專(zhuān)題02 探索三角形全等的條件（六大類(lèi)型）（題型專(zhuān)練）（解析版）-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）

第第頁(yè)專(zhuān)題02探索三角形全等的條件（六大類(lèi)型）【題型1判定全等角形（SSS）】【題型2判定全等角形（SAS）】【題型3判定全等角形（ASA）】【題型4判定全等角形（AAS）】【題型5判定全等角形（HL）】【題型6全國(guó)等三角形的哦安定與性質(zhì)綜合應(yīng)用】【題型1判定全等角形（SSS）】1．（2023八上·永城期末）如圖，點(diǎn)C在∠AOB的OB邊上，用尺規(guī)作出了CN∥OA，連接EN，作圖痕跡中，△ODM≌△CEN根據(jù)的是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：OM=CN，∴△ODM≌△CEN的依據(jù)是“SSS”，故答案為：B.2．（2022八上·德惠期末）如圖，以∠CAB頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，再分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于12EF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D，作射線(xiàn)AD，則說(shuō)明A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【解析】【解答】解：由作圖知：AE=AF，ED=FD，又∵AD=AD，∴△AED?△AFD(SSS)，∴△FAD=△EAD，即∠CAD=∠DAB，∴說(shuō)明∠CAD=∠DAB的依據(jù)是SSS，故答案為：A．3．（2023八上·內(nèi)江期末）如圖，點(diǎn)E、F在BC上，AB=CD，AF=DE，AF、DE相交于點(diǎn)G，添加下列哪一個(gè)條件，可使得△ABF≌△DCE（）A．∠B=∠CB．AG=DGC．∠AFE=∠DEFD．BE=CF【答案】D【解析】【解答】解：A、由∠B=∠C，AB=CD，AF=DE，不能證明△ABF≌△DCE，不符合題意；B、由AG=DG，AB=CD，AF=DE，不能證明△ABF≌△DCE，不符合題意；C、由∠AFE=∠DEF，AB=CD，AF=DE，不能證明△ABF≌△DCE，不符合題意；D、由BE=CF即可證明BF=CE，AB=CD，AF=DE，可以由SSS證明△ABF≌△DCE，符合題意；故答案為：D.4．（2023八上·杭州期末）已知：如圖，點(diǎn)A，D，B，【答案】證明：∵AD=BE，∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE，在△ABC與△EDF中，AB=EDAC=EF∴△ABC≌△EDF(∴∠EDF=∠ABC.【解析】【分析】根據(jù)已知條件可知AD=BE，結(jié)合線(xiàn)段的和差關(guān)系可得AB=DE，利用SSS證明△ABC≌△EDF，據(jù)此可得結(jié)論.5．（2022八上·京山期中）如圖，B，E，C，F(xiàn)在一條直線(xiàn)上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：∠A＝∠D.【答案】證明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，BC=EFAB=DE∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A＝∠D.【解析】【分析】根據(jù)BE=CF易得BC=EF，從而利用SSS判斷出△ABC≌△DEF，進(jìn)而根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可得出答案.6．（2022八上·老河口期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，OB=OC.求證：BD=CD.【答案】證明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.∵∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB.∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.在△ABO和△ACO中AB=AC，∴△ABO≌△ACO(SSS).∴∠BAD=∠CAD.∴BD=CD.【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBC=∠OCB，根據(jù)角平分線(xiàn)的概念可得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則∠ABC=∠ACB，推出AB=AC，利用SSS證明△ABO≌△ACO，得到∠BAD=∠CAD，據(jù)此證明.7．（2022八上·嘉興期中）如圖，AB=AD，BC=DC，求證：∠1=∠2.【答案】證明：在△ABC和△ADC中，AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠1=∠2.【解析】【分析】由已知條件可知AB=AD，BC=DC，AC=AC，利用SSS證明△ABC≌△ADC，據(jù)此可得結(jié)論.8．（2022八上·定南期中）如圖，在△ABC與△DCB中，AB=DC，AC=BD，AC與BD交于M.求證：BM=CM.【答案】證明：∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB=∠DBC，BM=CM．【解析】【分析】先利用“SSS”證明△ABC≌△DCB，再利用全等三角形的性質(zhì)可得∠ACB=∠DBC，BM=CM。9．（2022八上·吉林期中）如圖，AC=EC，CB=CD，AB=ED，求證：△ACB≌△ECD．【答案】證明：在△ACB和△ECD中，AC=ECCB=CD∴△ACB≌△ECD(SSS)．【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SSS即可證明。10．（2022八上·大興期中）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線(xiàn)上，AE=BF，EC=FD，AB=CD．求證：△EAC≌△FBD．【答案】證明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△EAC和△FBD中，AE=BFEC=FD∴△EAC≌△FBD(SSS)．【解析】【分析】先證明AC=BD，再利用“SSS”證明△EAC≌△FBD即可。11．（2022八上·義烏期中）如圖，AB=CD，AE=DF，CE=BF，說(shuō)出∠B=∠C的理由．解：∵CE=BF()，∴CE+EF=BF+FE，即CF=BE．在△ABE和△DCF中，AB=__________(已知)，∴△ABE≌△DCF()，∴∠B=∠C().【答案】解：∵CE=BF（已知），

