2021年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)真題試卷（含答案解析）

江蘇省南通市2021年中考數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選

項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相

應(yīng)位置上）］

1.計算1-2,結(jié)果正確的是（）

A.3B.1C.—1D.—3

2.據(jù)報道：今年“五一”期間，蘇通大橋、崇啟大橋、滬蘇通大橋三座跨江大

橋車流量約1370000輛次.將1370000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.137x107B.1.37x107C.0.137x106D.

1.37x106

3.下列計算正確的是（）

A.a34-a3=a6B.a3-a3=a6C.（a2）3=a5D.

（ab）3=ab3

4.以下調(diào)查中，適宜全面調(diào)查的是（）

A.了解全班同學(xué)每周體育鍛煉的時間B.調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能

力

C.調(diào)查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率D.鞋廠檢測生產(chǎn)的鞋底能承受

的彎折次數(shù)

5.如圖，根據(jù)三視圖，這個立體圖形名稱是（）

V

俯視圖

A.三棱柱B.圓柱C.三棱錐D.圓錐

6.菱形的兩條對角線的長分別是6和8,則這個菱形的周長是（）

A.24B.20C.10D.5

7.《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四

尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，

繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？設(shè)

木長x尺，繩長y尺，可列方程組為（）

'%=y+4.5（y=x+4.5（x=y+4.5

A.<i,.B.i,.C.{i.D.

[-x=y+l[-y=x+1[-x=y-l

ry=x+4.5

（-1y=x-rl

8.若關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍是

（）

A.7<a<8B.7<a<8C.7<a<8D.7<

a<8

9.如圖，四邊形ABCD中，AB//DC,DELAB,CFLAB,垂足分別為E,F,且

AE=EF=FB=5cm，DF=12cm，動點P,。均以lcm/s速度同時從點A

出發(fā)，其中點P沿折線CB運動到點B停止，點。沿/B運動到點B

停止，設(shè)運動時間為t（s），△4PQ的面積為yGm?），則y與，對應(yīng)關(guān)系的圖象大

致是（）

其中點A在第一象限.設(shè)為雙曲線y=；（k>2）上一點，直線/M,BM分

別交y軸于C，。兩點，則0C-。。的值為（）

A.2B.4C.6D.8

二、填空題（本大題共8小題，第1rzi2題每小題3分，第13~18題每小題4

分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）

11.分解因式：x2-9y2=

12.正五邊形每個內(nèi)角的度數(shù)是.

13.圓錐的母線長為2cm，底面圓的半徑長為km，則該圓錐的側(cè)面積為

2

----------cm?

14.下表中記錄了一次試驗中時間和溫度數(shù)據(jù).

時間/分鐘0510152025

溫度/℃102540557085

若溫度的變化是均勻的，則14分鐘時的溫度是r.

15.如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60。方向，距離燈塔50海里的A處，它

沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東45。方向上的3處，此時

B處與燈塔P的距離為海里（結(jié)果保留根號）.

16.若“，〃是一元二次方程/+3%-1=0的兩個實數(shù)根,則窯學(xué)的值為

17.平面直角坐標系xOy中，已知點P(m,3n2—9),且實數(shù)滿足m—n2+4=

0,則點P到原點。的距離的最小值為.

18.如圖，在△ABC中，AC=BC,乙4cB=90。，以點A為圓心，長為半徑

畫弧，交AC延長線于點。，過點。作CE〃/W,交附于點E,連接8E,則fl的

DC

值為___________.

三、解答題(本大題共8小題，共90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時

應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

19.(1)化簡求值：(2%-1)2+(%+6)(%-2),其中％=一百；

(2)解方程專一：=0.

20.如圖，利用標桿DE測量樓高，點A,D,B在同一直線上,DE_L4C,BC_LAC,

垂足分別為E,C.若測得4E=lm，DE=1.5m，CE=5m，樓高BC是多少？

B

21.某農(nóng)業(yè)科技部門為了解甲、乙兩種新品西瓜的品質(zhì)(大小、甜度等)，進行

了抽樣調(diào)查.在相同條件下，隨機抽取了兩種西瓜各7份樣品，對西瓜的品質(zhì)進

行評分(百分制)，并對數(shù)據(jù)進行收集、整理，下面給出兩種西瓜得分的統(tǒng)計圖

表.

甲、乙兩種西瓜得分表

序號1234567

甲種西瓜（分）75858688909696

乙種西瓜（分）80838790909294

甲、乙兩種西瓜得分折線統(tǒng)計圖

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

甲種西瓜88a96

乙種西瓜8890b

（1）a=,b=；

（2）從方差的角度看，種西瓜的得分較穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）;

（3）小明認為甲種西瓜的品質(zhì)較好些，小軍認為乙種西瓜的品質(zhì)較好些.請結(jié)

合統(tǒng)計圖表中的信息分別寫出他們的理由.

