第1章 全等三角形 章末測(cè)試卷（培優(yōu)卷）（解析版）-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）

第第頁(yè)第一單元全等三角形（培優(yōu)卷）（考試時(shí)間：45分鐘試卷滿分：100分）選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）。1．如圖，已知△ABC的六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙【答案】B【解答】解：圖甲不符合三角形全等的判定定理，即圖甲和△ABC不全等；圖乙符合SAS定理，即圖乙和△ABC全等；圖丙符合AAS定理，即圖丙和△ABC全等；故選：B．2．下列說法中不正確的是（）A．全等三角形一定能重合 B．全等三角形的面積相等 C．全等三角形的周長(zhǎng)相等 D．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等【答案】D【解答】解：根據(jù)全等三角形的定義可得A、B、C正確，但是周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故選：D．3．如圖，要使△ABC≌△ABD，下面給出的四組條件，錯(cuò)誤的一組是（）A．∠C＝∠D，∠BAC＝∠BAD B．BC＝BD，AC＝AD C．∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD D．BD＝BC，∠BAC＝∠BAD【答案】D【解答】解：A、∠C＝∠D，∠BAC＝∠BAD，又AB＝AB，根據(jù)AAS證明△ABC和△ABD全等，故本項(xiàng)正確，不符合題意；B、BC＝BD，AC＝AD，又AB＝AB，根據(jù)SSS證明△ABC和△ABD全等，故本項(xiàng)正確，不符合題意；C、∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD，又AB＝AB，根據(jù)ASA證明△ABC和△ABD全等，故本項(xiàng)正確，不符合題意；D、BD＝BC，∠BAC＝∠BAD，又AB＝AB，不能證明△ABC和△ABD全等，故本項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．4．如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上兩點(diǎn)C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使點(diǎn)E與A，C在同一條直線上，這時(shí)，可得△ABC≌△EDC，這時(shí)測(cè)得DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)．判定△ABC≌△EDC最直接的依據(jù)是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS【答案】C【解答】解：因?yàn)樽C明在△ABC≌△EDC用到的條件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（對(duì)頂角相等），所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等即ASA這一方法．故選：C．5．如圖，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么補(bǔ)充下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．AB＝AC C．∠AEB＝∠ADC D．BE＝CD【答案】C【解答】解：A、根據(jù)AAS（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AD＝AE）能推出△ABE≌△ACD，故本選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)ASA（∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C）能推出△ABE≌△ACD，故本選項(xiàng)不符合題意；C、三角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形不一定全等，故本選項(xiàng)符合題意；D、根據(jù)AAS（∠A＝∠A，∠B＝∠C，BE＝CD）能推出△ABE≌△ACD，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．下列結(jié)論：①∠DEC＝∠BDA；②若AD＝DE，則BD＝CE；③當(dāng)DE⊥AC時(shí)，則D為BC中點(diǎn)；④當(dāng)△ADE為等腰三角形時(shí)，∠BAD＝40°．其中正確的有（）個(gè)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴由三角形內(nèi)角和定理知：∠DEC＝∠BDA．故①正確；②∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，由①知：∠DEC＝∠BDA．∵AD＝DE．∴△ABD≌△DCE．∴BD＝CE，故②正確；③∵D為BC中點(diǎn)，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故③正確；④∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE為等腰三角形，∴AE＝DE或AD＝DE，當(dāng)AE＝DE時(shí)，∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，故④不正確．故選：C．7．如圖，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，則∠B與∠ADC滿足的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°【答案】C【解答】解：在射線AD上截取AE＝AB，連接CE，如圖所示：∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠EAC，在△ABC與△AEC中，，∴△ABC≌△AEC（SAS），∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，∵CB＝CD，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴∠B＝∠CDE，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°．故選：C．8．如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O，若∠1＝38°，則∠BDE的度數(shù)為（）A．71° B．76° C．78° D．80°【答案】A【解答】解：∵AE和BD相交于點(diǎn)O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝38°，∴∠C＝∠EDC＝71°，∴∠BDE＝∠C＝71°．故選：A．9．如圖1，已知AB＝AC，D為∠BAC的角平分線上面一點(diǎn)，連接BD，CD；如圖2，已知AB＝AC，D、E為∠BAC的角平分線上面兩點(diǎn)，連接BD，CD，BE，CE；如圖3，已知AB＝AC，D、E、F為∠BAC的角平分線上面三點(diǎn)，連接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次規(guī)律，第n個(gè)圖形中有全等三角形的對(duì)數(shù)是（）A．n B．2n﹣1 C． D．3（n+1）【答案】C【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD與△ACD中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD．∴圖1中有1對(duì)三角形全等；同理圖2中，△ABE≌△ACE，∴BE＝EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD＝CD，又DE＝DE，∴△BDE≌△CDE，∴圖2中有3對(duì)三角形全等；同理：圖3中有6對(duì)三角形全等；由此發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是．故選：C．10．如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3個(gè)△A2A3E…按此做法繼續(xù)下去，則第n+1個(gè)三角形中以An+1為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝70°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°；同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°，∴第n+1個(gè)三角形中以An+1為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（）n×70°．