上海市嘉定區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（一模）(含解析)

2023學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)樣卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．如果拋物線的開(kāi)口向下，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．拋物線的對(duì)稱軸是直線，那么下列等式成立的是（

）A． B． C． D．3．已知在中，，，，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．4．一架飛機(jī)在離地面6000米的上空測(cè)得某一建筑物底部的俯角為30°，此時(shí)這架飛機(jī)與這一建筑物底部之間的距離是（

）A．6000米 B．12000米 C．米 D．米5．如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，那么等于（

）A． B．C． D．6．下列命題是真命題的是（

）A．有一個(gè)角是36°的兩個(gè)等腰三角形相似B．有一個(gè)角是45°的兩個(gè)等腰三角形相似C．有一個(gè)角是60°的兩個(gè)等腰三角形相似D．有一個(gè)角是鈍角的兩個(gè)等腰三角形相似二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．如果函數(shù)（是常數(shù)）是二次函數(shù)，那么的取值范圍是．8．將拋物線向下平移2個(gè)單位，那么平移后拋物線的表達(dá)式是．9．如果拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和，那么的值是．10．二次函數(shù)圖像的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.11．如果（、都不等于零），那么．12．已知點(diǎn)是線段的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且，，那么.13．如果向量、、滿足關(guān)系式，那么（用向量、表示）.14．在中，點(diǎn)、分別在邊、的延長(zhǎng)線上，，，那么當(dāng)時(shí)，．15．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，，那么．16．如圖，在中，，，連接，，，，那么．17．如圖，在港口的南偏西方向有一座小島，一艘船以每小時(shí)12海里的速度從港口出發(fā)，沿正西方向行駛，行了30分鐘時(shí)這艘船在處測(cè)得小島在船的正南方向，那么小島與處的距離海里（結(jié)果保留根號(hào)）．18．在中，，，，點(diǎn)，分別在邊、上，且，將沿直線翻折，翻折后點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果，那么.三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．計(jì)算：．20．已知平面直角坐標(biāo)系，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和兩點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如果將這個(gè)拋物線向右平移個(gè)單位，得到新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值.21．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，直線與相交于點(diǎn).(1)求的值；(2)如果，，，求四邊形的面積.22．如圖，小山的頂部是一塊平地，在這塊平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度為，坡長(zhǎng)為39米，在小山的坡底處測(cè)得該塔的塔頂?shù)难鼋菫?5°，在坡頂處測(cè)得該塔的塔頂?shù)难鼋菫?4°．(1)求坡頂?shù)降孛娴木嚯x的長(zhǎng)；(2)求古塔的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）23．如圖，在中，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)是斜邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)連接，在上取一點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證，．24．定義：對(duì)于拋物線（、、是常數(shù)，），若，則稱該拋物線是黃金拋物線，已知平面直角坐標(biāo)系，拋物線是黃金拋物線，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求此黃金拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在這個(gè)黃金拋物線上．①點(diǎn)在這個(gè)黃金拋物線的對(duì)稱軸上，求的正弦值．②在射線上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、所組成的三角形與相似，且相似比不為1．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．如圖1，在和中，，，，.(1)求證：；(2)已知點(diǎn)在邊上一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），且，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).①如圖2，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域：②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng).

