13.2.1 平面的基本性質(zhì)（六大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版2019必修第二冊(cè)）（解析版）

第第頁13.2.1平面的基本性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能夠類比初中描述點(diǎn)、直線的方法，描述平面，感受平面的“平”和“無限延展”兩個(gè)本質(zhì)特征，會(huì)用圖形、符號(hào)語言表示平面．（2）能從實(shí)際情境中或借助模型歸納出三個(gè)基本事實(shí)，能從基本事實(shí)中推出3個(gè)推論，并用三種語言描述基本事實(shí)及其推論；能用自己的語言解釋刻畫平面基本性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法（三個(gè)基本事實(shí)分別從點(diǎn)與平面、直線與平面、平面與平面關(guān)系的角度刻畫了平面的基本性質(zhì)）．（1）了解平面的表示方法，點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系.（2）掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個(gè)基本事實(shí).（3）會(huì)用符號(hào)表示點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)01平面的基本概念1、平面的概念：“平面”是一個(gè)只描述而不定義的原始概念，常見的桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們以平面的形象．幾何里的平面就是從這些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）“平面”是平的（這是區(qū)別“平面”與“曲面”的依據(jù)）；（2）“平面”無厚薄之分；（3）“平面”無邊界，它可以向四周無限延展，這是區(qū)別“平面”與“平面圖形”的依據(jù)．2、平面的畫法：通常畫平行四邊形表示平面．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）表示平面的平行四邊形，通常把它的銳角畫成，橫邊長是其鄰邊的兩倍；（2）兩個(gè)相交平面的畫法：當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，把被遮住的部分的線段畫為虛線或者不畫；3、平面的表示法：（1）用一個(gè)希臘字母表示一個(gè)平面，如平面、平面、平面等；（2）用表示平面的平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面；（3）用表示平面的平行四邊形的相對(duì)兩個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)字母表示，如平面或者平面；4、點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)A在直線a上，記作；點(diǎn)A在直線a外，記作；（2）點(diǎn)A在平面上，記作；點(diǎn)A在平面外，記作；（3）直線在平面內(nèi)，記作；直線不在平面內(nèi)，記作．【即學(xué)即練1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）下面說法中正確的是（