∴CE+EF=BF+FE，即CF=BE，在△ABE和△DCF中，AB=CD(已知)，∴△ABE≌△DCF（SSS），

∴∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.【解析】【分析】根據(jù)題目給定條件，結(jié)合給定步驟，利用“SSS”定理證明△ABE≌△DCF，據(jù)此補(bǔ)充過(guò)程即可.12．（2022八上·龍港期中）已知：如圖，AC＝BD，AD＝BC.求證：∠C＝∠D.【答案】證明：在△ABC和△BAD中，AC=BDBC=AD∴△ABC≌△BAD（SSS），∴∠C＝∠D.【解析】【分析】利用SSS證得△ABC≌△BAD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得∠C=∠D.16．（2022八上·永善期中）如圖，已知點(diǎn)C，F(xiàn)在直線(xiàn)AD上，且有BC=EF，AB=DE，CD=AF。求證：△ABC≌△DEF?！敬鸢浮孔C明：∵CD=AF，∴CD+CF=AF+CF，即DF=AC，在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF（SSS）【解析】【分析】先證出DF=AC，再利用SSS即可證出△ABC≌△DEF.13．（2023八上·平昌期末）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)B、F、C、E在同一直線(xiàn)上，AB=DE，BF=CE，【答案】證明：∵BF=CE，∴BF+CF=CE+CF，即BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠E∴△ABC≌△DEF【解析】【分析】根據(jù)BF=CE結(jié)合線(xiàn)段的和差關(guān)系可得BC=EF，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠B=∠E，由已知條件可知AB=DE，然后利用全等三角形的判定定理進(jìn)行證明.【題型2判定全等角形（SAS）】14．（2023八上·南充期末）如圖，AB=AC，AD=AE，∠ACB=∠AED.（1）求證：BD=CE；（2）若AD∥CE，∠1=23°，∠2=27°，求∠3的度數(shù).【答案】（1）證明：如圖，

∵AB=AC，AD=AE∴∠ABC=∠ACB，∠3=∠AED.∵∠ACB=∠AED，

∴∠ABC=∠ACB=∠3=∠AED.∴∠BAC=∠DAE.

∴∠1=∠4.∵AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD=CE；（2）解：由（1），∠1=∠4=23°.

∴∠4+∠2=50°∴∠AEC=180°?50°=130°∵AD∥CE，

∴∠3=∠5.∴∠AED=∠5=∴∠3=65°.【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得∠ABC=∠ACB，∠3=∠AED，結(jié)合已知和三角形內(nèi)角和定理得∠BAC=∠DAE，推出∠1=∠4，從而可用SAS判斷出△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得BD=CE；

（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等并結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得∠AEC=130°，根據(jù)二直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得∠3=∠5，又∠3=∠AED，從而可得∠AED=1215．（2023八上·嘉興期末）如圖，在等邊△ABC的邊AC，BC上各取一點(diǎn)D，E，使AD=CE，AE，BD相交于點(diǎn)O.（1）求證：△ABD≌△CAE；（2）求∠BOE的度數(shù).【答案】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠C=∠BAD=60°，

在△ABD和△CAE中

AD=CE∠BAD=∠CAB=AC

（2）解：∵△ABD≌△CAE，

∴∠ABD=∠CAE，

∵∠BOE=∠BAD+∠BAO=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°【解析】【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可證得AB=AC，∠C=∠BAD=60°，利用SAS可證得結(jié)論.（2）利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可證得∠ABD=∠CAE，再利用三角形外角的性質(zhì)去證明∠BOE=∠BAC，即可求出∠BOE的度數(shù).16．（2022八上·松原期末）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，試判斷BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系．小明發(fā)現(xiàn)，在BC上截取CA′＝CA，連接DA′，從而將問(wèn)題解決（如圖2）．（1）求證：△ADC≌△A′DC；（2）試猜想寫(xiě)出BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）證明：在BC上截取CA′＝CA，連接DA′，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，在△ACD和△A′DC中，AC=A∴△ADC≌△A′DC（SAS）；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°，∵△ADC≌△A′DC，∴∠A=∠CA′D=60°，AD=A′D，∵∠CA′D是△A′DB的外角，∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=60°-30°=30°，∴∠A′DB=∠B=30°，∴A′D=A′B，∴AD=A′B，∴BC=A′C+A′B=AC+AD．【解析】【分析】（1）利用“SAS”證明△ADC≌△A′DC即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠A=∠CA′D=60°，AD=A′D，再求出∠A′DB=∠B=30°，可得A′D=A′B，最后利用線(xiàn)段的和差及等量代換可得BC=A′C+A′B=AC+AD。17．（2023八上·安順期末）如圖，D、C、F、B四點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，AB=DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)F，CD=BF．（1）求證：△ABC≌△EDF．（2）連結(jié)AD、BE，求證：AD=EB．【答案】（1）證明：∵AC⊥BD，EF⊥BD