22.一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1,2,3,4

（1）隨機摸取一個小球的標號是奇數(shù)，該事件的概率為;

（2）隨機摸取一個小球后放回，再隨機摸取一個小球.求兩次取出小球標號的

和等于5的概率.

23.如圖，為。。的直徑，。為。。上一點，弦/E的延長線與過點C的切線

互相垂直，垂足為。，^CAD=35°,連接BC.

D

C

（1）求zB的度數(shù)；

（2）若AB=2,求品的長.

24.A,B兩家超市平時以同樣的價格出售相同的商品.暑假期間兩家超市都進行

促銷活動，促銷方式如下：

A超市：一次購物不超過300元的打9折，超過300元后的價格部分打7折；

8超市：一次購物不超過100元的按原價，超過100元后的價格部分打8折.

例如，一次購物的商品原價為500元，

去A超市的購物金額為：300x0.9+（500-300）x0.7=410（元）；

去8超市的購物金額為：100+（500-100）x0.8=420（元）.

（1）設(shè)商品原價為x元，購物金額為y元，分別就兩家超市的促銷方式寫出〉

關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）促銷期間，若小剛一次購物的商品原價超過200元，他去哪家超市購物更

省錢？請說明理由.

25.如圖，正方形ABCD中，點E在邊AO上（不與端點A,。重合），點A關(guān)于

直線BE對稱點為點G連接CF,設(shè)乙4BE=a.

A__E______DAEp

（備用圖）

（1）求zBCF的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）過點。作CG_L力F,垂足為G,連接DG.判斷DG與CF的位置關(guān)系，并說

明理由；

（3）將4ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△CB”，點E的對應(yīng)點為點H,連接

HF.當(dāng)ABF"為等腰三角形時，求sina的值.

26.定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖

象的“等值點”.例如，點（1,1）是函數(shù)y=+3的圖象的“等值點”.

（1）分別判斷函數(shù)y=%+2,y=/一％的圖象上是否存在“等值點”？如果存

在，求出“等值點”的坐標；如果不存在，說明理由；

（2）設(shè)函數(shù)、=久%>0）4=一兀+8的圖象的“等值點”分別為點A,B,過點

8作BCJ.X軸，垂足為C.當(dāng)△ABC的面積為3時，求。的值；

（3）若函數(shù)y=/-2Q2m）的圖象記為明，將其沿直線％=m翻折后的圖象

記為卬2.當(dāng)W1，“2兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出，〃的

取值范圍.

參考答案及解析

1.【解析】c

1-2=-(2-1)=-1,

2?【解析】D

將1370000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.37X106

3.【解析】B

a3+a3=2a3；a3-a3=a6；(a2)3=a6；(ah)3=a3b3；

4.【解析】A

了解全班同學(xué)每周體育鍛煉的時間適合全面調(diào)查；

調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力適合抽樣調(diào)查；

調(diào)查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率適合抽樣調(diào)查；

鞋廠檢測生產(chǎn)的鞋底能承受的彎折次數(shù)適合抽樣調(diào)查；

5.【解析】A

根據(jù)主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體，根據(jù)俯視圖是三角形可判斷出這個

幾何體應(yīng)該是三棱柱.

6.【解析】B

如圖所示：

?四邊形ABCD是菱形，BD=8,AC=6,

.*.AC±BD,OA=OC=3,OD=OB=4,

RtZkAOD中，AD=y/OA2+OD2=5,

則菱形ABCD的周長為：4X5=20

7.【解析】D

設(shè)木長*尺，繩長y尺，

fy=%+4.5

依題意得J,[

=Xv-1

8.【解析】C

解不等式2尤+3>12,得：x>p

解不等式％-aWO,得：x<a,

?.?不等式組只有3個整數(shù)解，即5,6,7,

7<a<8

9.【解析】D

在RtAADE中AD=y/AE2+DE2=

在RtACFB中，BC=ylBF2+CF2=13(cm),

AB=AE+EF^-FB=15(cm)9

①點尸在4。上運動，AP=t,AQ=t,§PO<t<13,

如圖，過點P作PG_LA3于點G,

sinA=^=^,則PG=^t(O<t<13),

UninJLJ

此時產(chǎn)/2xPG*t2(owi<13),圖象是一段經(jīng)過原點且開口向上的拋物線;