）A．任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面B．平靜的太平洋面是平面C．平面就是平行四邊形D．在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個(gè)平面【答案】D【解析】對(duì)于A中，平面是無限延展的，所以一個(gè)平面圖形不是一個(gè)平面，所以A不正確；對(duì)于B中，平靜的太平洋面是個(gè)有邊界的圖形，不是平面，所以B不正確；對(duì)于C中，平面可以用平行四邊形表示，但平面不是是平行四邊形，所以C不正確；對(duì)于D中，在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個(gè)平面，所以D正確.故選：D.知識(shí)點(diǎn)02平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)即書中的三個(gè)公理，它們是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ)．1、公理1：（1）文字語言表述：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；（2）符號(hào)語言表述：，，，；（3）圖形語言表述：知識(shí)點(diǎn)詮釋：公理1是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)．證明一條直線在某一平面內(nèi)，只需證明這條直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)在該平面內(nèi)．“直線在平面內(nèi)”是指“直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)”．2、公理2：（1）文字語言表述：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；（2）符號(hào)語言表述：、、三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面，使得，，；（3）圖形語言表述：知識(shí)點(diǎn)詮釋：公理2的作用是確定平面，是把空間問題化歸成平面問題的重要依據(jù)．它還可用來證明“兩個(gè)平面重合”．特別要注意公理2中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這一條件．“有且只有一個(gè)”的含義可以分開來理解．“有”是說明“存在”，“只有一個(gè)”說明“唯一”，所以“有且只有一個(gè)”也可以說成“存在”并且“唯一”，與確定同義．（4）公理2的推論：①過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；②過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；③過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．（5）作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)．3、公理3：（1）文字語言表述：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線；（2）符號(hào)語言表述：且；（3）圖形語言表述：知識(shí)點(diǎn)詮釋：公理3的作用是判定兩個(gè)平面相交及證明點(diǎn)在直線上的依據(jù)．【即學(xué)即練2】（2024·高二·上海虹口·階段練習(xí)）如圖，在長方體中，、分別是和的中點(diǎn)．(1)證明：、、、四點(diǎn)共面；(2)對(duì)角線與平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)共線；(3)證明：、、三線共點(diǎn)．【解析】（1）連接在長方體中、分別是和的中點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面（2）確定一個(gè)平面面面對(duì)角線與平面交于點(diǎn)面在面與面的交線上面且面面面即點(diǎn)共線.（3）延長交于面面面面面面、、三線共點(diǎn).題型一：平面的概念及其表示【典例1-1】（2024·高二·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）用集合符號(hào)表示下列語句：(1)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)不在直線上；(2)平面與平面相交于過點(diǎn)的直線．【解析】（1）點(diǎn)在直線上，點(diǎn)不在直線上可表示為：（2）平面與平面相交于過點(diǎn)的直線可表示為：【典例1-2】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）用符號(hào)和圖形表示下列語句：(1)，兩點(diǎn)既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則直線是平面與平面的交線；(2)兩條相交直線和都在平面內(nèi)；(3)直線在平面內(nèi)，直線在平面外，與相交于一點(diǎn)．【解析】（1）因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則直線是平面與平面的交線，符號(hào)表示為：、，，，則.圖形表示如下：（2）因?yàn)閮蓷l相交直線和都在平面內(nèi)，符號(hào)表示為：，，，圖形表示如下：（3）直線在平面內(nèi)，直線在平面外，與相交于一點(diǎn)，符號(hào)表示為：，，，圖形表示如下：【變式1-1】（2024·高二·新疆喀什·階段練習(xí)）用符號(hào)表示下列語句，并畫出相應(yīng)的圖形．(1)點(diǎn)A在平面外，但點(diǎn)B在平面內(nèi)；(2)直線既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)．【解析】（1）（2）【變式1-2】（2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí)）用符號(hào)語言改寫下列語句：(1)點(diǎn)A在平面內(nèi)，點(diǎn)B不在直線l上；(2)直線l在平面內(nèi)，直線m與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M；(3)直線a和b相交于一點(diǎn)M．【解析】（1）由點(diǎn)A在平面內(nèi)，即；由點(diǎn)B不在直線l上，即.（2）由直線l在平面內(nèi)，即；由直線m與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M，即且.（3）由直線a和b相交于一點(diǎn)M，即.【變式1-3】（2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí)）下列圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，圖中沒有畫出平面與平面的交線，故A不正確；對(duì)B，C，圖中的虛實(shí)線沒有按照畫法原則去畫，故B，C不正確；對(duì)D，符合畫法原則，故D正確，故選：D【變式1-4】（2024·高一·湖南張家界·階段練習(xí)）如圖所示，用符號(hào)語言可表述為（

）A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【解析】由圖形可知，，，或表示為，.即A正確.故選：A【方法技巧與總結(jié)】（三種語言轉(zhuǎn)換的注意事項(xiàng)）（1）用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示．（2）符號(hào)語言的意義．如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．（3）由符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意把被遮擋的部分畫成虛線．題型二：平面的確定【典例2-1】（2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）．A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè)C．兩條直線確定一個(gè)平面 D．三條兩兩相交的直線確定三個(gè)平面【答案】B【解析】若三點(diǎn)共線，則此三點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè)，B正確；兩條直線若異面，則兩條直線無法確定一個(gè)平面，C錯(cuò)誤；三條兩兩相交的直線若過同一個(gè)點(diǎn)，則三條兩兩相交的直線確定三個(gè)平面或一個(gè)平面，D錯(cuò)誤.故選：B【典例2-2】（2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí)）下列命題中是真命題的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．兩條直線確定一個(gè)平面D．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線，確定一個(gè)平面【答案】D【解析】A：根據(jù)公理2知，必須是不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；B：一條直線和直線外的一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；C：兩條直線不可以確定一個(gè)平面，比如兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故C錯(cuò)誤；D：兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線，則三個(gè)交點(diǎn)不共線，故它們確定一個(gè)平面，由公理1知，三條直線都在此平面內(nèi)，故D正確.故選：D.【變式2-1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）空間不重合的三個(gè)平面可以把空間分成（

