(國培計劃)談談新課程背景下高中數(shù)學教學的設計1

談談新課程背景下

高中數(shù)學課堂教學的設計重慶市渝中區(qū)教師進修學院王躍輝

《高中數(shù)學課程標準》指出：新一輪數(shù)學課程改革從理念、內容到實施，都有較大變化，……，教師不僅是知識的傳授者，而且也是學生學習的引導者、組織者和合作者。要實現(xiàn)數(shù)學課程改革的目標，教師必須首先要轉變教學觀念，其次要改變教學方式，教師的課堂教學應在課程理念與思想的指導下進行。一、新課程實施過程中高中數(shù)學教學存在的主要問題１．新課的引入過于注重情境創(chuàng)設，強調數(shù)學的生活化。２．教學不考慮學生的知識經驗與知識根底，不考慮學生的能力，片面強調“學生探究”。３．很多公開課都時髦采用“合作學習”、“動手操作”的教學方式進行教學，不考慮其必要性與有效性。二、數(shù)學課堂教學設計的前期工作1．理解知識３．理解教材２．了解學生(1)了解知識背景(2)理解知識本身(3)了解知識生成(4)了解知識作用(5)了解學生生活經驗(6)了解學生知識經驗(7)了解學生方法經驗(8)了解學生思維經驗(9)了解教材意圖(10)理解教材內容(11)了解教材前后聯(lián)系既要了解知識的形式化內容，又要清楚知識的本質，把握知識的來龍去脈。對學生情況了如指掌，做到心中有數(shù)。對教材的理解到達三種境界：１．“懂”：即讀懂教材是什么？讀懂編者為什么？２．“透”：教材的深刻內涵，即有形與無形的知識。３．“化”：內化與轉化，即將教材內容內化為自己的知識內容，把教材內容轉化為教學內容．二、數(shù)學課堂教學設計的前期工作(1)了解知識背景

所謂了解知識的背景，就是指在教學某個知識時，要清楚所教知識是怎么產生的。它是來源于生活，還是來源于數(shù)學本身。如果是來源于生活，就要以生活情境入手；如果是來源于數(shù)學本身，就要以數(shù)學問題入手。比方：數(shù)學歸納法的教學，應該以生活情境入手，還是應該以數(shù)學問題入手？數(shù)學歸納法的思想可以遠推至歐幾里得［公元前330-公元前275］．嚴格的數(shù)學歸納法是在16世紀后期才引入的．它是用來證明某些與自然數(shù)n有關的數(shù)學命題的一種方法．1575年意大利數(shù)學家、物理學家莫洛克斯在他的《算術》一書中明確提出了這一方法，并且用它證了1+3+……+(2n-1)=n2等；后來法國著名數(shù)學家帕斯卡［1623-1662］成認并引用了莫洛克斯這一方法，將其放在了他所著的《三角陣算術》一書中．因此，一般認為帕斯卡是數(shù)學歸納法的主要創(chuàng)造人．1713年J?伯努利在他的名著《猜度術》中首先采用了表示任意自然數(shù)的符號,并運用數(shù)學歸納法給出了一些證題的出色例子．“數(shù)學歸納法”這個名稱及數(shù)學歸納法的證題形式是德?摩根［1806-1871］所提出的．數(shù)學歸納法產生的過程(2)理解知識本身

所謂理解知識本身應從兩方面著手：一是要清楚所教知識內容是什么？二是要弄清所教知識的本質。只有弄清了這兩個問題，教學設計時才能處理好知識的教學方式與方法。這里所說的知識是指《大綱》或《課標》中規(guī)定的數(shù)學概念、性質、法那么、公式、公理和定理，以及由其中反映的數(shù)學思想方法，除此之外，還包括按一定的程序與步驟進行運算、數(shù)據(jù)處理、繪制圖表等根本技能。二、數(shù)學課堂教學設計的前期工作集合是一個原始概念如：集合的概念１．把滿足某個條件的對象合在一起就構成集合；２．把滿足某個條件的對象并在一起就構成集合；３．把具有某個特點的對象看成一個整體就構成集合；４．把具有某個特點的對象集在一起就構成集合；５．把指定的對象看成一個整體就構成集合；６．把指定的對象集在一起就構成集合；又如：數(shù)學歸納法1．數(shù)學歸納法是一個什么推理方法？推理過程P(n)成立且由P(n)?P(n+1)成立一個無窮三段論推理方法演繹法２．數(shù)學歸納法的形式是什么？３．數(shù)學歸納法的實質是什么？靜態(tài)的兩步程式P(n)成立且由P(n)?P(n+1)成立一個無窮循環(huán)遞推的“動態(tài)過程”P(1)成立?P(2)成立?P(3)成立?……?P(n-1)成立?P(n)成立?……4．數(shù)學歸納法是定理還是公理？數(shù)學歸納法的根底皮亞諾公理和最小自然數(shù)原理數(shù)學歸納法是定理，不是公理5．高中階段應怎樣來看待數(shù)學歸納法？當作公理用生活實例幫助學生理解自明性自明性不明顯公理公理特征(3)了解知識生成