②點P在DC上運動，且點。還未到端點5,即13Vt<15,

此時y=1AQxDE=6t(13<t<15),圖象是一段線段;

③點P在。。上運動，且點。到達端點5,即15WtW18,

此時y=^ABxDE=90（15<t<18）,圖象是一段平行于x軸的水平線段;

④點P在BC上運動，PB=31-f,即18<tK31,

如圖，過點P作于點//,

sinB=^=^,則尸"W|(31T),

此時尸1外尸”=-存+詈（18<t工31）,圖象是一段線段;

10?【解析】B

y=2x,

根據(jù)題意列方程得:k

'y=-x,

V2fcy/2k

X1==一丁

解得:~或%2

-

%=V2k.y2=V2k.

?點4在第一象限,

?。ê?，畫｝8（一學(xué),一屆）.

???用（n2）為雙曲線丫=：*>2）上一點,

?Qk

??2=-m?

k

m=-2.

設(shè)直線AM的解析式為y=krx+bi,

V2k=匕?亨+b

將點4（學(xué),低）與點M管,2）代入可得:lf

2=ki.T+bl,

,2y/2k-4

七=赤口

解得:

,2yf2k-ky/2k

瓦=E

???直線AM的解析式為、=需久+喘手

?.?直線AM與y軸交于。點，

??x(j—?0?

.2V2k-4,2y/2k-ky/2k2小一k版

??=-==-----0n+

”>/2k-kV2k-kyj2k-k

./?2y[2k-k>[2k'

，，Cr42k-k).?

'：k>2,

.0c_|2V2k-W2fc|_2辰-

??一Iy[2k-kI-yf2k-k-

設(shè)直線BM的解析式為y=k2x+b2,

-y/2k=/c2?(-苧)+b2,

將點B（-苧，-怎）與點M6,2）代入解析式可得:

2=k2-^+b2,

2麻+4

■

解得：＜-V2k+k'

2y[2k-kyf2k

92=V2k+k

???直線SM的解析式為，=等%+嘴等

?.?直線8M與y軸交于0點，

??X[)—0?

?2母+4,2y/2k-ky/2k2\[2k-k\f2k

?.y=-；=----0A+

DV2k+ky[2k+kV2k+k

?(2y[2k-kyf2k'

1°，抵+k),?

?:k>2,

?八c\2\[2k-k\[2k\ky/2k-2\/21c

??(7/7=-----7=-------=——p=-------

I抵+kI\[2k+k

?“cc2\[2k-kyf2kky/2k-2\[2k

??-0D=—----------7=--------

\[2k-kV2k+/c

_(2V2fc-kV2k)(V2k+k)[k^2k-2V2fc)(V2fc-k)

(V2fc-k)(y/2k+k)[y/lk+k)(反-k)

4k—2k2+2k\[2k—k2y[2k2k2—4k—k2y[2k+2k>/2k

=2k-k22k-k2

_8k-4k2

=2k-k2

4(2k-/c2)

2k-k2

=4.

IL【解析】(％-3y)(x+3y).

x2—9y2=(%—3y)(x+3y).

12.【解析】108°

?.?正多邊形的內(nèi)角和為5-2)x180°,

正五邊形的內(nèi)角和是(5-2)x180°=540°,

則每個內(nèi)角的度數(shù)是540。+5=108°.

13.【解析】2兀

依題意知母線長=2,底面半徑r=1,

則由圓錐的側(cè)面積公式得S=7t/7=n-xlx2=2n-.

14.【解析】52

設(shè)時間為，分鐘，此時的溫度為T,

由表格中的數(shù)據(jù)可得，

每5分鐘，升高15Z,故規(guī)律是每過1分鐘，溫度升高3C,

函數(shù)關(guān)系式是丁=3什10；

則第14分鐘時，即f=14時，T=3xl4+10=52℃

15.【解析】25V6.

如圖，作PCL45于點C,

在R〃\4PC中，AP=50海里，N4PC=90。-60°=30°,

則4c=^AP=25海里，PC=V5O2-252=25遮海里，

在RdPCS中，PC=258海里，ZBPC=90°-45°=45°,

PC=5C=25g海里，

則PB=J(25行產(chǎn)+(25百/=25遍海里

16.【解析】3

根據(jù)題意：，〃2+3怯1=0,

/.3mA-nr9

V/n>n是一元二次方程X2+3X-1=0的兩個根，

，/〃+〃=?3,

?m3+m2nm2(m+n),?.