）A．4或6或7個(gè)部分 B．4或6或7或8個(gè)部分C．4或7或8個(gè)部分 D．6或7或8個(gè)部分【答案】B【解析】空間不重合的三個(gè)平面，若三個(gè)平面互相平行，則可將空間分為4部分；若三個(gè)平面有兩個(gè)平面平行，則第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交，可將空間分為6部分；若三個(gè)平面交于一線，則可將空間分為6部分；若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行（聯(lián)想三棱柱三個(gè)側(cè)面的關(guān)系），則可將空間分為7部分；若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)（聯(lián)想墻角三個(gè)墻面的關(guān)系），則可將空間分為8部分.所以空間不重合的三個(gè)平面可以把空間分成4或6或7或8個(gè)部分.故選：B.【變式2-2】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）平面α，β，γ不能將空間分成（）A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分【答案】A【解析】三個(gè)平面平行時(shí)，將空間分成4個(gè)部分；三個(gè)平面相交于同一條直線時(shí)，將空間分成6個(gè)部分；當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，將空間分成6個(gè)部分；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且有三條交線時(shí)，將空間分成7個(gè)部分；當(dāng)有兩個(gè)平面相交，第三個(gè)平面截兩個(gè)相交平面時(shí)，可將空間分成8個(gè)部分．所以平面α，β，γ不能將空間分成5部分．故選：A．【變式2-3】（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．過三點(diǎn)確定一個(gè)圓B．兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域C．三條直線兩兩相交，則確定一個(gè)平面D．四邊形一定是平面圖形【答案】B【解析】A，過不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓，錯(cuò)誤；B，兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域，正確；C，三條直線兩兩相交，若第三條在另兩條確定的平面內(nèi)可以確定一個(gè)平面，否則不能確定一個(gè)平面，錯(cuò)誤；D，四邊形可以是平面圖形，也可以是空間四邊形，錯(cuò)誤.故選：B【變式2-4】（2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí)）一條直線和直線外的三點(diǎn)所確定的平面有（

）A．1個(gè)或3個(gè) B．1個(gè)或4個(gè)C．1個(gè)，3個(gè)或4個(gè) D．1個(gè)，2個(gè)或4個(gè)【答案】C【解析】若三點(diǎn)在同一條直線上，且與已知直線平行或相交，即該直線在由該三點(diǎn)確定的平面內(nèi)，則均確定1個(gè)平面；若三點(diǎn)中有兩點(diǎn)的連線和已知直線平行時(shí)可確定3個(gè)平面；若三點(diǎn)不共線，且該直線在由該三點(diǎn)確定的平面外，則可確定4個(gè)平面，故選：C題型三：點(diǎn)線共面【典例3-1】（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，P，Q分別是棱，的中點(diǎn)，平面平面，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．過點(diǎn)BB．不一定過點(diǎn)BC．的延長線與的延長線的交點(diǎn)在上D．的延長線與的延長線的交點(diǎn)在上【答案】B【解析】連接，，如圖，因?yàn)镻，Q分別是棱，的中點(diǎn)，由勾股定理得，所以四邊形是菱形，所以，P，B，Q四點(diǎn)共面，即平面.又平面，所以，故A結(jié)論正確，B結(jié)論錯(cuò)誤.如圖，延長與的延長線交于點(diǎn)F，延長與的延長線交于點(diǎn)E.因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以，同理，故C，D正確.故選：B【典例3-2】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在空間四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別是、上的點(diǎn)，且，.求證：、、、四點(diǎn)共面；【解析】連接，，因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以，又、分別是、上的點(diǎn)，且，，，，、、、四點(diǎn)共面.【變式3-1】（2024·高二·全國·隨堂練習(xí)）如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為四面體ABCD的棱長AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．

