山東省德州市2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試題（含解析）

山東省德州市2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試題（含解析）高二數(shù)學試題2023.4．本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，第I卷1-3頁，第II卷3-6頁，共150分，測試時間120分鐘．注意事項：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上．第I卷選擇題(共60分)一、選擇題(本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．)1.已知函數(shù)，則()A. B. C. D.2.在等差數(shù)列中，，，則()A.14 B.12 C.10 D.83.某單位為了落實“綠水青山就是金山銀山”理念，制定節(jié)能減排的目標，先調(diào)查了用電量y(單位：度)與氣溫x(單位：℃)之間的關系，隨機選取了4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：x(單位：℃)171410y(單位：度)21a3440由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程：．則a的值為()．A.20 B.22 C.25 D.284.已知為等比數(shù)列的前n項和，，，則的值為()A.85 B.64 C.84 D.215.設三次函數(shù)導函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則正確的是()A.的極大值為，極小值為B.的極大值為，極小值為C.的極大值為，極小值為D.的極大值為，極小值為6.已知函數(shù)，若對任意兩個不等的正實數(shù)，，都有，則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.7.中國古代許多著名的數(shù)學家對推導高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術”的算法，展現(xiàn)了聰明才智，如南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法?商功》一書中記載的三角垛、方垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關．如圖是一個三角垛，最頂層有個小球，第二層有個，第三層有個，第四層有個，則第層小球的個數(shù)為()A. B. C. D.8.設函數(shù)的定義域為D，且其圖象上所有點均在直線的上方，則稱函數(shù)為“函數(shù)”，若函數(shù)的定義域為，且為“函數(shù)”，則實數(shù)t的最大整數(shù)值為()A. B. C.1 D.2二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．)9.下列命題正確是()A.回歸直線恒過樣本點的中心，且至少過一個樣本點B.在回歸直線方程中，變量與x正相關C.變量x，y的樣本相關系數(shù)越大，表示它們的線性相關性越強D.在回歸分析中，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好10.已知，則()A. B. C. D.11.斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足：，，記，則下列結論正確的是()A. B.C. D.12.已知函數(shù)，下列說法正確的是()A.若為單調(diào)遞減函數(shù)，則B.當或時，有且僅有一個極值點C.當時，圖象與x軸相切D.當或時，有且僅有一個零點第II卷非選擇題(共90分)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.若函數(shù)在處的切線方程為，則實數(shù)a=___________．14.寫出一個同時具有下列性質①②的數(shù)列的通項公式：___________．①；②單調(diào)遞增．15.如圖甲是第七屆國際數(shù)學家大會(簡稱ICME—7)的會徽圖案，會徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的．已知為直角頂點，設，，，…，構成數(shù)列，令，為數(shù)列的前n項和，則___________．16.已知函數(shù)，其中．若，則的最大值為_______；若方程有且只有1個實根，則實數(shù)t的取值范圍為___________．四、解答題(本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．)17.已知函數(shù)，是函數(shù)的一個極值點．(1)求實數(shù)a的值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．18.為了解學生對黨的“二十大”精神的學習情況，學校開展了“二十大”相關知識的競賽活動，全校共有1000名學生參加，其中男生450名，采用分層抽樣的方法抽取100人，將他們的比賽成績(滿分為100分)，分為6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．其中成績不低于80分為“優(yōu)秀”，低于80分為“非優(yōu)秀”．(1)求實數(shù)a的值，并估算全校1000名學生中成績優(yōu)秀的人數(shù)；(2)完成下列列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為比賽成績優(yōu)秀與性別有關．優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男女10合計附：，其中．0100.050.0100.0050001k2.7063.8416.6357.87910.82819.已知數(shù)列滿足，．(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列落入?yún)^(qū)間的所有項的和．20.在扶貧政策的大力支持下，某縣農(nóng)副產(chǎn)品加工廠經(jīng)營得十分紅火，不僅解決了就業(yè)問題，而且為脫貧工作作出了重大貢獻，該工廠收集了1月份至5月份的銷售量數(shù)據(jù)(如下表)，并利用這些數(shù)據(jù)對后期生產(chǎn)規(guī)模做出決策．月份12345銷售量(萬斤)4.95.86.88.310.237.21181.1374該工廠為了預測未來幾個月的銷售量，建立了y關于x的回歸模型：．表中：，．(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求關于的回歸方程(的值精確到0.1，的值精確到整數(shù)位)；(2)已知該工廠的月利潤(單位：萬元)與，的關系為，根據(jù)(1)的結果，預測該工廠哪一個月的月利潤最?。畢⒖脊剑簩τ谝唤M數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．21.已知數(shù)列是以為首項常數(shù)列，為數(shù)列的前n項和．(1)求；(2)設正整數(shù)，其中．例如：，則，；，則，．若，求數(shù)列的前n項和．22.已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點和，求證：在處的切線斜率恒為正數(shù)．