所謂了解知識的生成，就是指教師在進行教學設計時，要弄清所教知識是否可以由某些舊知識拓展而得。如果是，那么在進行教學設計時就應從學生已有的這些知識出發(fā)。二、數(shù)學課堂教學設計的前期工作比方：對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)對數(shù)指數(shù)函數(shù)及其性質反函數(shù)函數(shù)性質函數(shù)概念單調函數(shù)反函數(shù)指數(shù)函數(shù)單調函數(shù)指數(shù)函數(shù)有反函數(shù)單調函數(shù)有反函數(shù)對數(shù)函數(shù)(4)了解知識作用

所謂了解知識的作用，就是指所教知識主要用來做什么，它對學生后繼學習有什么幫助。只有知道了知識的作用，才能恰當?shù)貙χR的教學進行教學設計。二、數(shù)學課堂教學設計的前期工作如：數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)n有關的數(shù)學命題的一種方法．因此，在教學數(shù)學歸納法時，必須讓學生明確兩點：一是，數(shù)學歸納法只能用來證明與自然數(shù)n有關的數(shù)學命題，與自然數(shù)無關的命題就不能用數(shù)學歸納法證明；二是，不是所有與自然數(shù)有關的命題都能用數(shù)學歸納法來證明，它只能解決其中的局部問題。二、數(shù)學課堂教學設計的前期工作

所謂了解學生的生活經驗，就是指學生在學習某個知識時，是否具有與之相應的生活經歷。如果有，那么在教學設計時就可從相應的生活經驗入手。如：在教學數(shù)學歸納法時，為了說明數(shù)學歸納法使用的合理性，教學設計就應考慮哪些生活內容與數(shù)學歸納法的處理方式相同，學生是否具有這些生活經驗。〔5〕了解學生生活經驗〔6〕了解學生知識經驗所謂了解學生知識經驗，就是指所教的知識是以什么知識為根底，學生是否具有這些相應的知識。如果沒有，那么在教學設計時就要有補充相應知識的環(huán)節(jié)。二、數(shù)學課堂教學設計的前期工作如：教材在安排學生學習集合知識時，首先以下面的方式出現(xiàn)：這是為什么？

其理由是：雖然集合概念是一個新知識，但是對于“集合”這個詞語學生在初中數(shù)學學習中已有接觸，所以沒有必要把它作為一個全新的知識來教學，而應從學生已有的這些知識出發(fā)。又如：第一章的章引言

解決這個問題需要什么知識與方法？學生能解決這個問題嗎？學生在小學數(shù)學學習：“數(shù)的加法”、“最小公倍數(shù)”、“最大公約數(shù)”等內容時，是用集合的相關思想與方法這解決的，而解答這個問題也可以用相應的這些思想方法，所以學生完全能夠解答。由此還可知，教材這樣安排還有另一個意圖：即希望教師在教學集合概念時，應以此或類似的問題為問題情境。〔7〕了解學生方法經驗

所謂了解學生的方法經驗，就是指教師在教學某個知識時，學生是否掌握了解決相應問題的數(shù)學方法，或者是否能理解解決相應問題的方法的能力。如：學生在數(shù)學歸納法時，就要涉及不完全歸納法和遞推法。對于遞推法，學生應該是掌握得比較好，所以教材采用了直接應用；而對于不完全歸納法，學生會用，但不一定知道由不完全歸納法所推得的結論不一定正確，所以教材通過兩問題加以說明。二、數(shù)學課堂教學設計的前期工作〔8〕了解學生思維經驗

