高中數(shù)學(xué)-函數(shù)的概念及其性質(zhì)學(xué)案

第二單元函數(shù)的概念及其性質(zhì)

教材復(fù)習(xí)課/“函數(shù)”相關(guān)基礎(chǔ)知識一課過

rwis函數(shù)的基本概念

［過雙基］

1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩集合4B設(shè)46是非空的數(shù)集設(shè)46是非空的集合

如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系/1，使如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f,

對應(yīng)關(guān)系/:對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集使對于集合A中的任意一個元素

MB合8中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之x,在集合8中都有唯一確定的元

對應(yīng)素y與之對應(yīng)

稱至上且為從集合A到集合B的稱對應(yīng)在上互為從集合A到集

名稱

一個函數(shù)合6的一個映射

記法y=f{x},x^A對應(yīng)fMB

2.函數(shù)的定義域、值域

(1)在函數(shù)y=f(x),中，x叫做自變量，x的取值范圍4叫做函數(shù)的定義域;與x

的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(MX?⑷叫做函數(shù)的值域.

(2)函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

3.表示函數(shù)的常用方法

列表法、圖象法和解析法.

4.分段函數(shù)

在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這種函數(shù)稱

為分段函數(shù).

分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

［小題速通］

1.若函數(shù)尸/V)的定義域?yàn)槿藍(lán)x1—2WxW2},值域?yàn)榱ΘD{y|0Wy<2},則函數(shù)y

答案：B

i

2.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是（）

A.B.y=（羽

C.y=lg10"D.y=21og2X

2

解析：選CA.y=T=x（杼0）與/=矛的定義域不同，故不是相同的函數(shù);

oQ

B.尸（5）］=|x|與尸x的對應(yīng)關(guān)系不相同，故不是相同的函數(shù);

C.y=lg10'=x與y=x的定義域、值域與對應(yīng)關(guān)系均相同，故是相同的函數(shù);

D.y=21og2*與y=x的對應(yīng)關(guān)系不相同，故不是相同的函數(shù).

log^x,x>l,

3.已知函數(shù)〃x）=則

2+16',xWl,

A.—2B.4

C.2D.-1

logT%,X>\,

2

I2+16”,啟1,

所以(3=2+16^=4,

則=A4)=1og-4=-2.

4.已知/gx—l)=2x—5,且f(a)=6,則a等于(

)

77

AB.

-44

44

D.

33

解析：選A令1,則x=2c+2,=2(2什2)—5=4￡—1,則4a—1=6,

7

解得a=-

［清易錯］

L解決函數(shù)有關(guān)問題時，易忽視“定義域優(yōu)先”的原則.

2.易混“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，從力到

8的一個映射，48若不是數(shù)集，則這個映射便不是函數(shù).

2

1.(2018?合肥八中模擬)已知函數(shù)f(x)=2x+l(lWxW3),則()

A.7■(*—l)=2x+2(0WxW2)

B.f(x—l)=2x-l(2Wx<4)

C.AX-1)=2A—2(0<A<2)

D.F(x—l)=-2x+l(2WxW4)

解析:選B因?yàn)?"(x)=2x+l,所以f(x—l)=2x—1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,3］,

所以1WX—1W3,即2WA<4,故/■(*—1)=2X—1(2WA<4).

2.下列對應(yīng)關(guān)系：

①4={1,4,9},B—{—3,—2,—1,1,2,3},f：x—x的平方根；

②/=R,6=R,ftxfx的倒數(shù)；

③4=R,B=R,f：x-x-2；

④/={-1,0,1},5={-1,0,1},ft/中的數(shù)平方.

