，分組求和即可.【詳解】由題知，，當為奇數(shù)時，，所以奇數(shù)項構成等差數(shù)列，首項為1，公差為2，當為偶數(shù)時，，所以所以故答案為：17．(1)高一年級學生這次競賽成績更好(2)選擇方案二【分析】（1）分別運用數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差公式計算，得出平均數(shù)相同，高一年級成績的方差低于高二年級，故得結論；（2）分別按照方案一和方案二計算兩個年級獲得獎勵額，進行比較后確定方案二.【詳解】（1）設高一年級學生競賽成績的平均數(shù)為，方差為.高二年級學生競賽成績的平均數(shù)為，方差為.則，，因，故高一年級學生這次競賽成績比較穩(wěn)定集中，成績更好；（2）按照方案一，高一年級學生獲得獎勵為：元，而高二年級學生獲得獎勵為：元，即按照方案一，高一年級獲得獎勵少于高二；按照方案二，依題意，所抽取的100名參加競賽學生的成績中位數(shù)為，則樣本中，高一年級學生成績低于中位數(shù)的人數(shù)約為人，則高一年級獲得獎勵為：元；高二年級學生成績低于中位數(shù)的人數(shù)約為人，則高二年級獲得獎勵為：元.因，即按照方案二，高一年級獲得獎勵多于高二.故若高一年級組長希望本年級學生獲得多于高二年級的獎勵，則他應該選擇方案二.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可求sinBcosC+sinCsinB＝0，結合sinB＞0，可求tanC＝﹣1，結合范圍0＜C＜π，可求C的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理可求c的值，cosB的值，設BC的中垂線交BC于點E，在Rt△BCD中，可求BD的值．【詳解】（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC+csinB＝0，∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB＝0∵0＜B＜π，∴sinB＞0，于是cosC+sinC＝0，即tanC＝﹣1∵0＜C＜π∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，∴c＝5，∴，設BC的中垂線交BC于點E，∵在Rt△BCD中，，∴．【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形中垂線的性質的綜合應用，考查了數(shù)形結合思想的應用，屬于基礎題．19．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）利用題意首先證得，然后結合面面垂直的性質即可證得線面垂直；（2）取的中點為，連接，先證明平面，再利用題意建立空間直角坐標系，然后結合空間向量的結論求解直線和平面所成角的正弦值即可【詳解】（1）由，，可得，由，且，可得，在中，，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2）取的中點為，連接，易得，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面；以為坐標原點，、所在直線分別為，軸建立空間直角坐標系，，，，，因為，所以，所以，，，設是平面的一個法向量，則，即，令x=1，則，所以平面的一個法向量是，設直線與平面所成的角為，所以，故直線和平面所成角的正弦值為.20．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)依題意，結合橢圓的幾何性質，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）求得直線的方程為，聯(lián)立方程組與橢圓的方程，求得點的坐標，從而求得的直徑的圓的方程；（3）設直線設的方程為，則直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，解得的坐標，寫出直線的方程，即可判定是否過定點.【詳解】（1）解：因為橢圓經過點，且，與短軸的一個端點構成一個等腰直角三角形，可得，則，所以，解得，所以橢圓的標準分別為.（2）解：由（1）得，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得或，所以，則CD的中點為且，故以為直徑的圓的方程為.（3）解：設直線的方程為，且，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設，則且，所以，由中點坐標公式得，將的坐標中的用代換，可得的中點為，所以，所以直線的方程為，即，則直線過定點.【點睛】方法點睛：解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關系，得到關于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.21．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求得，然后對進行分類討論，從而求得的單調區(qū)間.（2）將要證明的不等式轉化為，利用構造函數(shù)法、放縮法，結合多次求導來研究所構造函數(shù)的單調性，進而證得不等式成立.【詳解】（1）因為，所以，當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，由，得，函數(shù)在區(qū)