所謂了解學生的思維經驗，就是指了解學生在學習某個知識時，是否具有理解所學知識的思維能力。如果沒有，那么教師在教學設計時就要有解決學生相應問題的措施。二、數(shù)學課堂教學設計的前期工作二、數(shù)學課堂教學設計的前期工作

所謂了解教材意圖，就是指教師在進行教學設計時，要弄清教材這樣編排的目的、意義。只有理解了教材意圖，教學設計才能知道如何使用教材，充分發(fā)揮教材的作用，教學才會有效。〔9〕了解教材意圖如：集合概念教材把學生在初中接觸過的幾個概念放在前面的意圖主要有：一是教師的教學應考慮學生已有的學習經驗；二是要求教師教學時應以這些概念為根底引導學生抽象概括出集合的概念；三是讓學生通過集合概念的學習，體會數(shù)學概念的形成過程；四是高中數(shù)學教學要注意初高中知識的銜接。二、數(shù)學課堂教學設計的前期工作〔10〕理解教材內容

所謂理解教材內容，就是指教師在進行教學設計時，要理解教材中在處理設計所教知識時，所涉及的所有知識的意義，弄清其中所蘊含的數(shù)學思想方法及對學生能力的要求，。只有真正的理解了教材內容，教學設計才能很好地把握教材，有效地利用教材。在這局部教材中，共涉及了如下的知識與數(shù)學思想方法：１．等差數(shù)列的通項公式及推導方法；２．遞推法和不完全歸納法；３．數(shù)學歸納法；４．多米諾骨牌及其現(xiàn)象。又如：數(shù)學歸納法主要從學生已有知識經驗出發(fā)，讓學生明確：用不完全歸納法得到的結論可能正確。讓學生通過具體問題的研究發(fā)現(xiàn)，用不完全歸納法得到的結論可能不正確。提出本節(jié)課要研究的問題旁批采用這種表述方法，說明“數(shù)學歸納法”知識在前，“多米諾骨牌”現(xiàn)象在后，因此“多米諾骨牌”現(xiàn)象只能用來幫助學生理解“數(shù)學歸納法”，而不是用來作為“數(shù)學歸納法”教學的情境創(chuàng)設。我們要理解教材這樣安排的更深層的含義。如果我們仔細研究就可以發(fā)現(xiàn)，這個推導過程中就蘊含了“數(shù)學歸納法”的兩個步驟！因此，教材這樣安排的目的就是要求教師在教學數(shù)學歸納法時，要從這個問題著手?！?1〕了解教材前后聯(lián)系

所謂了解教材的前后聯(lián)系，就是指教師在進行教學設計時，要弄清所教知識與教材前后知識間的關系。只有對教材的前后聯(lián)系有了一個清楚的認識，教學設計才能把握知識的來龍去脈，才能知道教學應從何做起。二、數(shù)學課堂教學設計的前期工作拋物線及其標準方程與教材的前后聯(lián)系是：1．拋物線及其標準方程是學生學習圓錐曲線內容的最后一個知識，在此之前學生已經學習了橢圓和雙曲線。３．在這兩個例題的根底上，教材又給出了橢圓和雙曲線的第二定義。我們知道，橢圓的離心率為0<e<1,雙曲線的離心率為e>1，而拋物線的離心率為e=1，所以教師在進行拋物線及其標準方程的教學設計時，應從橢圓和雙曲線的第二定義出發(fā)，引導學生通過對兩曲線離心率的研究開始。２．學生在橢圓和雙曲線的學習過程中分別研究過如下兩個例題：如：拋物線及其標準方程三、教學設計應注意哪些問題？1．數(shù)學概念教學設計應注意的問題概念教學的設計要注意揭示概念的本質，注重概念形成過程，培養(yǎng)學生抽象概括的能力。直接出示概念概念辨析概念應用反對幾個例子一次性歸納如：集合的概念具體實例研究構成集合的元素可以是什么？有什么特點？定義集合概念應用三、教學設計應注意哪些問題？１．數(shù)學定理、性質教學設計應注意的問題定理、性質教學設計要注意揭示其背景、發(fā)生開展過程。反對直接給出定理定理證明定理應用如：直線與平面垂直的判定定理由直線與平面垂直定義探索直線與平面垂直的判定方法給出定理生活經驗定義有限一條條兩數(shù)學問題又如：數(shù)學歸納法探索規(guī)律形成結論三、教學設計應注意哪些問題？１．數(shù)學方法教學設計應注意的問題