參考答案與解析

1．D【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線開(kāi)口向下，得到，求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故選D．2．C【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，進(jìn)行求解后，判斷即可．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴，∴．故選：C．3．A【分析】本題考查求銳角三角函數(shù)值．根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)的定義，逐一進(jìn)行判斷即可．熟記銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，∴，∴，，，；故選A．4．B【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．由題意可知，在直角三角形中，已知角的對(duì)邊求斜邊，可以用正弦函數(shù)來(lái)計(jì)算．【詳解】解：由題意，得：這架飛機(jī)與這一建筑物底部之間的距離是米；故選B．5．D【分析】本題考查了向量的線性運(yùn)算，根據(jù)、、即可求解．【詳解】解：∵，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴∴故選：D6．C【分析】本題考查相似三角形的判定方法，根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、36度的兩個(gè)角一個(gè)是頂角，一個(gè)是底角時(shí)，兩個(gè)等腰三角形不相似，選項(xiàng)為假命題；B、45度的兩個(gè)角一個(gè)是頂角，一個(gè)是底角時(shí)，兩個(gè)等腰三角形不相似，選項(xiàng)為假命題；C、有一個(gè)角是60°的兩個(gè)等腰三角形均為等邊三角形，相似，為真命題；D、有一個(gè)角是鈍角，且鈍角的度數(shù)相等的兩個(gè)等腰三角形相似，選項(xiàng)為假命題；故選C．7．【分析】根據(jù)：“形如，這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)”，得到，即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故答案為：．8．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)“上下移動(dòng)，縱坐標(biāo)相加減，左右移動(dòng)橫坐標(biāo)相加減”進(jìn)行求解即可．【詳解】解：將拋物線向下平移2個(gè)單位，那么平移后拋物線的表達(dá)式是，故答案為：．9．【分析】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式求出的值，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，求出的值即可．【詳解】解：把，代入，得：，∴，把，代入，得：；故答案為：．10．【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，由此即可得出答案，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，二次函數(shù)圖像的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，故答案為：．11．##【分析】此題考查比例的性質(zhì)，用同一未知數(shù)正確表示出和是解題關(guān)鍵．利用已知把和用同一未知數(shù)表示，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【詳解】解：∵，∴可設(shè)，則，∴．故答案為：．12．##【分析】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．利用黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：∵點(diǎn)P是線段的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且，∴，故答案為：13．【分析】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：∵∴∴∴故答案為：14．2【分析】本題考查平行線分線段成比例．根據(jù)如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，當(dāng)，即：時(shí)，；故答案為：2．15．【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)，得到，證明，進(jìn)而得到，即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴兩個(gè)三角形的相似比為：，∴，∴．故答案為：3．16．##【分析】本題考查求角的余弦值．勾股定理求出的值，再利用余弦等于鄰邊比斜邊，求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．17．【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．連接，由題意，，利用速度乘以時(shí)間求出的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)，求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接如圖，由題意，得：，∴在中，；故答案為：．18．##0.5【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，平行線的性質(zhì)等，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，先解，求出，，由折疊的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，，由推出，再解和求出x的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，中，，，，，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．19．【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算．熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．20．(1)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的解析式求解以及二次函數(shù)的平移，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性即可．（1）將點(diǎn)和代入即可求解；（2）由（1）得，設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為，將點(diǎn)代入即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)和代入得：解得∴拋物線的表達(dá)式是：.（2）解：由（1）配方得：根據(jù)題意可設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)；∴解得：，∵∴.21．(1)(2)【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得到，根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，則，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出，則，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．【詳解】（1），，四邊形是平行四邊形，，，，，，，；（2）四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，平行四邊形的面積．22．(1)15米(2)古搭的高度約為30米．【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．（1）根據(jù)坡度得到，設(shè)設(shè)，則，勾股定理求出的值即可；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，得到，四邊形為矩形，在中，得到，列出算式，求解即可．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，掌握銳角三角函數(shù)的定義．【詳解】（1）由題意，得，，圖8設(shè)，則

（米）答：坡頂?shù)降孛娴木嚯x的長(zhǎng)為15米（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，四邊形為矩形．∴，，，，

，

，；在中，，

，，，，，

（米）．

答：古搭的高度約為30米．23．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）證明，得到，即可；（2）由，推出，證明，得到，推出，即可．本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：，，，，，，，；（2）由（1）得

即，，∴，，，，．24．(1)，(2)①，②存在，【分析】（1）根據(jù)黃金拋物線的定義，列出方程求出值，進(jìn)而求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）①將點(diǎn)代入解析式，求出的值，求出對(duì)稱軸，得到的值，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理逆定理，得到，利用正弦的定義，求解即可；②分和，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：拋物線是黃金拋物線，，所求拋物線的表達(dá)式為，配方得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）①由（1）得：拋物線的對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在這個(gè)黃金拋物線上，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，．②存在過(guò)點(diǎn)作，垂足為拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，，

，

，要使以點(diǎn)、、所組成的三角形與相似，有兩種情況第一種：，又，，∴與全等，相似比為1，不合題意，舍去；第二種：，∵，，，，，，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．25．(1)見(jiàn)解析(2)（2）①，定義域：；②10或7或12.5.【分析】（1）由勾股定理得，再證，然后證，即可得出結(jié)論；（2）①證，得，則，然后證，得，即可得出結(jié)論；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，也是等腰三角形，分三種情況，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，分別求出的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：與都是直角三角形在中，，，，，在中，，，，；（2）解：①，又又在中，，，，，定義域：；②當(dāng)是等腰三角