∴△ABC和△DEF是直角三角形

又∵CD＝BF

∴CD+CF＝BF+CF，

∴DF＝BC，

又∵AB=DE，

∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）．（2）證明：∵△ABC≌△EDF，

∴AC＝EF，

∵AC⊥BD，EF⊥BD

∴∠ACD＝∠EFB，

又∵CD=BF，

∴△ACD≌△EFB（SAS）

∴AD＝BE．【解析】【分析】（1）由題意易得△ABC和△DEF是直角三角形，由CD+CF＝BF+CF，可得DF＝BC，再根據(jù)HL證明三角形全等即可；

（2）由△ABC≌△EDF，可得AC＝EF，再由AC⊥BD，EF⊥BD可得∠ACD＝∠EFB，進(jìn)而用“SAS”定理證明△ACD≌△EFB，即可得出結(jié)論．18．（2023八上·港南期末）已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)P.（1）求證：△AEB≌△CDA；（2）求∠EPQ的度數(shù)；（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=7，PE=3，求BE的長(zhǎng).【答案】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，在△AEB和△CDA中，AB=CA∠BAE=∠C∴△AEB≌△CDA(SAS)（2）解：∵△AEB≌△CDA，∴∠ABE=∠CAD，∴∠BPQ=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC＝60°，∴∠EPQ=180°?∠BPQ=120°，∴∠EPQ的度數(shù)是120°.（3）解：∵BQ⊥AD于Q，PQ=7，PE=3，∴∠PQB=90°，∴∠BPQ=60°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×7=14，∴BE=BP+PE=14+3=17，∴BE的長(zhǎng)是17.【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AB=CA，∠BAE=∠C=60°，再根據(jù)SASA判斷出△AEB≌△CDA；

（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABE=∠CAD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等量代換可得∠BPQ=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=60°，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可算出答案；

（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠PBQ=30°，根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)得BP=2PQ=14，進(jìn)而由BE=BP+PE算出答案.【題型3判定全等角形（ASA）】19．（2023八上·金東期末）已知：如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線(xiàn)上，∠B=∠EFD，∠ACB=∠DEF，且BF=EC.求證：△ABC≌△DFE.【答案】解：∵BF=EC∴BF+CF=EC+CF，∴BC=EF，在△ABC和△DFE中，∵∴△ABC?△DFE(ASA).【解析】【分析】由已知條件可知∠B=∠EFD，∠ACB=∠DEF，BF=EC，結(jié)合線(xiàn)段的和差關(guān)系可得BC=EF，然后根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行證明.20．（2023八上·漢陰期末）如圖，在△ADC和△CEB中，點(diǎn)A、B、C在一條直線(xiàn)上，∠D=∠E，AD∥EC，AD=EC.求證：△ACD≌△CBE.【答案】證明：∵AD∥EC∴∠CAD=∠BCE在△ACD與△CBE中∠CAD=∠BCE∴△ACD≌△CBE(ASA)【解析】【分析】由二直線(xiàn)平行，同位角相等得∠CAD=∠BCE，從而用ASA判斷出△ACD≌△CBE.21．（2023八上·寧波期末）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，∠1=∠2，∠3=∠4.求證：BO=DO．【答案】證明：在△ABC和△ADC中

