江蘇省南京市九校聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

南京市九校聯(lián)合體2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期末學(xué)情調(diào)研高一數(shù)學(xué)注意事項：1.本試卷共分8頁.滿分150分.考試用時120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將學(xué)校、姓名寫在答題卡上，正確填涂考試號.答案涂、寫在答題卡上指定位置.考試結(jié)束后交回答題卡.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的值為()A.1 B.－1 C. D.2.數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位數(shù)為()A.6 B.6.5 C.7 D.5.53向量與不共線，，，且與共線，則k，l應(yīng)滿足()A. B.C. D.4.一個圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個半徑為1的半圓，則該圓錐的表面積為()A B. C. D.5.已知向量，，若，則()A. B. C. D.36.從長度為的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為()A. B. C. D.7.在中，下列命題正確的個數(shù)是()①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．A.1 B.2 C.3 D.48.已知銳角，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則a的取值范圍是()A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.z的共軛復(fù)數(shù)為 B.z的虛部為1C.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限 D.10.下列說法中錯誤的是()A.已知，且與的夾角為銳角，則實數(shù)B.向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C.若，則存在唯一實數(shù)，使得D.非零向量和滿足，則與的夾角為11.拋擲兩枚質(zhì)地均勻骰子，設(shè)事件“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件“兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)和為8”，事件“兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)和為9”，則()A.與互斥 B.與互斥 C.與獨立 D.與獨立12.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，下列說法正確的是()A.若有兩解B.若有兩解C.若為銳角三角形，則b的取值范圍是D.若為鈍角三角形，則b的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，13.設(shè)有兩組數(shù)據(jù)：與，它們之間存在關(guān)系式：(，其中非零常數(shù))，若這兩組數(shù)據(jù)方差分別為和，則和之間的關(guān)系是________．14.邊長為的三角形的最大角與最小角之和為____．15.已知向量，，若在方向上的投影向量為，則的值為__．16.如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為為圓上的點，，，，分別是以為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，，，使得重合，得到一個四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的表面積為__________．四、解答題：本題共6小題，其中第17題10分，其余各題為12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知是虛數(shù)單位，設(shè).(1)求證：1＋ω＋ω2＝0；(2)計算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．18.已知，，，是第三象限角．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值．19.為測量地形不規(guī)則的一個區(qū)域的徑長，采用間接測量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光儀器和反光規(guī)律得到，為鈍角，，，．(1)求的值；(2)若測得，求待測徑長．20.社會的進步與發(fā)展，關(guān)鍵在于人才，引進高素質(zhì)人才對社會的發(fā)展具有重大作用．某市進行人才引進，需要進行筆試和面試，一共有名應(yīng)聘者參加筆試，他們的筆試成績都在內(nèi)，將筆試成績按照、、、分組，得到如圖所示頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求全體應(yīng)聘者筆試成績的眾數(shù)和平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表)；(3)若計劃面試人，請估計參加面試的最低分?jǐn)?shù)線．21.如圖，三棱錐中，為等邊三角形，且面面，．(1)求證：；(2)當(dāng)與平面BCD所成角為45°時，求二面角余弦值．22.設(shè)是邊長為1的正三角形，點四等分線段(如圖所示)．(1)求的值；(2)為線段上一點，若，求實數(shù)的值；(3)為邊上一動點，當(dāng)取最小值時，求的值．