【解析】∵E，F(xiàn)，分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴，且，∵G，H分別為CD，AD的中點(diǎn)，∴，且，∴，且，∴四邊形為平行四邊形∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．【方法技巧與總結(jié)】所謂點(diǎn)線共面問題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問題．1、證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：（1）如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（公理1）；②經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（公理2及其推論）．2、證明點(diǎn)線共面的常用方法：（1）證明幾點(diǎn)共面的問題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個(gè)平面，再證明其余各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；（2）證明空間幾條直線共面問題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個(gè)平面，再證明其余直線均在這個(gè)平面內(nèi)．題型四：三點(diǎn)共線【典例4-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在平面外，三邊AB，AC，BC所在直線分別交平面于P，Q，R三點(diǎn)．求證：P，Q，R三點(diǎn)在同一直線上．【解析】由，可知點(diǎn)，且平面ABC，可知點(diǎn)平面ABC，又，所以點(diǎn)P在平面ABC與平面的交線上，同理可得：點(diǎn)Q，R均在平面ABC與平面的交線上，所以P，Q，R三點(diǎn)共線．【典例4-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）若所在的平面和所在平面相交，并且直線相交于一點(diǎn)O，求證：

(1)和、和、和分別在同一平面內(nèi)；(2)如果和、和、和分別相交，那么交點(diǎn)在同一直線上（如圖）.【解析】（1）∵，∴確定平面，∵都在平面內(nèi)，∴平面；平面，∵，∴確定平面，∵都在平面內(nèi)，∴平面；平面，∵，∴確定平面，∵都在平面內(nèi)，∴平面；平面；（2）∵，∴，因?yàn)槠矫?，平面，所以點(diǎn)在平面與平面的交線上，∵，∴，因?yàn)槠矫?，平面，所以點(diǎn)在平面與平面的交線上，∵，∴，因?yàn)槠矫?，平面，所以點(diǎn)在平面與平面的交線上，所以三點(diǎn)共線.【變式4-1】（2024·高一·河南信陽·期中）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且.

(1)證明：四點(diǎn)共面；(2)設(shè)，證明：A，O，D三點(diǎn)共線.【解析】（1）證明：如圖，連接.在正方體中，，所以，又，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，，所以四點(diǎn)共面；（2）證明：由，，又平面，平面，同理平面ABCD，又平面平面，，即A，O，D三點(diǎn)共線.【變式4-2】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且．設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．【解析】因?yàn)椋裕梢阎傻?，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以平面ABC．同理，平面ADC，平面ADC．所以為平面ABC與平面ADC的一個(gè)公共點(diǎn)．又平面平面，所以，所以P，A，C三點(diǎn)共線．【變式4-3】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體中，，截面．(1)求證：B、P、三點(diǎn)共線；(2)若，，，求DP的長．【解析】（1）平面，所以平面，又平面,平面平面，所以,即三點(diǎn)共線.（2）連接，再連接，交于點(diǎn)，由（1）及，則點(diǎn)為與交點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，是中點(diǎn)，又是的中點(diǎn),所以點(diǎn)是的重心,所以,又因?yàn)?所以,所以.【變式4-4】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）已知平面平面，點(diǎn)，點(diǎn)，又，過三點(diǎn)確定的平面為，則是（

）A．直線 B．直線C．直線 D．直線【答案】B【解析】已知過三點(diǎn)確定的平面為，則.又，則，又平面平面，則，又因?yàn)?，所以，，所?故選：B.【變式4-5】（2024·高一·河南開封·期末）如圖，在正方體中，為棱的靠近上的三等分點(diǎn).設(shè)與平面的交點(diǎn)為，則（