∠1=∠2AC=AC∠3=∠4

∴AB=AD∵∠1=∠2∴OB=OD【解析】【分析】利用ASA證明△ABC≌△ADC，利用全等三角形的性質(zhì)可證得AB=AD，利用等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可證得結(jié)論.22．（2022八上·甘井子期末）如圖：點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線(xiàn)上，F(xiàn)B=CE，AB//ED，AC//DF．求證：【答案】證明：∵FB=EC，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥ED∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，在△ABC與△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB=DE，AC=DF．【解析】【分析】先利用“ASA”證明△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性質(zhì)可得AB=DE，AC=DF?！绢}型4判定全等角形（AAS）】23．（2022八上·延慶期末）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在一條直線(xiàn)上，AB=DC，∠ECA=∠FBD，EC=FB．請(qǐng)判斷AE與DF的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】解：AE=DF，AE∥DF，證明如下：∵AB=DC，∴AB+BC=DC+CB．∴AC=DB．在△AEC和△DFB中，AC=DB∴△AEC?△DFB．∴AE=DF，∠EAC=∠FDB．∴AE∥DF．【解析】【分析】先利用“SAS”證明△AEC?△DFB，可得AE=DF，∠EAC=∠FDB，再證出AE∥DF即可。24．（2023八上·寧波期末）如圖，點(diǎn)B、E、C、F是同一直線(xiàn)上順次四點(diǎn)，AB∥DE，AB=DE，∠ACB=∠F，求證：BE=CF.【答案】證明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF.在△ABC和△DCE中，∠B＝∠DEF∠ACB=∠F∴△ABC≌△DCE（AAS）.∴BC=EF，∴BC?CE=EF?CE，即BE=CF.【解析】【分析】由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠B=∠DEF，根據(jù)已知條件可知∠ACB=∠F，AB=DE，利用AAS證明△ABC≌△DCE，得到BC=EF，然后根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系進(jìn)行證明.25．（2023八上·臨湘期末）已知，如圖，AB=AE，AB∥DE，∠ACB=∠D，求證：△ABC≌△EAD.【答案】證明：∵AB∥DE，∴∠CAB=∠E，在△ABC和△EAD中，∠ACB=∠D∠CAB=∠E∴△ABC≌△EAD(AAS).【解析】【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠CAB=∠E，由已知條件可知∠ACB=∠D，AB=AE，然后根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行證明.26．（2022八上·西城期末）如圖，A，D兩點(diǎn)在BC所在直線(xiàn)同側(cè)，AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分別為A，D．AC，BD的交點(diǎn)為E，AB=DC．求證：【答案】證明：∵AB⊥AC，∴∠A=90°，∴∠A=∠D．在△ABE和△DCE中，∠A=∠D∴△ABE≌△DCE．∴BE=CE．【解析】【分析】先利用“AAS”證明△ABE≌△DCE，再利用全等三角形的性質(zhì)可得BE=CE。27．（2022八上·鳳臺(tái)期末）如圖，AC∥DF，點(diǎn)B為線(xiàn)段AC上一點(diǎn)，連接BF交DC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BF分別交DC，DF于點(diǎn)G、點(diǎn)E．DG=CH．求證：△DFH≌△CAG．【答案】證明：∵AC∥DF，∴∠C=∠D，∠A=∠AED，∠AED=∠F，∴∠A=∠F，∵DG=CH，∴DG+GH=CH+GH，即DH=CG，在△DFH與△CAG中，∠A=∠F∠C=∠D∴△DFH≌△CAG(AAS)．28．（2022八上·濱海期中）如圖，DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F．AB=CD，AE=CF，BD交AC于點(diǎn)M，求證：MB=MD．【答案】證明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，∴△ABF和△CDE是直角三角形，在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CDAF=CE∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF=DE；在△DEM和△BFM中，∠DEM=∠BFM=90°∠DME=∠BMF∴△DEM≌△BFM(AAS)，∴MB=MD．【解析】【分析】根據(jù)HL證明Rt△ABF≌Rt△CDE，可得BF=DE，再根據(jù)AAS證明△DEM≌△BFM，可得MB=MD．【題型5判定全等角形（HL）】29.（2022八上·長(zhǎng)春期末）如圖，已知AC平分∠BAF，CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AF于點(diǎn)F，且BC=DC．求證：△CFD≌△CEB．【答案】證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，在Rt△CEB和Rt△CFD中，CE=CFCB=CD∴Rt△CFD≌Rt△CEB(HL)．【解析】【分析】先利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得CE=CF，再利用“HL”證明△CFD≌△CEB即可。30．（2023八上·岳池期末）如圖，已知AD是△ABC的邊BC上的高，E為AD上一點(diǎn)，且BE=AC，DE=DC．求證：∠DBE=∠DAC．【答案】解：∵AD是△ABC的邊BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠BDE=∠ADC=90°．在Rt△BDE和Rt△ADC中，BE=AC∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)∴∠DBE=∠DAC．【解析】【分析】根據(jù)三角形高的定義得∠BDE=∠ADC=90°，從而利用HL判斷Rt△BDE≌Rt△ADC，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得∠DBE=∠DAC．31．（2022八上·濱海期中）如圖，已知AC=BC，AC⊥OA，CB⊥OB，求證：△ACO≌△BCO．【答案】證明：∵AC⊥OA，CB⊥OB，AC=BC，∴在Rt△ACO與Rt△BCO中有：AC=BCOC=OC∴△ACO≌△BCO(HL)【解析】【分析】根據(jù)HL證明Rt△ACO≌Rt△BCO.32．（2022八上·定南期中）如圖所示，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF與AD交于點(diǎn)G，求證：AD垂直平分EF．【答案】證明：∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，∴AD垂直平分EF．【解析】【分析】利用“HL”證明Rt△AED≌Rt△AFD，可得AE=AF，再結(jié)合AD是∠BAC的平分線(xiàn)，即可得到AD垂直平分EF?！绢}型6全等三角形的判定與性質(zhì)】33．（2022八上·青田期中）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)A，D在直線(xiàn)BC的異側(cè)，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若∠BFD＝130°，求∠ACB的度數(shù).【答案】（1）證明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DEAC=DF∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）解：∵∠BFD＝130°，∠BFD+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝50°，由（1）知，△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∴∠ACB＝50°.【解析】【分析】（1）由BF＝EC可得BF+FC＝EC+FC，即得BC＝EF，根據(jù)SSS證明△ABC≌△DEF；