其中是{到8的映射的是()

A.①@B.②④

C.③④D.②③

解析：選C由映射的概念知①中集合8中有兩個元素對應(yīng)，②中集合/中的0元素在

集合8中沒有對應(yīng)，③④是映射.故選C.

rrrw函數(shù)定義域的求法

［過雙基］

函數(shù)y—f(x)的定義域

—用表格給出表格中實(shí)數(shù)上的集合

圖象在不軸上的投影所

一用圖象給出一

\y=fCx)\—覆蓋的實(shí)數(shù)才的集合

使解析式有意義的實(shí)數(shù)

一用解析式給出——

工的集合

—由實(shí)際問題給出—由實(shí)際問題的意義確定

［小題速通］

1函數(shù)的=丐手(4°且加1)的定義域?yàn)橐?/p>

0WxW2,

解析:由'=0<xW2,

a-1^0xWO

故所求函數(shù)的定義域?yàn)?0,2］.

答案：@2］

2.函數(shù)尸1g(1—2“)+，不的定義域?yàn)?/p>

3

解析：由題意可知,、求解可得一3Wx<0,

［x+3M,

所以函數(shù)尸lg(l-2')+口^的定義域?yàn)椋?3,0).

答案：［—3,0)

［清易錯］

1.求復(fù)合型函數(shù)的定義域時，易忽視其滿足內(nèi)層函數(shù)有意義的條件.

2.求抽象函數(shù)的定義域時，易忽視同一個對應(yīng)關(guān)系后的整體范圍.

1.(2018?遼寧錦州模擬)已知函數(shù)f(f-3)=lg三，則f(x)的定義域?yàn)椤?/p>

/-I-Qy-l-3f-|-3

解析：設(shè)。'一3(后一3),貝什3’所以f(?=l京』=1口,由有〉0,

得t>l或長一3,因?yàn)?一3,所以力1,即/?(力=1與萬的定義域?yàn)?1,+8).

答案：(L+°°)

2.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,2］,則函數(shù)以x)=f(2x)+m二亍的定義域?yàn)橐?/p>

解析：因?yàn)楹瘮?shù)F(x)的定義域?yàn)椋?,2］,

所以對于函數(shù)f(2x),0W2xW2,即OWxWl,

又因?yàn)?—2*20,所以啟3,

所以函數(shù)g(x)=F(2x)+正二亍的定義域?yàn)椋?,1］.

答案：［0,1］

函數(shù)的單調(diào)性與最值

［過雙基］

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?：如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間〃

上的任意兩個自變量的值M,XZ

定義當(dāng)X<X2時，都有,那當(dāng)Xi〈X2時，都有,那

么就說函數(shù)Hx)在區(qū)間。上是增么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間〃上是減

函數(shù)函數(shù)

平仆)”)

圖象描述

o\%\?2X

0\xtx2x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

4

（2）單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間〃上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具

有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間。叫做函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=Ax）的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)“滿足

（1）對于任意的xRI,都有/U）WM；（3）對于任意的xG/,都有Ax）》1/；

條件

（2）存在劉G/,使得人加）=M（4）存在施￡/,使得/U0）=M

結(jié)論M為最大值材為最小值

［小題速通］

1.（2018?珠海摸底）下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是（）

A.y=2"'B.y=x

C.y=logzxD.

解析：選B由題知，只有尸2f與y=x的定義域?yàn)镽,且只有y=x在R上是增函數(shù).

2.函數(shù)/?（才）=以一2|工的單調(diào)減區(qū)間是（）

A.[1,2]B.[-1,0]

C.[0,2]D.⑵+8)

x~2x,x22,

解析：選A由于/Xx）=|x—2|x=

—x+2x>%<2.

作出函數(shù)/Xx）的圖象如圖,

則結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是［1,2］.

3.（2018?長春質(zhì)量檢測）已知函數(shù)f（x）=x+a|在（-8,—1）上是單調(diào)函數(shù)，則a

的取值范圍是（）

A.(—8,1]B.(—8,—1]

C.[-1,+8)D.[1,+°0)

解析：選A因?yàn)楹瘮?shù)/,（x）在（-8,一a）上是單調(diào)函數(shù)，所以一a）一l,解得aWL

4.若函數(shù)在區(qū)間［a,6］上的最大值是1,最小值是〈，則a+6=________.

X—16

解析：易知Ax）在［43上為減函數(shù),

43=2,

,\a+b=Q.