南京市九校聯(lián)合體2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期末學(xué)情調(diào)研 高一數(shù)學(xué)注意事項：1.本試卷共分8頁.滿分150分.考試用時120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將學(xué)校、姓名寫在答題卡上，正確填涂考試號.答案涂、寫在答題卡上指定位置.考試結(jié)束后交回答題卡.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的值為()A.1 B.－1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)計算可得結(jié)果.【詳解】由，得.故選：B2.數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位數(shù)為()A.6 B.6.5 C.7 D.5.5【答案】D【解析】【分析】由百分位數(shù)的求法求60百分位數(shù).【詳解】由題設(shè)，，故60百分位數(shù)為.故選：D3.向量與不共線，，，且與共線，則k，l應(yīng)滿足()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)與共線，由求解.【詳解】由與共線，故，即，故，所以故選：D.【點睛】本題主要考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.一個圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個半徑為1的半圓，則該圓錐的表面積為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求得圓錐底面半徑和高，由此求得圓錐的表面積.【詳解】依題意，設(shè)圓錐底面半徑為，高為，母線長為，則，底面周長為，則，所以，所以圓錐的表面積為，故選：A.5.已知向量，，若，則()A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)向量平行得到正余弦間的關(guān)系，再弦化切，進而用正切和公式展開代入即可.【詳解】因為，所以，易知，所以，所以.故選：C.6.從長度為的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出從長度為的5條線段中任取3條，共有幾種取法,再求出取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的情況有幾種，根據(jù)古典概型的概率公式即可得答案.【詳解】從長度為的5條線段中任取3條，共有種取法,而取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的情況有和以及,共3種,故這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為,故選：B7.在中，下列命題正確的個數(shù)是()①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】①，所以錯誤；②，所以正確；③由題得,所以為等腰三角形，所以正確；④，則是銳角，但是不一定為銳角三角形，所以錯誤．【詳解】①，所以錯誤；②，所以正確；③若，則,所以為等腰三角形，所以正確；④，則是銳角，但是不一定為銳角三角形，所以錯誤．故選：B8.已知銳角，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可得，結(jié)合三角形為銳角三角形可得的取值范圍.【詳解】∵，∴由正弦定理可得，∵為銳角三角形，∴可得，即解得.故選：D.【點睛】本題主要考查三角形的正余弦定理的應(yīng)用，及銳角三角形的性質(zhì)，屬于中檔題.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.z的共軛復(fù)數(shù)為 B.z的虛部為1C.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限 D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷A選項；根據(jù)虛部的概念即可判斷B選項；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可以判斷C選項；根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式可以判斷D選項.【詳解】由題得，復(fù)數(shù)，故z的共軛復(fù)數(shù)為，則A錯誤；z的虛部為1，故B正確；z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限，故C正確；，故D正確．故選:BCD．10.下列說法中錯誤的是()A.已知，且與的夾角為銳角，則實數(shù)B.向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C.若，則存在唯一實數(shù)，使得D.非零向量和滿足，則與的夾角為【答案】ACD【解析】【分析】A.根據(jù)與的夾角為銳角，由，且不共線求解判斷；B.判斷是否共線；C.由時判斷；D.根據(jù)和滿足，得到，然后利用向量的夾角公式求解判斷.【詳解】A.因為，所以，又因為與的夾角為銳角，所以，即且，解得且，故錯誤；B.因為向量，，所以，即共線，所以不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故正確；C.當(dāng)時，滿足，則存在無數(shù)個實數(shù)，使得，故錯誤；D.因為非零向量和滿足，則，即，則，，所以，因為，則，故錯誤；故選：ACD11.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件“兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)和為8”，事件“兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)和為9”，則()A.與互斥 B.與互斥 C.與獨立 D.與獨立【答案】BC【解析】【分析】對于A，結(jié)合互斥事件的概念舉反例排除即可；對于B，列舉出事件所包含的基本事件，結(jié)合結(jié)合互斥事件的概念即可判斷；對于CD，利用古典概型求出事件的概率，結(jié)合獨立事件的概率公式判斷即可.【詳解】對于A，記表示事件“第一枚點數(shù)為，第二枚點數(shù)為”，則事件包含事件，事件也包含事件，所以，故與不互斥，故A錯誤；對于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即與互斥，故B正確；對于C，總的基本事件有件，事件的基本事件有件，故，由選項B知，而事件包含的基本事件有共2件，故，所以，故與獨立，故C正確；對于D，事件的基本事件有件，故，由選項B知，而事件包含的基本事件有共3件，故，所以，故與不獨立，故D錯誤.故選：BC.12.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，下列說法正確的是()A.若有兩解B.若有兩解C.若為銳角三角形，則b的取值范圍是D.若為鈍角三角形，則b取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三角形的構(gòu)成，可判斷三角形有幾個解所要滿足的條件，即，有兩解，或，有一解，，有0解，根據(jù)直角三角形的情況，便可得出為銳角或鈍角三角形時，b的取值范圍.【詳解】A選項，∵，∴有兩解，故A正確；B選項，∵，∴有一解，故B錯誤；C選項，∵為銳角三角形，∴，即，故C正確；D選項，∵為鈍角三角形，∴或，即或，故D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，13.設(shè)有兩組數(shù)據(jù)：與，它們之間存在關(guān)系式：(，其中非零常數(shù))，若這兩組數(shù)據(jù)的方差分別為和，則和之間的關(guān)系是________．【答案】【解析】【分析】注意兩組數(shù)據(jù)關(guān)系,后一組中的每一個數(shù)字是前一組數(shù)字的a倍,這樣兩組數(shù)據(jù)的方差之間的關(guān)系就是后者的方差是前者的倍.【詳解】兩組數(shù)據(jù):,與,,它們之間存在關(guān)系式:

即第二組數(shù)據(jù)是第一組數(shù)據(jù)的倍還要整體加上,

在一列數(shù)字上同時加上一個數(shù)字方差不變,而同時乘以一個數(shù)字方差要乘以這個數(shù)字的平方,

和之間的關(guān)系是,

故填:,【點睛】本題考查方差的變換特點,若在原來數(shù)據(jù)前乘以同一個數(shù),平均數(shù)也乘以同一個數(shù),而方差要乘以這個數(shù)的平方,在數(shù)據(jù)上同加或減同一個數(shù),方差不變,屬于基礎(chǔ)題.14.邊長為的三角形的最大角與最小角之和為____．【答案】120°【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)三角形角邊關(guān)系可得，最大角與最小角所對的邊的長分別為8與5，設(shè)長為7的邊所對的角為θ，則最大角與最小角的和是180°-θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，則最大角與最小角的和是180°-θ=120°，故答案為120．考點：本試題主要考查了余弦定理的運用，解本題時注意與三角形內(nèi)角和定理結(jié)合分析題意點評：解決該試題的關(guān)鍵是設(shè)長為7的邊所對的角為θ，根據(jù)余弦定理可得cosθ的值，進而可得θ的大小，則由三角形內(nèi)角和定理可得最大角與最小角的和是180°-θ，即可得答案．15.已知向量，，若在方向上的投影向量為，則的值為__．【答案】##1.5【解析】【分析】利用投影向量公式求解即可.【詳解】解：，，，，在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，，，故答案為：.16.如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為為圓上的點，，，，分別是以為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，，，使得重合，得到一個四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的表面積為__________．【答案】【解析】【分析】先連接交與點，結(jié)合四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，求得正方形邊長，再畫出折疊后的立體圖形，找出外接球的球心，結(jié)合勾股定理即可求解【詳解】如圖：連接交與點，設(shè)正方形邊長為，，則，則正方形面積為：，四棱錐的側(cè)面積為：，由題意得，即，解得，畫出折疊后的立體圖形．如圖：設(shè)重合點為，該四棱錐為正四棱錐，球心應(yīng)在的連線上，設(shè)為，設(shè)外接球半徑為，則，，，，，由勾股定理得，即，解得，外接球表面積為：故答案為【點睛】本題考查圖形折疊前后的變換關(guān)系，四棱錐的外接球半徑的求法，屬于中檔題四、解答題：本題共6小題，其中第17題10分，其余各題為12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知是虛數(shù)單位，設(shè).(1)求證：1＋ω＋ω2＝0；(2)計算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．【答案】(1)證明見解析；(2)4.【解析】【分析】(1)代入，化簡，即可作出證明；(2)由(1)知，求解，代入即可求解.【小問1詳解】證明：∵，，∴【小問2詳解】由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，∴ω3－1＝0，∴ω3＝1.∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4.18.已知，，，是第三象限角．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．【解析】【分析】(Ⅰ)先求得，然后求得，從而求得.(Ⅱ)先求得，從而求得的值.【詳解】(Ⅰ)∵，，∴，∴，∴．(Ⅱ)∵，是第三象限角，∴，故．19.為測量地形不規(guī)則的一個區(qū)域的徑長，采用間接測量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光儀器和反光規(guī)律得到，為鈍角，，，．(1)求的值；(2)若測得，求待測徑長．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由正弦定理結(jié)合二倍角的余弦公式求解即可；(2)分別在，用余弦定理可求得，，再由兩角差的余弦公式可求出，最后在在，由余弦定理即可求出答案.【小問1詳解】在中，由正弦定理可得：，則，因為，因為為鈍角，所以，所以.【小問2詳解】在，由余弦定理可得：，解得：或(舍去)，因為，所以，在，，由余弦定理可得：，解得：，，，，，，，由余弦定理可得：，故.20.社會的進步與發(fā)展，關(guān)鍵在于人才，引進高素質(zhì)人才對社會的發(fā)展具有重大作用．某市進行人才引進，需要進行筆試和面試，一共有名應(yīng)聘者參加筆試，他們的筆試成績都在內(nèi)，將筆試成績按照、、、分組，得到如圖所示頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求全體應(yīng)聘者筆試成績的眾數(shù)和平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表)；(3)若計劃面試人，請估計參加面試的最低分?jǐn)?shù)線．【答案】(1)(2)眾數(shù)為，平均數(shù)為(3)【解析】【分析】(1)利用頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可求得的值；(2)利用頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點值為眾數(shù)，將矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，將所得結(jié)果全加可得應(yīng)聘者筆試成績的平均數(shù)；(3)計算出百分位數(shù)，可得結(jié)果.【小問1詳解】解：由題意有，解得.【小問2詳解】解：應(yīng)聘者筆試成績的眾數(shù)為，應(yīng)聘者筆試成績的平均數(shù)為．【小問3詳解】解：，所以，面試成績的最低分為百分位數(shù)，前兩個矩形面積之和為，前三個矩