（2）由鄰補(bǔ)角可求出∠DFE＝50°，再利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACB＝∠DFE=50°34．（2023八上·東方期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，DE⊥BC于E.（1）求證：BA=BE；（2）若BC=12，求△DEC的周長(zhǎng).【答案】（1）證明：∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD=∠EBD，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠A=90°，在△ABD和△EBD中，∠A=∠DEB∠ABD=∠DBE∴△ABD≌△EBD(AAS)，∴BA=BE；（2）解：∵△ABD≌△EBD，∴AD=DE，AB=BE，∴△DEC的周長(zhǎng)為DE+EC+CD=AD+CE+CD=AC+CE=BA+CE=BE+CE=BC=12.【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的概念可得∠ABD=∠EBD，由垂直的概念可得∠DEB=∠A=90°，利用AAS證明△ABD≌△EBD，據(jù)此可得結(jié)論；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=DE，AB=BE，則可將△DEC的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為BC，據(jù)此解答.35．（2023八上·南寧期末）如圖，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一直線(xiàn)上，點(diǎn)A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，BF=CE，∠A=∠D.（1）求證：AB=CD.（2）若AB=CF，試判斷△CDF的形狀，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，若∠B=30°，求∠DFB的度數(shù).【答案】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∵BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠C∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB=CD；（2）解：△CDF是等腰三角形，理由如下：∵AB=CF，AB=CD，∴CD=CF，∴△CDF是等腰三角形；（3）解：∵∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∵CD=CF，∴∠CFD=∠D=180°?∠C∴∠DFB=180°?∠CFD=105°.【解析】【分析】（1）由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠B=∠C，估計(jì)BF=CE結(jié)合線(xiàn)段的和差關(guān)系可得BE=CF，利用AAS證明△ABE≌△DCF，據(jù)此可得結(jié)論；

（2）由已知條件可知AB=CF，結(jié)合（1）的結(jié)論可得CD=CF，據(jù)此可得△CDF的形狀；

（3）由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠B=∠C=30°，由等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得∠CFD=∠D=75°，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.36．（2023八上·鳳凰期末）如圖，BE=BC，（1）求證：△ABC?△DBE；（2）求證：AE=DC.【答案】（1）證明：在△ABC與△DBE中∠A=∠D∴△ABC?△DBE（2）證明：∵△ABC?△DBE，∴AB=DB，又已知BE=BC，∴AB?BE=DB?BC，即：AE=DC【解析】【分析】（1）由已知條件可知BE=BC，∠A=∠D，由圖形可得∠B=∠B，然后根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行證明；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=DB，然后結(jié)合BE=BC以及線(xiàn)段的和差關(guān)系進(jìn)行證明.37．（2023八上·金華期末）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，CF//AB，DF交AC于點(diǎn)E，DE=EF.（1）求證：△ADE≌△CFE（2）若AB=5，CF=3，求BD的長(zhǎng).【答案】（1）證明：∵CF//AB，∴∠A=∠ECF，在ΔADE和ΔCFE中，∠A=∠ECF∠ADE=∠F∴△ADE≌△CFE（AAS）；（2）解：∵ΔADE≌ΔCFE，CF=3，∴AD=CF=3，∴BD=AB?AD=5?3=2【解析】【分析】（1）根據(jù)二直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得∠A=∠ECF，∠F=∠ADE，用AAS判斷出△ADE≌△CFE；

（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得AD=CF=3，進(jìn)而根據(jù)BD=AB-AD算出答案.38．（2023八上·澄城期末）等腰Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)A，C分別在x軸，（1）如圖1，求證：∠BCO=∠CAO．（2）如圖2，若OA=10，OC=4，求B點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖3，點(diǎn)C(0，4)，Q，A兩點(diǎn)均在x軸上，且S△CQA=36，分別以AC，CQ為腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，連接MN交y軸于P點(diǎn)，OP的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，求出【答案】（1）證明：如圖1．∵∠ACB=90°，∴∠BCO+∠ACO=∠CAO+∠ACO=90∴∠BCO=∠CAO．（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于D．

∵BD⊥y軸，∴∠CDB=∠AOC=90在△CDB和△AOC中，∠CDB=∠AOC∴△CDB≌△AOC(AAS)，∴BD=CO=4，CD=AO=10，∴OD=CD?OC=10?4=6．又∵點(diǎn)B在第三象限，∴B(?4（3）解：不會(huì)．如圖3，過(guò)點(diǎn)N作NH∥CM，交y軸于點(diǎn)H．

∵NH∥CM，∴∠CNH+∠MCN=180∵等腰Rt△CAN，等腰Rt△QCM，∴∠MCQ+∠ACN=180∴∠ACQ+∠MCN=360∴∠CNH=∠ACQ．又∵∠HCN+∠ACO=∠QAC+∠ACO=90∴∠HCN=∠QAC．在△HCN和△QAC中，∠CNH=∠ACQ∴△HCN≌△QAC(ASA)，∴CH=AQ，HN=QC，∵QC=MC，∴HN=CM，∵點(diǎn)C(0，4)，∴12×AQ×CO=36∴AQ=18，∴AQ=CH=18．∵NH∥CM，∴∠PNH=∠PMC，∴在△PNH和△PMC中，∠HPN=∠CPM∴△PNH≌△PMC(AAS)，∴CP=PH=1又∵OC=4，∴CP=OC+CP=4+9=13即OP的長(zhǎng)度始終是13．【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等，可證得∠BCO=∠CAO.