Z?=4.

s

答案：6

-x>1

5.函數(shù)f(x)=</1'的最大值為

.一步+2,K1

解析：當(dāng)時，函數(shù)/"(x)；：為減函數(shù)，所以f(x)在X=1處取得最大值，為/U)

=1；當(dāng)水1時，易知函數(shù)/"(X)=一丁+2在x=0處取得最大值，為/XO)=2.故函數(shù)/"(X)

的最大值為2.

答案：2

［清易錯］

1.易混淆兩個概念：“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)"，前者指函數(shù)具

備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集.

2.若函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個區(qū)間要分開寫，不能寫成并集.例

如，函數(shù)f(x)在區(qū)間(一1,0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是減函數(shù)，但在(一1,0)U(0,1)上卻

不一定是減函數(shù)，如函數(shù)/1(x)=L

X

X

1.函數(shù)f(x)=^-在()

1—X

A.(―1)U(1,+8)上是增函數(shù)

B.(―0°,1)U(1,+8)上是減函數(shù)

C.(―8,1)和(1,+8)上是增函數(shù)

D.(-8,1)和(1,+8)上是減函數(shù)

V11

解析：選c函數(shù)/'(x)的定義域?yàn)閒{x)1＞根據(jù)函數(shù)了=一；

的單調(diào)性及有關(guān)性質(zhì)，可知f(x)在(-8,I)和(1,+8)上是增函數(shù).

2.設(shè)定義在［-1,7］上的函數(shù)y=F(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間為

y

答案：[—1,1],[5,7]

E,劉函數(shù)的奇偶性

［過雙基］

1.定義及圖象特征

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

￡

如果對于函數(shù)F(x)的定義域內(nèi)任意一

偶函數(shù)個X，都有/"(—X)=/'(*),那么函數(shù)f(x)關(guān)于y軸對稱

是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一

奇函數(shù)個X,都有f(-x)=-F(X),那么函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱

f(x)是奇函數(shù)

2.函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論

(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即/XO)有意義，那么一定有??(())=().

(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).

(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即/"(?=(),x《D,其中定義域〃是

關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集.

(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相

反的單調(diào)性.

［小題速通］

1.下列函數(shù)中的偶函數(shù)是()

X1

A.y=2—亍B.y=xsinx

C.y=eAcosxD.y—x+sinx

解析：選B因?yàn)镕(—x)=(-x)sin(—x)=xsinx=F(x),即函數(shù)F(x)是偶函數(shù)，故

選B.

2.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足F(x—2)=f(x+2),且當(dāng)2,0］時，f(x)=3'

-1,則/'(9)=()

A.-2B.2

八2n2

C.—rD."

oo

解析：選D因?yàn)?Xx)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)xG［0,2］時，/Xx)=—f(—x)

=-3-'+1；設(shè)x—2=t,則％=注2,則/■(*—2)=f(x+2)可化為F(t)=f(1+4),即函

2

數(shù)Ax)是周期為4的周期函數(shù)，則A9)=H1)奇

3.(2018?綿陽診斷)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，則滿足A2%-

1)＜彳；)的*的取值范圍是()

兒與0B-［i

MT，|)

7

解析：選A???/?5)是偶函數(shù)，，丹王)=『(|十|),

再根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得12x—1|《，解得，<芳，故選A.

4.若函數(shù)/■(xNxWR)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)(xGR)是偶函數(shù)，則()

A.函數(shù)/1(X)—g(x)是奇函數(shù)

B.函數(shù)/1(X)?g(x)是奇函數(shù)

C.函數(shù)Z［g(x)］是奇函數(shù)

D.函數(shù)是奇函數(shù)

解析：選B因?yàn)楹瘮?shù)/■(x)(xdR)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)(x《R)是偶函數(shù)，

所以/'(—X)=—/1(*),g(—x)=g(x),

所以f(—x)?g(—X)=-f(x)?g(x),故f(x)?g(x)是奇函數(shù).