故選：A．填空題(本題共6題，每小題3分，共18分）。11．如圖，在△ACD與△BCE中，AD與BE相交于點(diǎn)P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，則∠APB的度數(shù)為50°．【答案】50°．【解答】解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE，∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，∴∠ACD+∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝155°+55°＝210°，∴∠BCE＝∠ACD＝105°，∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝105°﹣55°＝50°，∵∠A＝∠B，∠1＝∠2，∴∠APB＝∠ACB＝50°，故答案為50°．12．在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖），已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4＝4．【答案】4．【解答】解：如圖，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD．在△ABC和△BED中，，∴△ABC≌△BED（AAS），∴BC＝DE．∵S2＝DE2，DE＝BC，∴S2＝BC2．∵S1＝AC2，S2＝BC2，AC2+BC2＝AB2，AB2＝1，∴S1+S2＝1．同理S3+S4＝3．則S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．13．如圖，C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），在AB的上方分別作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于點(diǎn)P．有下列結(jié)論：①AE＝DB；②∠APB＝2∠ADC；③當(dāng)AC＝BC時(shí)，PC⊥AB；④PC平分∠APB．其中正確的是①②③④．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】①②③④．【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝DB，故①正確；∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠ACD＝∠CDB+∠CBD，∴∠ACD＝∠CAE+∠CBD，∵∠CAE+∠CBD+∠APB＝180°，∴∠ACD+∠APB＝180°，∵AC＝DC，∴∠CAD＝∠ADC，∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠ACD+2∠ADC＝180°，∴∠APB＝2∠ADC，故②正確；∵AC＝BC，AC＝DC，BC＝EC，∴AC＝BC＝DC＝EC，∴∠CAE＝∠CBD，∴PA＝PB，∵AC＝BC，∴PC⊥AB，故③正確；如圖，連接PC，過點(diǎn)C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，∵△ACE≌△DCB，∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，∴×AE×CG＝×DB×CH，∴CG＝CH，∵CG⊥AE，CH⊥BD，∴PC平分∠APB，故④正確，故答案為：①②③④．14．如圖，已知△ABC的面積為16，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于點(diǎn)P，則△BPC的面積是8．【答案】8．【解答】解：延長(zhǎng)AP交BC于D，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠DBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠DPB＝90°，在△APB和△DPB中，，∴△APB≌△DPB（ASA），∴AP＝PD，∴S△APB＝S△DPB，S△APC＝S△DPC，∴△BPC的面積＝×△ABC的面積＝8，故答案為：8．15．如圖，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S是50．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH?∠FED＝∠EFA＝∠BGA＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°?∠EAF＝∠ABG，∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG?△EFA≌△ABG∴AF＝BG，AG＝EF．同理證得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故答案為50．16．如圖，∠MON＝90°．△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上．當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，△ABC的形狀保持不變，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為14．【答案】14．【解答】解：作CD⊥AB于點(diǎn)D，連接OD，∵AC＝BC＝10，AB＝12，∴點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，∴BD＝8，∴CD＝＝8，∵∠AOB＝90°，AB＝12，∴OD＝6，∵OC≤OD+CD，∴當(dāng)點(diǎn)O、D、C在同一直線上時(shí)，OC取得最大值，此時(shí)OC＝OD+CD＝6+8＝14，故答案為：14．三、解答題（本題共5題，17題-20題，每題10分，21題12分）。17．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．已知AD＝2cm，BC＝5cm．（1）求證：FC＝AD；（2）求AB的長(zhǎng)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵E是CD的中點(diǎn)（已知），∴DE＝EC（中點(diǎn)的定義）．∵在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD（全等三角形的性質(zhì)）；（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC+CF，∵AD＝CF（已證），∴AB＝BC+AD（等量代換）＝5+2＝7（cm）．18．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，（1）求證：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的長(zhǎng)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE＝AF，∵AC＝20，CF＝BE＝4，∴AE＝AF＝20﹣4＝16，∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．19．【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是B．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是C．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故選B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選C．（3）證明：延長(zhǎng)AD到M，使AD＝DM，連接BM，∵AD是△ABC中線，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．20．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA＝115°時(shí)，∠EDC＝25°，∠AED＝65°；（2）線段DC的長(zhǎng)度為何值時(shí)，△ABD≌△DCE，請(qǐng)說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°，故答案為：25；65；（2）當(dāng)