（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，利用垂直的定義可證得∠CDB=∠AOC=90°，利用AAS證明△CDB≌△AOC，利用全等三角形的性質(zhì)可CD，BD的長(zhǎng)，根據(jù)OD=CD-OC，代入計(jì)算求出OD的長(zhǎng)，可得到點(diǎn)B的坐標(biāo).

（3）過(guò)點(diǎn)N作NH∥CM，交y軸于點(diǎn)H，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可證得∠CNH+∠MCN=180°，再證明∠ACQ+∠MCN=180°，可推出∠CNH=∠ACQ，利用余角的性質(zhì)可證得∠HCN=∠QAC，利用ASA證明△HCN≌△QAC，利用全等三角形的性質(zhì)可證得CH=AQ，HN=QC，可推出HN=CM；再利用△CQA的面積為36，可求出AQ的長(zhǎng)，即可得到CH的長(zhǎng)；再利用AAS證明△PNH≌△PMC，利用全等三角形的性質(zhì)可求出CP，PH的長(zhǎng)，從而可求出CP的長(zhǎng)，據(jù)此可作出判斷.39．（2022八上·榆樹(shù)期末）在△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ACD≌△CEB；②DE＝AD＋BE．（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE＝AD?BE；（3）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）證明：如圖①∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3．又∵AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE．（2）證明：∵∠ACB＝∠CEB＝90°，∴∠1＋∠2＝∠CBE＋∠2＝90°，∴∠1＝∠CBE．又∵AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ACD≌△CBE，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE?CD＝AD?BE．（3）解：當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，AD、DE、BE所滿(mǎn)足的等量關(guān)系是DE＝BE?AD（或AD＝BE?DE，BE＝AD+DE等）．∵∠ACB＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，又∵AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CD?CE＝BE?AD．【解析】【分析】（1）①利用“一線(xiàn)三等角”證明△ACD≌△CEB即可；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE＝AD，CD＝BE，再利用線(xiàn)段的和差及等量代換可得DE＝CE＋CD＝AD＋BE；

（2）利用“一線(xiàn)三等角”證明△ACD≌△CBE，可得CE＝AD，CD＝BE，再利用線(xiàn)段的和差及等量代換可得DE＝CE?CD＝AD?BE；

（3）先證明△ACD≌△CBE，可得AD＝CE，CD＝BE，再利用線(xiàn)段的和差及等量代換可得DE＝CD?CE＝BE?AD。40．（2022八上·長(zhǎng)興月考）如圖，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，E．（1）求證：BD=CE；（2）當(dāng)AB=5，CE=2時(shí)，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDC=∠CEB=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

在△BDC與△CEB中，

∵∠BDC=∠CEB，∠ABC=∠ACB，BC=CB，

∴△BDC≌△CEB（AAS），

∴BD=CE；（2）解：∵AB=5，CE=2，AB=AC，∴AE=AC-AE=5-2=3，在Rt△ABE中，利用勾股定理得BE=AB在Rt△BEC中，利用勾股定理得BC=BE【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得∠BDC=∠CEB=90°，根據(jù)等邊對(duì)等角得∠ABC=∠ACB，利用AAS判斷出△BDC≌△CEB，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得BD=CE；