）

A．三點(diǎn)共線，且B．三點(diǎn)共線，且C．三點(diǎn)不共線，且D．三點(diǎn)不共線，且【答案】B【解析】連接連接，，直線平面平面.又平面，平面平面直線∴三點(diǎn)共線..故選：B.【方法技巧與總結(jié)】所謂點(diǎn)共線問題就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同—條直線上．1、證明三點(diǎn)共線的依據(jù)是公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他的公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線．也就說一個(gè)點(diǎn)若是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上．對(duì)于這個(gè)公理應(yīng)進(jìn)一步理解下面三點(diǎn)：①如果兩個(gè)相交平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么過這兩點(diǎn)的直線就是它們的交線；②如果兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這三點(diǎn)共線；③如果兩個(gè)平面相交，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一個(gè)平面的交點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上．2、證明三點(diǎn)共線的常用方法方法1：首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)．根據(jù)公理3知，這些點(diǎn)都在交線上．方法2：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在其上．題型五：三線共點(diǎn)問題【典例5-1】（2024·高一·山東威海·期末）在空間四邊形中，若，分別為，的中點(diǎn)，，，且，，則（

）A．直線與平行 B．直線，，相交于一點(diǎn)C．直線與異面 D．直線，，相交于一點(diǎn)【答案】B【解析】因?yàn)椋?，且，所以，所以且，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以且，所以且，故四邊形為梯形，且，是梯形的兩腰，所以，交于一點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，則，，又因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面，且平面，又平面平面，所以，所以點(diǎn)是直線，，的公共點(diǎn)，故直線、、相交于一點(diǎn)．故選：B【典例5-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．求證：直線，，相交于一點(diǎn)．【解析】在空間四邊形中，連接，∵分別為的中點(diǎn)，則，且，又由，則，且，故，且，故四邊形為梯形，與交于一點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，由于平面，故點(diǎn)在平面內(nèi)，同理點(diǎn)在平面內(nèi)，又∵平面平面，∴點(diǎn)在直線上，故直線相交于一點(diǎn)．【變式5-1】（2024·高一·陜西·期中）已知分別是正方體中和的中點(diǎn).(1)證明：四點(diǎn)共面.(2)證明：三條直線交于一點(diǎn).【解析】（1）連接，因?yàn)槭钦襟w，分別是和的中點(diǎn)，所以.又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以四點(diǎn)共面.（2）由（1）知，且，所以和必交于一點(diǎn).設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫?又平面平面，所以，所以交于一點(diǎn).【變式5-2】（2024·高一·安徽合肥·期中）如圖，正四棱柱'．(1)請(qǐng)?jiān)谡睦庵?，畫出?jīng)過P、Q、R三點(diǎn)的截面（無需證明）；(2)若Q、R分別為'中點(diǎn)，證明：AQ、CR、三線共點(diǎn)．【解析】（1）作直線分別交的延長線于，連接交于，連接交于點(diǎn)，連接，如圖五邊形PSQRT即為所求；（2）證明：如圖，連接，，，則，，∵Q、R分別為中點(diǎn)，∴QR，又AC，∴QR，而AC＝2QR，可得四邊形AQRC為梯形，設(shè)，則，∵AQ?平面，∴O∈平面A′AB，同理O∈平面C′CB，又平面平面，∴，即AQ、CR、三線共點(diǎn)．【變式5-3】（2024·高一·安徽蕪湖·期中）如圖，在三棱柱ABC-中，E為棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn).(1)求證：E，F(xiàn)，C1，四點(diǎn)共面；(2)求證：A1E，F(xiàn)，B交于一點(diǎn).【解析】（1）證明：如圖，連接EF，∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴..又在三棱柱中，，∴.則E，F(xiàn)，，四點(diǎn)共面.（2）由（1）得且E，F(xiàn)，，四點(diǎn)共面，則與必相交.設(shè).∵平面，∴P∈平面.∵?平面，∴P∈平面..又平面∩平面∴.則，，交于一點(diǎn).【方法技巧與總結(jié)】（證明多點(diǎn)共線、多線共點(diǎn)的常用方法）（1）證明三線共點(diǎn)常用的方法：先證明兩條直線相交于一點(diǎn)，然后證明這個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)，第三條線是這兩個(gè)平面的交線，于是該點(diǎn)在第三條直線上，從而得到三線共點(diǎn)．也可以先證明a，b相交于一點(diǎn)A，b與c相交于一點(diǎn)B，再證明A，B是同一點(diǎn)，從而得到a，b，c三線共點(diǎn)．（2）類比線共點(diǎn)的證明方法，可得到三點(diǎn)共線的證明方法：①首先找出兩個(gè)平面的交線，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3，可推知這些點(diǎn)都在交線上，即三點(diǎn)共線．②選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明第三個(gè)點(diǎn)也在這條直線上．題型六：截面問題【典例6-1】（2024·四川南充·一模）如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C．9 D．18【答案】B【解析】由題知連接，，，如圖所示因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，在正方體中，所以，所以在同一平面內(nèi)，所以平面截該正方體所得的截面為平面，因?yàn)檎襟w的棱長為，所以，，，則到的距離為等腰梯形的高為，所以截面面積為，故B正確.故選：B.【典例6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，則截面周長為（