［清易錯］

1.判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.定義域關(guān)于原點(diǎn)對

稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件.

2.判斷分段函數(shù)奇偶性時，誤用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)去否定函數(shù)在

整個定義域上的奇偶性.

1.已知函數(shù)/'(⑼二1-"是定義在區(qū)間［一3一如病一加上的奇函數(shù)，則(~

A.A/ffXADB./■(曲>f(l)

C.A?)=ADD./Xm)與/'(1)大小不能確定

解析：選A由題意可知一3—m-\-m—m—0,

所以卬=3或勿=—1,

又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在區(qū)間［-3一R，/一加上的奇函數(shù)，

所以2—m是奇數(shù)，且2—加>0,

所以)=-1,則f(x)=f,定義域?yàn)椋?2,2］且在［-2,2］上是增函數(shù)，

所以f(^<f(l).

logj,x>0,

2.函數(shù)F(x)=?的奇偶性為

log2—x,Xz0a

解析：?.0,故f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

當(dāng)x>0時,-X0,

.../■(—X)=1OgzX=f(X).

當(dāng)水0時，-x>0,

f(—x)=logz(—x)=f(x).

故/'(一*)=f(x),f(X)為偶函數(shù).

答案：偶函數(shù)

8

EEH3函數(shù)的周期性

［過雙基］

1.周期函數(shù)

對于函數(shù)尸f(x),如果存在一個非零常數(shù)7,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有

f(x+7)=F(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

2.最小正周期

如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作F(x)

的最小正周期.

3.重要結(jié)論

周期函數(shù)的定義式/'(x+7)=f(x)對定義域內(nèi)的x是恒成立的，若f(x+a)=Hx+。)，

則函數(shù)/<x)的周期為T^\a-b\.

若在定義域內(nèi)滿足F(x+a)=—f(x),f(x+a)=>—,f(x+a)=一六一8>0).則

IXIX

f(x)為周期函數(shù)，且7=2a為它的一個周期.

4.對稱性與周期的關(guān)系

(1)若函數(shù)fix)的圖象關(guān)于直線x=a和直線x=6對稱,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a

一引是它的一個周期.

(2)若函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)30)對稱，則函數(shù)/1(%)必為周期函數(shù)，2幅一

引是它的一個周期.

(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x=6對稱，則函數(shù)/"(X)必為周期函數(shù)，41a

一人是它的一個周期.

［小題速通］

fx

sin~n，x>0,

1.已知函數(shù)F(x)=j4則/X-S)的值為()

［fx+,后0,

A.0B.-^~

C.1D.72

sinJ五，%>0,JI、歷

解析：選B由/'(x)=<4可得"―5)=f(D=sin了=+.

x+,xWO,

2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f{—x)=-F(x),f(x+1)=F(1—x),且當(dāng)x6［0,1］

時，f(x)=log2a+l),則f(31)=()

A.0B.1

q

C.-1D.2

解析：選C由/X—x)=-f(x)可得函數(shù)/1(x)是奇函數(shù)，所以/'(x+1)=f(l—x)=一

f(x—1).

令x—1=3貝?。輝=t+l,所以/'(t+2)=—/■(/),

則Af+4)=-At+2)=f(t),

即函數(shù)f(x)的最小正周期為4.

又因?yàn)楫?dāng)xW［0,1］時，f(x)=logz(x+l),

所以y(3i)=A31-4x8)=-AD=-iog2(1+1)=-1.

3.(2018?晉中模擬)已知F(x)是R上的奇函數(shù)，f(l)=2,且對任意xGR都有F(x+

6)=f(x)+F(3)成立，則f(2017)=.

解析：?.?F(x)是R上的奇函數(shù)，

AA0)=0,又對任意xCR都有Ax+6)=f(x)+A3),

.?.當(dāng)x=—3時，

有A3)=A-3)+/(3)=0,

，f(—3)=0,f(3)=0,

/./'(x+6)=f(x),周期為6.

故f(2O17)=H1)=2.