??^-=^^=一(皿+切=3，

17?【解析】察

10

Vm—n2+4=0,

An2=m+4,貝!|3/-9=3m+3,

，點尸的坐標為(m,3m+3),

???尸。幻病+(3m+37=VlOm2+18m+9,

V10>0,

:.10m2+18m+9當(dāng)nt==-2時，有最小值,

且最小值為總，

.??尸。的最小值為叵=剋皿.

18?【解析】/

連接AE,過作延長EC交4F于點凡過E作EG_L6C于點G,如

圖，

^AC=BC=a,

■:乙ACB=90°

：.AB=y]AC2+BC2=V2a?乙CAB="B4=45°

：.AE=V2a,4CA產(chǎn)=45°

VCE//AB

:.乙ECB=^CBA=45°

?:乙ACB=90°

:.乙ACF=45

乙4FC=90°

'?AF=CF=—AC=-a

22

設(shè)CE=x,則/E=^a+比

2

在RtAAFE^,AF2+EF2=AE2

(ya)2+(ya+x)2=(V2a)2

解得，"上2=言及a(不符合題意，舍去)

?「廠V6-V2

??CE=-----a

2

?:乙ECB=45O/EGC=90°

:?乙CEG=45°

"口魚「口

??CG=GE=—CE=—^2x-V-6--V--2a=V--3---1--a

2222

V3-13-V3

:?BG=BC-CG=a-------a---------n

22

在RtABGE中，BG2+GE2=BE2

BE=](專^<1)2+(W^a)2=(V3-l)a

3/6-V2

???_CE_—_=_—_。_—V_2

BE=(V3-l)a-2

19?【解析】(1)4；(2)x=9.

(1)(2x-1)2+(x+6)(x—2)

=4x2—4x+1+x2+4x—12

=5x2-11

當(dāng)尤=一代時，原式=5%2-11=5x(-V3)2-11=4;

(2)-^---=0,

x-3x

2x—3(%—3)=0,

解得：x=9,

經(jīng)檢驗，x=9是原方程的解.

20.【解析】樓高BC是9米.

AE=lm，CE=5m，

??AC=6m,

???DEI",BC1AC9

：.DE//BC9

：.AADE^AABC,

?竺_竺

**4C一記’

?:DE=1.5m，

?11.5

??一,

6BC

：.BC=9；

即樓高是9米.

21.【解析】(1)a=88,。=90；(2)乙；(3)見解題過程。

(1)甲品種西瓜測評得分從小到大排列處在中間位置的一個數(shù)是88,所以中位

數(shù)是88o

將乙品種西瓜的測評得分出現(xiàn)次數(shù)最多的是90分，因此眾數(shù)是90o

(2)由甲、乙兩種西瓜的測評得分的大小波動情況，直觀可得S乙2Vs甲2,

(3)小明認為甲種西瓜的品質(zhì)較好些，是因為甲的得分眾數(shù)比乙的得分眾數(shù)高;

小軍認為乙種西瓜的品質(zhì)較好些，是因為乙的得分方差小和得分中位數(shù)比甲的

高.

22.【解析】(1)；；(2)p

24

(1)因為一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，它們分別標號為1,2,

3,4,

因此隨機摸取一個小球，“摸出的小球標號是奇數(shù)”的概率為：：=

42

(2)畫樹狀圖得:

第一次

第二)欠1

由圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，兩次取出小球標號的和等于5的情況有4

種;

所以兩次取出小球標號的和等于5的概率沏

23.【解析】(1)55°；(2)—.

18

(1)連接。C,如下圖所示，

??,CD是◎。的切線,

：.OCLCD,

'：AELCD,

J.OC//AE,

：.ZDAC=ZOCA,

VOA=OC,NC4D=35°,

:.NO4C=NOCA=NCW=35。,

,.IB為。。的直徑，

:.ZACB=9d°,

.?.ZB=90o-ZOAC=55°；

(2)連接。E,OC,如下圖，

由(D可知，NEAO=NOAC+NC4O=70。，

'：OA=OE,

：.ZAEO=ZEAO=7d°,

'：OC//AE,

：.ZCOE=ZAEO=70°,

.?.48=2,貝！JOC=OE=1,

?糜的長為吧=70n=7n

??刖僅為18018018,

f0,9x(0<%<300)；B

24.【解析】(1)A商場y關(guān)于x的函數(shù)解析式：yA=^6Q07x(x>300)

商場y關(guān)于x的函數(shù)解析式：如=K+x0(0.<8升%<>1100。)。)；

(2)當(dāng)200<r<400時，去B超市更省錢；當(dāng)x=400時，去A、8超市一樣省錢;

當(dāng)％>400時，去A超市更省錢.