）

A． B．9 C． D．【答案】A【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，，．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以，，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，其周長為．故選：A．【變式6-1】（2024·高二·上海普陀·期中）如圖是長方體被一平面截得的幾何體，四邊形為截面，則四邊形的形狀為（

）

A．梯形 B．平行四邊形C．矩形 D．上述三種圖形以外的平面圖形【答案】B【解析】由長方體任意相對(duì)的兩個(gè)平面都平行，用一個(gè)平面截取長方體時(shí)，相對(duì)的兩個(gè)平面所得的線段必平行，即截面必為平行四邊形；若截面與任意側(cè)面都不垂直時(shí)，所得截面不可能出現(xiàn)直角，故不一定為矩形；所以四邊形的形狀為平行四邊形.故選：B【變式6-2】（2024·高一·黑龍江大慶·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周長是（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖1，延長與交于點(diǎn)，連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié)，則四邊形為所求截面，其中，，如圖2，，所以，即，如圖1，若，則，所以，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，中，，所以，所以四邊形的周長為.故選：B【變式6-3】（2024·高一·四川涼山·期末）在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則正方體過點(diǎn)E，F(xiàn)，的截面面積為（

）A． B．5 C． D．【答案】C【解析】連接BE，BF，取的中點(diǎn)G，連接GF，，∵，∴為平行四邊形，∴，∵，∴為平行四邊形，∴，∴，∴為平行四邊形，即四點(diǎn)共面，∴正方體過點(diǎn)E，F(xiàn)，的截面為平行四邊形，又，則為菱形，∵，∴菱形的面積．故選：C．【變式6-4】（2024·高一·重慶渝中·期中）正方體的棱長為2，P為中點(diǎn)，過A，P，三點(diǎn)的平面截正方體為兩部分，則截面圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，截面為四邊形，取中點(diǎn)，連接，則，且.因?yàn)?且，所以四邊形是平行四邊形，則，，所以，且，又所以截面為等腰梯形，且上底長為，下底長為，腰長為，所以截面的面積為.故選：C【變式6-5】（2024·新疆·二模）已知在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，，，，如圖所示，若過A、E、F三點(diǎn)的平面作該直三棱柱的截面，則所得截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解析：延長，且與相交于，連接EG，并與相交于，連接FD，則四邊形AEDF為所求的截面.在中，由，，得.在中，由，，得.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以由平面幾何知識(shí)可知，.所以，，即為AG的中點(diǎn)，所以.又由，可得，又，，所以.在中，由，，得，所以.所以在中，有，，，即，所以.又注意到，，則四邊形AEDF的面積為.故選：B．【變式6-6】（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）如下圖，在正方體中，棱長為分別是的中點(diǎn)．(1)畫出過三點(diǎn)的平面與平面、平面的交線；(2)設(shè)過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn)，求的長．【解析】（1）如圖所示：平面，與底面的交點(diǎn)必在側(cè)面與底面的交線上，過點(diǎn)的平面與平面的交線是，（在線段的延長線上），與平面的交線是（在線段上）．（2）由（1）可知：，在Rt中，由勾股定理得．【變式6-7】（2024·高一·湖南·課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體，P為棱的中點(diǎn)，畫出由，，P三點(diǎn)所確定的平面與長方體表面的交線．