答案：2

［清易錯］

在利用周期性定義求解問題時，易忽視定義式fx+7=fx~~T的使用而致

誤.

已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x+2)=—丁^—,當(dāng)2W>W3時，f(x)

IX

=x,則f(105.5)=.

解析：由已知，可得Ax+4)=/l(x+2)+2］=--~上一=-―—=F(x).

fx+1

~fX

故函數(shù)f(x)的周期為4.

AA105.5)=f(4X27-2.5)=/,(—2.5)=f(2.5).

?..2W2.5W3,

Af(2.5)=2.5.

105.5)=2.5.

答案：2.5

□雙基過關(guān)檢測

1C)

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=lg(x—1)—44—x的定義域?yàn)?)

A.(一8,4]B.(1,2)U(2,4]

C.(1,4]D.(2,4]

\x—1>0,

解析：選C由題意可得、解得1<XW4,所以函數(shù)F(x)的定義域?yàn)?1,4].

〔4一心0,

2.(2017?唐山期末)已知F(x)=x+,一1,f(a)=2,則f(—a)=()

x

A.—4B.—2

C.-1D.—3

解析：選AVf(a)=a+-—1=2,

a

???a+/3.

f(—a)=-a-1=-(a+3)—1=-3—1=-4.

3.設(shè)函數(shù)〃幻二1丫/_若F(a)+f(—1)=2,則a的值為()

hj-x,KO,

A.-3B.±3

C.-1D.±1

解析：選D當(dāng)a20時，F(xiàn)(a)由已知得5+1=2,得a=l；當(dāng)水0時，f(a)

=y［--a9由已知得，二二+1=2,得a=-1,綜上，d=±l.故選D.

4.下列幾個命題正確的個數(shù)是()

(1)若方程V+(a—3)x+a=0有一個正根，一個負(fù)根，則水0；

(2)函數(shù)尸4711+"三?是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；

(3)函數(shù)ra+D的定義域是［-1,3］,則-*)的定義域是［0,2］；

(4)若曲線y=13—力和直線尸a(a￡R)的公共點(diǎn)個數(shù)是m,則m的值不可能是1.

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B(1)由根與系數(shù)的關(guān)系可知，(1)正確；

(2)函數(shù)=I+qi=，的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)閧0},顯然該函數(shù)既是奇函數(shù)

也是偶函數(shù)，(2)錯誤；

(3)函數(shù)f(x+l)的定義域是［-1,3］,所以0<x+V4,則函數(shù)F(x)的定義域是［0,4］,

對于函數(shù)〃V)可得0W/W4,貝卜2<g2,即久內(nèi)的定義域是［—2,2］,⑶錯誤；

工工

(4)由二次函數(shù)的圖象，易知曲線y=|3一的和直線y=a(a￡R)的公共點(diǎn)個數(shù)可能是

0,2,3,4,(4)正確.故選B.

5.如果二次函數(shù)￡(切=3/+23—1)8+6在區(qū)間(一8,1)上是減函數(shù)，則()

A.a——2B.a=2

C.aW—2D.a22

a—1

解析：選C函數(shù)/'(x)的對稱軸方程為了=-

J

a——i

由題意知一即aw—2.

o

6.(2018?天津模擬)若函數(shù)f(x)滿足“對任意小，.6(0,+8),當(dāng)小V生時，都有

f(幻〉〃尼)”，則f(x)的解析式可以是()

A.f(x)=(x—l)2B./Xx)=e'

C.f{x)=~D.Ax)=lnU+l)

X

解析：選c根據(jù)條件知，Ax)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

對于A,爪才)=(》—1)2在(1,+8)上單調(diào)遞增，排除A；

對于B,F(x)=e'在(0,+8)上單調(diào)遞增，排除B；

對于C,F(x)=,在(0,+8)上單調(diào)遞減，C正確；

x

對于D,〃上)=10(入+1)在(0,+8)上單調(diào)遞增，排除D.

7.已知函數(shù)F(x)=log1(V-ax+3a)在［1,+8)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.(—8,2］B.［2,+8)

C.