一一(

(1)題，得，%=[o9X3000.9+x0(.07(<尤x-3<0300)0()尤>300)'即：%=

(09x(0<x<300)

；

(60+0.7x(x>300)

(x(0<x<100)_fx(0<x<100)

yB>P：yB=；

~[100+0.8(x-100)(x>100)(20+0,8x(x>100)

(2)?.?小剛一次購物的商品原價超過200元

:.當(dāng)200<x<300時，yA-yB=0-(20-0.8比)=O.lx-20,

令"一如=°，x=200,

貝!I當(dāng)200<rW300時，即發(fā)-冷>。，去5超市更省錢；

當(dāng)x>300時，yA-yB=(60+0.7x)-(20+0.8x)=40-0.lx,

令力一坊=°，x=400,

所以，當(dāng)x=400時，^yA-yB=0,此時去4、8超市一樣省錢：

當(dāng)300Vx<400時，即以-坊>0，去B超市更省錢；

當(dāng)x>400時，即以-現(xiàn)〈0，去A超市更省錢；

綜上，當(dāng)200VCV400時，去B超市更省錢；當(dāng)尤=400時，去A、8超市一樣

省錢；當(dāng)x>400時，去A超市更省錢.

25.【解析】(1)45。+戊.

⑵DGHCF.理由見解題過程。

(1)連接8R設(shè)AE和BE相交于點N.

則由題意可知，BE1AF,AB=BF

Z.BAF=Z.BFA

??,Z-ABE=a

???乙BAF_90。a-Z-BFA

o

???zEBF=180°.90.(90°.a)=a

根據(jù)四邊形ABC。是正方形可得，AB=BC,乙4BC=90。

zF5C=90°.2a,AB=BC=BF

乙BFC=乙BCF

???乙BFC+乙BCF+乙FBC=180°,乙FBC=90°-2a

乙BFC一乙BCF=產(chǎn)°°父9O°3)=45。+a.

一2

⑵位置關(guān)系：平行.

理由：連接BF,AC,DG

設(shè)。C和FG的交點為點M,Ab和BE相交于點N

由(1)可知,

^ABE=乙EBF=a,^BAF=乙BFA=90°-a,乙BFC=乙BCF=45°+a

???^AFC=乙AFB+乙CFB=90°—a+45°+a=135°

乙CFG=180°-^AFC=45°

???CG1AG

???乙FGC=90°

???乙GCF=180°-Z.FGC-乙CFG=45°=乙CFG

??.△CGF是等腰直角三角形

.CG__

"CF-y/2

???四邊形ABC。是正方形

???^BAD=乙40c=乙BCD=90°,AD=CD

???△/DC是等腰直角三角形

nr1

,^ACD=45°

ACy[2

???NBC/=45°

BE垂直平分AF

UNE=90°

乙NAE=180°-±ANE-乙AEN=a

在△AOM和ACGM中，

(Z.ADC=^AGC=90°

I^AMD=乙CMG

???△ADMCGM

???乙MCG=Z.GAD=a

???NBC/=45°,乙BCF=45。+a

:.Z.ACF=Z.BCF—乙BCA=a

在^DGC和△/EC中，

?D?,C一=CG—1=-p,cZ”.DCG=Z“.ALCF=a

ACFCV2

DGCAFC

???乙AFC=乙DGC=135°

???^DGA=乙DGC一^AGC=135°-90°=45°

???^DGA=乙CFG=45°

???CF//DG

為等腰三角形有三種情況：①FH=BH②BF=FH③BF=BH,要分三種情

況討論：

①當(dāng)/時，作MUJ.BP于點M

B

H

由（1）可知：AB=BF,乙ABE=LEBF=a

.:四邊形ABC。是正方形

AB=BC,^ABC=90。，^BAE=90°

設(shè)AB=BF=BC=a

???將△/BE繞點3順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△CBH

乙CBH=^ABE=a,BH=BE

???Z.FBH=/.ABC-^ABF+乙CBH=90°-2a+=90°—a

???FH=BH

乙HBF=乙BFH=90°-a

Z.FHB=180°-Z.FBH-乙BFH=2a

BFH是等腰三角形，BH=HF,HM1BF

乙BHM=乙FHM=a,BM=MF=-BF=-

22

在△/BE和^MHB中，

(Z.BAE=乙BMH=90°

t乙BHM=乙ABE=a

???△ABEMHB

?B?M?——=BH—二y1

AEBE

...BM=AE=-

2

BE=>]AE2+AB2=

AEV5

???sina^—=—

—BE5

②當(dāng)BF=FH^,

設(shè)FH與BC交苴為O

A