【解析】如圖，由于P是上的點(diǎn)，所以平面，且平面，所以平面平面=，同理，平面平面=，平面平面=，所以平面與長方體表面的交線是，，.作法：連接，，，它們就是平面與長方體表面的交線（如圖）．【變式6-8】（2024·高一·重慶北碚·階段練習(xí)）如圖，在棱長為6的正方體中，P為的中點(diǎn)，Q為的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近C）．

(1)經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)作平面，平面截正方體所得截面可能是n邊形，請(qǐng)根據(jù)n的不同取值分別作出截面圖形（每種情況作一個(gè)代表類型，例如只需要畫一種，下面給了四幅圖，可以不用完，如果不夠請(qǐng)自行增加），保留作圖痕跡；

(2)若M為AB的中點(diǎn)，求過點(diǎn)P，Q，M的截面的面積．【解析】（1）截面可以分別為三角形，四邊形，五邊形，六邊形,如圖，取上一點(diǎn)，連結(jié)，即為截面三角形；如圖，取線段上，靠近點(diǎn)處的一點(diǎn)，延長，連結(jié)，，連結(jié)，則四邊形為截面四邊形；和取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連結(jié)并延長，交于點(diǎn)，連結(jié)并延長，交于點(diǎn)，連結(jié)并延長，交于點(diǎn)，連結(jié)并延長，交于點(diǎn)，連結(jié)，如圖五邊形為截面五邊形.如圖，延長，交的延長線交于點(diǎn)，取上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連結(jié)，并延長，交于點(diǎn)，連結(jié)，交于點(diǎn)，六邊形為截面六邊形.（2）如圖：連接PQ所在直線交DC延長線于X，交的延長線于Z；連接直線MX交BC于R，交DA延長線于Y；連接YZ分別交，于S，T．則六邊形PQRMST即為截面．∵P為的中點(diǎn)，Q為的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近C），∴，，，可得，，，，又，，所以，，，，又，M為AB的中點(diǎn)，，，所以YDZ為等腰直角三角形，所以，，，，，∴為等腰三角形，等邊上的高為，，所以方法二：可證明PQRM與PTSM是全等的等腰梯形，，，，所以等腰梯形PQRM的高為，所以．【方法技巧與總結(jié)】利用平面的基本性質(zhì)一、單選題1．（2024·高一·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)平面平面，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)分別在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么所有的動(dòng)點(diǎn)C（

）A．不共面B．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條直線上移動(dòng)時(shí)才共面C．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條給定的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面D．共面【答案】D【解析】根據(jù)題意可知，點(diǎn)應(yīng)在過的中點(diǎn)且平行于（或）的平面內(nèi)，因此當(dāng)分別在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有的動(dòng)點(diǎn)C共面.故選：D2．（2024·高一·河北石家莊·期中）有下列四個(gè)判斷：①兩條相交直線確定一個(gè)平面；②兩條平行直線確定一個(gè)平面；③三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；④一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面.正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】兩條相交直線確定一個(gè)平面，兩條平行直線確定一個(gè)平面，①②正確.在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，③錯(cuò)誤.直線和直線上一點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，④錯(cuò)誤.所以正確的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B3．（2024·高二·四川樂山·階段練習(xí)）三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分的示意圖是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】對(duì)于A，三個(gè)平面將空間分成4個(gè)部分，不合題意；對(duì)于B，三個(gè)平面將空間分成6個(gè)部分，不合題意；對(duì)于C，三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分，符合題意；對(duì)于D，三個(gè)平面將空間分成8個(gè)部分，不合題意.故選：C4．（2024·高一·湖北黃岡·階段練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，分別在BC，CD上，且則下面幾個(gè)說法中正確的個(gè)數(shù)是（