（2）利用線(xiàn)段的和差算出AE，在Rt△ABE中，利用勾股定理算出BE，進(jìn)而再在在Rt△BEC中，利用勾股定理算出BC.41．（2023八上·慈溪期末）如圖，∠A=∠B，AE=BE，點(diǎn)D在A(yíng)C邊上，∠CED=∠AEB，AE交BD于點(diǎn)F.（1）求證：△AEC≌△BED；（2）求證：DE平分∠BDC.【答案】（1）證明：∵∠CED=∠AEB∴∠CED+∠AED=∠AEB+∠AED，∴∴∠AEC=∠BED，在△AEC和△BED中，∠A=∠BAE=BE∴△AEC≌△BED（2）證明：∵△AEC≌△BED，∴∠C=∠BDE，CE=DE，∴∠C=∠EDC，∴∠BDE=∠EDC，∴DE平分∠BDC【解析】【分析】（1）由已知條件可知∠A=∠B、AE=BE、∠CED=∠AEB，由角的和差關(guān)系可得∠AEC=∠BED，然后根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行證明；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠C=∠BDE，CE=DE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C=∠CDE，則∠BDE=∠EDC，據(jù)此證明.42．（2023八上·長(zhǎng)興期末）如圖，AC=AD，∠1=∠2=50°，∠B=∠AED，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上.（1）求證：△ABC≌△AED；（2）求∠B的度數(shù).【答案】（1）證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD.∴在△ABC和△AED中∠BAC=∠EADAD=AC∴△ABC≌△AED(ASA).（2）解：∵△ABC≌△AED，∴AB=AE，∵∠1=50°，∴∠B=【解析】【分析】（1）由已知條件可知AC=AD，∠B=∠AED，∠1=∠2，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠BAC=∠EAD，然后利用全等三角形的判定定理進(jìn)行證明；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=AE，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算.43．（2023八上·鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC=AB，AD⊥BC，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，∠BCE=70°，連接ED并延長(zhǎng)ED交（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）證明：△CDE≌△BDF；【答案】（1）解：∵CE∥AB，∴∠B=∠BCE=70°，∵AC=AB，∴∠ACD=∠B=70°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°?70°=20°（2）證明：∵AC=AB，AD⊥BC，∴CD=BD，∵CE∥AB，∴∠ECD=∠B，在△CDE和△BDF中，∠ECD=∠BCD=BD∴△CDE≌△BDF(【解析】【分析】（1）根據(jù)二直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得∠B=∠BCE=70°，根據(jù)等邊對(duì)等角得∠ACD=∠B=70°，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可算出∠CAD的度數(shù)；

（2）根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一得CD=BD，從而利用ASA判斷出△CDE≌△BDF.44．（2023八上·永城期末）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在直線(xiàn)l上（點(diǎn)F，C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A，D在l的異側(cè)，AB∥DE，∠A=∠D，測(cè)得AB=DE.（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BE=10m，BF=3m，求FC的長(zhǎng).【答案】（1）證明：∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF，在△ABC與△DEF中∠ABC=∠DEF∴△ABC≌△DEF(ASA)；（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BF+FC=EC+FC，∴BF=EC∵BE=10cm，∴FC=10?3?3=4cm.【解析】【分析】（1）根據(jù)二直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得∠ABC=∠DEF，從而利用ASA判斷出△ABC≌△DEF；

（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得BC=EF，根據(jù)等式的性質(zhì)可得BF=EC，最后根據(jù)FC=BE-BF-CE即可算出答案.45．（2022八上·蚌山月考）如圖，在△ABE和△ACF中，∠E=∠F=90°，AB=AC，BE=CF．（1）求證：∠1=∠2；（2）試判斷線(xiàn)段BN與CM的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）證明：在Rt△ABE和Rt△ACF中，BE=CFAB=AC∴Rt△ABE≌Rt△ACF(HL)，∴∠BAE=∠CAF，即∠1+∠3=∠2+∠3，∴∠1=∠2；（2）解：BN=CM，理由：∵Rt△ABE≌Rt△ACF，∴AE=AF，在△AEM和△AFN中，∠1=∠2AE=AF∴△AEM≌△AFN(ASA)，∴AM=AN，∵CM=AC?AM，BN=AB?AN，∴BN=CM．【解析】【分析】（1）先利用“HL”證明Rt△ABE≌Rt△ACF，可得∠BAE=∠CAF，再利用角的運(yùn)算可得∠1=∠2；

（2）先利用“ASA”證明△AEM≌△AFN，可得AM=AN，再利用線(xiàn)段的和差求出BN=CM即可。46．（2022八上·五蓮期中）如圖所示，已知AD//BC，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，AE、BE分別平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.求證：（1）△ABE≌△AEF；（2）AD+BC=AB【答案】（1）證明：如圖，∵AE、BE分別平分∠DAB、∠CBA，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵AD∥BC，∴∠2=∠F，∠1=∠F，在△ABE和△AFE中，∠1=∠F∴△ABE≌△AFE(AAS)（2）證明：∵△ABE≌△AFE，∴BE=EF，在△BCE和△FDE中，∠2=∠F∴△BCE≌△FDE(ASA)，∴BC=DF，∴AD+BC=AD+DF=AF=AB，即AD+BC=AB.【解析】【分析】（1）先證明∠2=∠F，∠1=∠F，利用“AAS”證明△ABE≌△AEF即可；

（2）先利用“ASA”證明△BCE≌△FDE，可得BC=DF，再利用線(xiàn)段的和差及等量代換可得AD+BC=AB。47．（2022八上·老河口期中）如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為△ABC外一點(diǎn)，AD⊥BD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)為BD上一點(diǎn)，∠BCF=∠ACD，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CF交CB于點(diǎn)G.（1）求證：∠DAC=∠FBC；（2）求證：△CDF是等腰直角三角形；（3）若AD=CD，求∠ABD的度數(shù).【答案】（1）證明：∵AD⊥BD，∠ACB=90°，∴∠DAC+∠AED=∠FBC+∠BEC=90°，∵∠AED=∠BEC，∴∠DAC=∠FBC；（2）證明：在△ACD和△BCF中，∠DAC=∠FBCAC=BC∴△ACD≌△BCF，∴CD=CF，∵∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（3）解：∵CD=CF，∠DCF=90°，∴∠CDF=∠CFD=45°，∵△ACD≌△BCF，∴AD=BF，CD=CF，∵AD=CD，∴CF=BF，∴∠FBC=∠FCB，∵∠FBC+∠FCB=∠CFD=45°，∴∠FBC=∠FCB=22.∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠ABD=∠CBA?∠FBC=22.【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可得∠AED-∠BEC，結(jié)合∠DAC+∠AED=∠FBC+∠BEC可得結(jié)論；