解析:選D令￡=g(x)=3—石才+3劉,易知y=log|t在其定義域上單調(diào)遞減，要使F(x)

=loA(V—@x+3a)在［1,+8)上單調(diào)遞減，則t=g(x)=/—己才+3a在［1,+8)上單調(diào)

忘2,

一-1,

遞增，且￡=g(x)=f—ax+3a>0,即J2所以<1BP——<a^2.

a>-5,2

、g，

x-4-x~\~12

8.(2018?長春調(diào)研)已知函數(shù)Hx)=廠+],若/[)=§,則/'(—a)=()

22

A-3B--3

22

44

C，D.

33

X-4-y-4-1vv

解析：選CF(x)=『+1=1+百7,而力(x)=K是奇函數(shù)'故A-5)=1+/?(-

24

a)=1一力(a)=2—[l+//(a)]=2—f(a)=2—-=-,故選C.

oo

二、填空題

9.f(x)=asinx—，log3(5f+1—x)+1(a,Z?GR),若F(lg(log310))=5,則F(lg(lg

3))=.

解析：令g(x)=asinblog3(.yjx+1—x),

因?yàn)間(—x)=—asinx—blog3(1\//+1+x)

”]

=-asmx-Z?log3/?---

yjx+l-x

=-asinx+blog3(r\Jx+1-x)=-g(x),

所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，因?yàn)閘g(log310)+lg(lg3)=lglg(lg3)=0,即

lg(log310)與lg(lg3)互為相反數(shù),f(lg(lg3))=g(lg(lg3))+1=—^(lgdogslO))+1

=-[f(lg(log310))—1]+1=—3.

答案：一3

2

10.設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)K0時，/V)=9矛+彳+7,若

/'(x)》a+l對一切x20成立，則a的取值范圍為.

解析：因?yàn)槭琭(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x=0時，『(0)=0,則02a+l,

-2~2

所以aW—1,又設(shè)x>0,則一x<0,所以/1(才)=一/、(一x)=——X+~^-+7=9x+——

—x_]x

2/2

7.由基本不等式得9x+?—?彳-7=—6a—7,由f(x)對一切x20成立，

只需一6a—72d+l,即d<一/結(jié)合-1,所求a的取值范圍是(一8,—1.

答案：(-8,--

11.設(shè)/'(x)=f+log2(x+，百口)，則對任意實(shí)數(shù)a,b,a+620是F(a)+/'(￡)20

的條件(填"充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要).

解析：因?yàn)锳--^=~/+log2(-x+yjx+1)=~x+log2—log2{x

+\*+l)=—f(x),

23

所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，易知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),

因?yàn)閍+820,所以a2一b,

所以f(a)NF(-6)=-f(6),即/1(a)+f(6)20,反之亦成立,

因此，對任意實(shí)數(shù)a,b,4+620是〃協(xié)+/'(0》0的充要條件.

答案：充要

12.設(shè)定義在R上的函數(shù)/Xx)同時滿足以下條件：①f(x)+f(一“)=0；②f(x)=f(x

T+f(i)+6)+y(2)+d

+2)；③當(dāng)0〈水1時，Ax)=2-1,則

解析：依題意知：函數(shù)/'(x)為奇函數(shù)且周期為2,

則f(l)+/■(—1)=0,/(-1)=/,(1),即/'(1)=0.

A/1J+A1)++f(2)+

3+0+(一(|+〃0)+磅

=?|

/g+f(O)+T

=碘+代0)

=2；-1+2。-1

=木一L

答案：y[2-l

三、解答題

ax+b,KO,

13.設(shè)函數(shù)『(%)=且/'(-2)=3,A-1)=AD.

2\x20,

(1)求f(x)的解析式;

(2)畫出f(x)的圖象.

解:(1)由『(一2)=3,f(-1)=「(1)得

—2a+6=3,

解得a=-1,b=1,

-a+6=2,

-A+1,x<0,

所以/Xx)=

2\GO.