）

①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②③若直線EG與直線FH交于點(diǎn)P，則P，A，C三點(diǎn)共線．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】如圖所示，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴，，分別在BC，CD上，且，∴，，∴，則E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，說法①正確；∵，四邊形是梯形，不成立，說法②錯(cuò)誤；若直線與直線交于點(diǎn)P，則由，平面，得平面，同理平面，又平面平面，∴則P，A，C三點(diǎn)共線，說法③正確；說法中正確的有2個(gè).故選：C5．（2024·高一·湖北黃岡·階段練習(xí)）若點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線l在平面內(nèi)，點(diǎn)A不在直線l上，下列用集合表示這些語句的描述中，正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【解析】因?yàn)橹本€和平面都是由點(diǎn)形成的，所以根據(jù)元素與集合的關(guān)系知，點(diǎn)A在平面內(nèi)表示為，點(diǎn)A不在直線l上表示為，根據(jù)集合與集合的關(guān)系知，直線l在平面內(nèi)可表示為.故選：B6．（2024·高一·廣東廣州·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，N是的中點(diǎn)，過B、D、N的平面截該正方體所得截面的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥，，因?yàn)椤危?，所以∥，，所以過B、D、N的平面截該正方體所得截面為梯形，連接交于，連接交于，連接，因?yàn)?，所以，所以梯形為等腰梯形，所以，所以梯形的面積為，故選：B7．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）在長方體中，直線與平面的交點(diǎn)為為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．三點(diǎn)共線 B．四點(diǎn)異不共面C．四點(diǎn)共面 D．四點(diǎn)共面【答案】C【解析】因?yàn)?則四點(diǎn)共面.因?yàn)?則平面,又平面,則點(diǎn)在平面與平面的交線上,同理,也在平面與平面的交線上,所以三點(diǎn)共線;從而四點(diǎn)共面,都在平面內(nèi)，而點(diǎn)B不在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B正確；三點(diǎn)均在平面內(nèi)，而點(diǎn)A不在平面內(nèi)，所以直線AO與平面相交且點(diǎn)O是交點(diǎn)，所以點(diǎn)M不在平面內(nèi)，即四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，且，所以為平行四邊形，所以共面，所以四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)D正確.故選:C.8．（2024·高二·四川樂山·期末）在長方體中，若分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作長方體的一截面，則該截面的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接，過點(diǎn)做交于點(diǎn)，連接，即可得到截面，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)椋瑒t，且，，所以截面的周長為故選:D二、多選題9．（2024·高一·陜西咸陽·階段練習(xí)）下列說法，不正確的有（

）A．如果一條直線與另兩條直線都相交，那么這三條直線必共面B．如果三條直線兩兩都相交，那么它們能確定一個(gè)平面C．如果三條直線相互平行，那么這三條直線在同一個(gè)平面上D．如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線確定一個(gè)平面【答案】ABC【解析】對(duì)于AB，當(dāng)三條直線交于同一點(diǎn)時(shí)，三條直線可能不共面，故AB錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)三條直線相互平行時(shí)，三條直線可能不共面，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線確定一個(gè)平面，故D正確，故選：ABC10．（2024·高三·山西大同·階段練習(xí)）已知正方體中，為的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三點(diǎn)共線 B．四點(diǎn)共面C．四點(diǎn)共面 D．四點(diǎn)共面【答案】ABC【解析】連接，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，平面平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以點(diǎn)是平面和平面的交點(diǎn)，所以，，，三點(diǎn)共線，故A正確；因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，，，四點(diǎn)共面，，，，四點(diǎn)共面，故BC正確；取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，由題意得，，所以，即為的三等分點(diǎn)，因?yàn)?，，不共線，平面，平面，為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)平面，，，，四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò).故選：ABC.11．（2024·高一·貴州安順·期末）木工小張?jiān)谔幚砣鐖D所示的一塊四棱臺(tái)形狀的木塊時(shí)，為了經(jīng)過木料表面內(nèi)一點(diǎn)