（2）易證△ACD≌△BCF，得到CD=CF，則∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°，據(jù)此證明；

（3）由（2）可得CD=CF，∠DCF=90°，則∠CDF=∠CFD=45°，由全等三角形的性質(zhì)可得AD=BF，CD=CF，則CF=BF，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠FBC=∠FCB，結(jié)合外角的性質(zhì)可得∠FBC=∠FCB=22.5°，易得△ABC為等腰直角三角形，則∠CAB=∠CBA=45°，然后根據(jù)∠ABD=∠CBA-∠FBC進(jìn)行計(jì)算.48．（2022八上·定南期中）如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，且AB∥CD，OA=OD．（1）求證：OB=OC；（2）若在直線(xiàn)AD上截取AE=DF，求證：BE∥CF．【答案】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠ODC．∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，∴△OAB≌△ODC(ASA)．∴OB=OC；（2）證明：∵OA=OD，AE=DF，∴OA+AE=OD+DF，即OE=OF．∵∠EOB=∠FOC，且在（1）中，有OB=OC，∴△BOE≌△COF(SAS)，∴∠E=∠F．∴BE∥CF．【解析】【分析】（1）利用“ASA”證明△OAB≌△ODC，再利用全等三角形的性質(zhì)可得OB=OC；

（2）利用“SAS”證明△BOE≌△COF，可得∠E=∠F，即可得到BE∥CF。49．（2022八上·威遠(yuǎn)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC.（1）求證：ΔABD?ΔEDC；（2）若∠A=1350，∠BDC=30【答案】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠EDC在ΔABD和ΔEDC中∠1=∠2∴ΔABD?ΔEDC（2）解：∵AB∥CD∴∠A+∠ADC=∵∠A=∴∠ADC=∵∠BDC=∴∠1=∵BD=DC∴∠DBC=∠DCB∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=∴∠DCB=∴∠BCE=∠BCD?∠2=【解析】【分析】（1）利用兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可證得∠ABD=∠EDC，利用ASA可證得結(jié)論.

（2）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，利用∠1=∠ADC-∠BDC，可求出∠1的度數(shù)，利用全等三角形的性質(zhì)可得到∠2的度數(shù)；利用等邊對(duì)等角可證得∠DBC=∠DCB，利用三角形的內(nèi)角和定理可求出∠DCB的度數(shù)，根據(jù)∠BCE=∠DCB-∠2，可求出∠BCE的度數(shù).50．（2022八上·合肥期中）如圖，AE、BD是△ABM的兩條高，AE，BD交于點(diǎn)C，且AE=BE．（1）求證：△AME≌△BCE；（2）當(dāng)BD平分∠ABM時(shí)，求證：BC=2AD；（3）求∠MDE的度數(shù)．【答案】（1）證明：∵AE、BD是△ABM的高，∴∠ADB＝∠AEB＝∠AEM＝90°，∵∠ACD＝∠ECB，∠MAE+∠ADC+∠ACD＝180°，∠CBE+∠ECB+∠CEB＝180°，∴∠MAE＝∠CBE，在△AME和△BCE中，∠MAE=∠CBEAE=BE∴△AME≌△BCE（ASA）．（2）證明：∵BD平分∠ABM，BD是高，∴∠ABD＝∠MBD，∠ADB＝∠MDB＝90°，在△ABD和△MBD中，∠ADB=∠MDBBD=BD∴△ABD≌△MBD（ASA），∴AD=DM=1∵△AME≌△BCE，∴AM＝BC，即BC＝2AD；（3）解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED交BC于點(diǎn)F，∵∠DEF＝∠AEB，∴∠DEA＝∠BEF，在△AED與△BEF中，∠DEA=∠BEFAE=BE∴△AED≌△BEF（ASA），∴ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝45°，∵∠BDE＝90°，∴∠MDE＝45°【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法證明即可；

（2）先求出△ABD≌△MBD（ASA），再求解即可；

（3）利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可。51．（2023八上·紹興期末）如圖，在四邊形ABDC中，∠D=∠B=90°，O為BD上的一點(diǎn)，且AO平分∠BAC，CO平分（1）OA⊥OC.（2）AB+CD=AC.【答案】（1）證明：∵∠D=∠B=90°，∴∠B+∠D=180°，∴AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACD，∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC∴∠OAC+∠ACO=1∴∠AOC=180°?90°=90°，∴OA⊥OC；（2）證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：∵∠D=∠B=