數(shù)學方法教學的設計應該返璞歸真，使學生獲取的方法成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程，提高學生的探索能力、創(chuàng)造能力和創(chuàng)新意識。反對直接給出方法方法應用如：拋物線的畫法設計特點分析教學過程中豐富學生的學習方式是高中數(shù)學課程追求的根本理念，獨立思考、自主探究、動手實踐、合作交流是學習數(shù)學的重要方式，通過這些方式引導學生探求拋物線的軌跡，讓學生完整經歷數(shù)學知識產生、形成和開展的過程，不但加深了對知識的理解和掌握，而且還能培養(yǎng)學生的問題意識，孕育創(chuàng)新精神。對于數(shù)學歸納法教學，教師們?yōu)榱嗽诮虒W中表達“數(shù)學來源于生活，反過來又為生活效勞”這一課程理念，常以生活經驗——“多米諾骨牌”等現(xiàn)象作為本節(jié)課的引入。四、教學設計應恰當表達課程理念如：數(shù)學歸納法的教學五、數(shù)學教學的結構設計方法１．從整體上設計教學結構所謂從整體上設計教學結構，就是撇開具體內容，主要考慮一節(jié)課的教學程序的幾個環(huán)節(jié)。設計時應注重對過程教學的思考：即在對知識的教學時，應注意其來龍去脈及前后聯(lián)系，注意讓學生經歷人類獲取知識的一個根本思維過程的設計；在對方法的教學時，應注意讓學生獲得其方法的過程的設計。【范例１】拋物線及其標準方程設計特點分析●關注學生經驗〔從學生已有知識經驗出發(fā)〕；●注意教材的前后聯(lián)系；●表達知識的生成性〔新知識是舊知識的引申與開展〕；●把握了知識的內部結構〔考慮了初高中數(shù)學知識間的關系，注意了知識的系統(tǒng)性〕；●注重過程教學〔注意知識的來龍去脈和和概念的形成過程〕；●注重培養(yǎng)學生“數(shù)學地研究問題”的方法和能力。２．從局部設計教學結構所謂從局部設計教學結構，就是撇開具體內容，在整體設計的根底上考慮每一個環(huán)節(jié)的教學程序的幾個步驟。設計時也應注重對過程教學的思考：即在對某個問題的處理上，應注意對知識本質、知識的呈現(xiàn)過程的設計。五、數(shù)學教學的結構設計方法【范例１】拋物線及其標準方程設計特點分析在學生已有的知識經驗的根底上，由實數(shù)分類的完備性，自然提出當e=1時的軌跡問題，使學生形成認知沖突。這樣引入新課，既有利于激活學生的原有認知，激發(fā)學生的求知欲，又有利于培養(yǎng)學生思維的嚴密性，提高學生數(shù)學地思考問題的能力。這種設計有利于發(fā)揮學生學習的主動性，讓學生不僅在思維上積極主動地參與教學活動，而且讓學生在行為上也能積極地參與教學活動?！痉独薄繏佄锞€及其標準方程設計特點分析這六個環(huán)節(jié)構成了教師對拋物線概念教學的整個過程，環(huán)環(huán)緊扣，它表達了解析幾何問題研究的一種思路與方法。這個過程也可簡述為如下：反思→猜測→驗證猜測→形成概念。這個過程也正是我們數(shù)學學科研究問題的一個完整的思維過程。３．對教學行為的設計

所謂教學法行為的設計，就是老師對每一個環(huán)節(jié)進行課堂教學的模擬設計，即撰寫每一個教學環(huán)節(jié)的具體內容，描述教師的教和學生學的詳細過程。設計時應注意：在對知識本質的教學時，要注重知識的內在聯(lián)系、規(guī)律的形成過程、方法的提煉過程；在知識的呈現(xiàn)方式與處理策略上，要注意對學生獲取該知識與方法的有效性。五、數(shù)學教學的結構設計方法課堂引入探究軌跡的畫法探究軌跡的方程拋物線的定義【范例１】拋物線及其標準方程謝謝！初中課標內容與大綱的比照代數(shù)局部刪除的內容1．立方和公式與立方差公式2．因式分解中的十字相乘法(只要求學生會分解二次項系數(shù)為1的代數(shù)式)分組分解法3．含有字母的方程4．三元一次方程組5．根式的分母有理化、最簡根式,根式化簡6．畫頻率分布直方圖代數(shù)局部刪除的內