(2)f(x)的圖象如圖所示:

14.設(shè)F(x)是(-8,+8)上的奇函數(shù)，F(xiàn)(x+2)=—f(x),

當(dāng)OWxWl時，/(%)=x

⑴求f(n)的值；

(2)當(dāng)一4WW4時，求F(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.

解：(1)由f(x+2)=—f(x),得

/,(x+4)=/[(x+2)+2]=-F(x+2)=F(x),

.?.F(x)是以4為周期的周期函數(shù).

n)=f(—1X4+“)=/'(￡—4)=—f(4—Ji)=—(4—n)=n—4.

(2)由f(x)是奇函數(shù)與Ax+2)--rw,

得f[(x—1)+2]=-f[x—1)=/[—(A—1)],

即F(l+x)=F(l—x).

從而可知函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

又當(dāng)OWxWl時，F(xiàn)(*)=x，且/'(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，則/"(X)的圖象如圖所

示.

設(shè)當(dāng)一4WxW4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,

則S=48a?=4X&X2Xl)=4.

高考研窕課一函數(shù)的定義域、解析式及分段函數(shù)

[全國卷5年命題分析]

考點(diǎn)考查頻度考查角度

函數(shù)的概念5年1考函數(shù)定義問題

分段函數(shù)5年4考分段函數(shù)求值及不等式恒成立問題

9函數(shù)的定義域問題

[典例](1)(2018?長沙模擬)函數(shù)y=一二一的定義域是()

A.(―1,+°°)B.[―1,+°0)

C.(-1,2)U(2,+8)D.[-1,2)U(2,+8)

(2)若函數(shù)f(x)=-2*2+2a5—i的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為.

(X一2#0,

[解析](1)由題意知，要使函數(shù)有意義，需……即-1<求2或x>2,所以函

xI1/0,

數(shù)的定義域?yàn)?一1,2)U(2,+8).故選C.

15

⑵因?yàn)楹瘮?shù)/U)的定義域?yàn)镽,所以2x2+2ax-a-l>0對XCR恒成立，即2l+2ax

—a》l,x-^-2ax一a20恒成立，因此有4=(2a)-+4aW0,解得一IWaWO.

[答案](1)C⑵[-1,0]

[方法技巧]

函數(shù)定義域問題的3種?？碱愋图扒蠼獠呗?/p>

(1)已知函數(shù)的解析式：構(gòu)建使解析式有意義的不等式(組)求解.

(2)抽象函數(shù)：

①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b\,則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由aWg(x)W6求

出.

②若已知函數(shù)/1(g(x))的定義域?yàn)閇a,6],則f(x)的定義域?yàn)間(x)在[a,加時的值

域.

(3)實(shí)際問題：既要使構(gòu)建的函數(shù)解析式有意義，又要考慮實(shí)際問題的要求.

[即時演練]

1.函數(shù)f(x)=yj4—\x\+1g的定義域?yàn)?)

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)U(3,6]

"4-3》0,

解析：選C由題意得｛f—5x+6解得2<X3或3〈xW4,所以函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

-----;—>0,

x—3

(2,3)U⑶4].

2.已知函數(shù)"2—才)=肝三?，則函數(shù)f(F)的定義域?yàn)?)

A.[0,+8)B.[0,16]

C.[0,4]D.[0,2]

解析:選B由4-x2^0可得一2WxW2,令2—x=t,則0W々4,函數(shù)f(2—x)=.4—析

可化為函數(shù)f(t)=也二一-t2,0<區(qū)4,所以函數(shù)『(、「)滿足0WWW4,則0WW16,

即函數(shù)/(，；)的定義域?yàn)閇0,16].

rra-?>*-函數(shù)解析式的求法

函數(shù)的解析式是函數(shù)的基礎(chǔ)知識，高考中重視對待定系數(shù)法、換元法、利用函數(shù)性質(zhì)求

解析式的考查.題目難度不大，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).

[典例](1)如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已

知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為()

A.y^-x—-x—x

C.y=*x

(2)定義在R上的函數(shù)/