高二數(shù)學試題2023.4．本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，第I卷1-3頁，第II卷3-6頁，共150分，測試時間120分鐘．注意事項：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上．第I卷選擇題(共60分)一、選擇題(本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．)1.已知函數(shù)，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的定義可得.【詳解】因，所以，，故選：A2.在等差數(shù)列中，，，則()A.14 B.12 C.10 D.8【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式求解，代入即可得出結論.【詳解】由，，又為等差數(shù)列，得，，解得，則；故選：D.3.某單位為了落實“綠水青山就是金山銀山”理念，制定節(jié)能減排的目標，先調(diào)查了用電量y(單位：度)與氣溫x(單位：℃)之間的關系，隨機選取了4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：x(單位：℃)171410y(單位：度)21a3440由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程：．則a的值為()．A.20 B.22 C.25 D.28【答案】C【解析】【分析】根據(jù)樣本點中心必在回歸直線上，列式求解.【詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，，樣本點中心必在回歸直線上，所以，所以，解得：.故選：C4.已知為等比數(shù)列的前n項和，，，則的值為()A.85 B.64 C.84 D.21【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質，即可計算求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由題意可知，，得，，所以.故選：A5.設三次函數(shù)的導函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則正確的是()A.的極大值為，極小值為B.的極大值為，極小值為C.的極大值為，極小值為D.的極大值為，極小值為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先判斷導數(shù)的符號，進而確定原函數(shù)的單調(diào)性和極值.【詳解】當時，則，可得；當時，則，可得；當時，則，可得；當時，則，可得；故三次函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得的極大值為，極小值為.故選：D.6.已知函數(shù)，若對任意兩個不等的正實數(shù)，，都有，則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構造函數(shù)，則轉化得到在上單調(diào)遞增，將題目轉化為在上恒成立，再利用分離參數(shù)法即可得到答案.【詳解】由題意,不妨設,因為對任意兩個不等的正實數(shù),都有,所以,即,構造函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立,即在上恒成立,設,則，所以當時,單調(diào)遞增，時,單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.7.中國古代許多著名的數(shù)學家對推導高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術”的算法，展現(xiàn)了聰明才智，如南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法?商功》一書中記載的三角垛、方垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關．如圖是一個三角垛，最頂層有個小球，第二層有個，第三層有個，第四層有個，則第層小球的個數(shù)為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】記第層有個球，則根據(jù)題意可得，再根據(jù)累加法求解即可.【詳解】記第層有個球，則，，，，結合高階等差數(shù)列的概念知，，，，，則第層的小球個數(shù)：．故選：.8.設函數(shù)的定義域為D，且其圖象上所有點均在直線的上方，則稱函數(shù)為“函數(shù)”，若函數(shù)的定義域為，且為“函數(shù)”，則實數(shù)t的最大整數(shù)值為()A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由新定義可得恒成立，即恒成立，利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，可得t的最大整數(shù)值.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且為“函數(shù)”，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，設，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，所以當時，，函數(shù)上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取最小值，最小值為，且，所以，故函數(shù)的最小值為，又，所以，故t的最大整數(shù)值為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．)9.下列命題正確的是()A.回歸直線恒過樣本點的中心，且至少過一個樣本點B.在回歸直線方程中，變量與x正相關C.變量x，y樣本相關系數(shù)越大，表示它們的線性相關性越強D.在回歸分析中，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)變量之間相關關系的有關概念，回歸直線的特征，回歸分析中相關系數(shù)和線性相關性的關系，殘差平方和和模型的擬合效果的關系即可判斷．【詳解】對于A，回歸直線恒過樣本點的中心，但可以不經(jīng)過任何一個樣本點，A錯誤；對于B，在回歸直線方程中，，所以變量與x正相關，B正確；對于C，變量x，y的樣本相關系數(shù)越大，越靠近，表示它們的線性相關性越強，C正確；對于D，在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，D錯誤．故選：BC．10.已知，則()A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】移項可得，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)指對冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷各選項的真假．【詳解】由題可得，，設，，所以，即函數(shù)在上遞增，所以由可得：．對于A，由函數(shù)在上遞減，所以當時，，A錯誤；對于B，易知函數(shù)在上遞增，所以當時，，即，B正確；對于C，當時，若，則，C錯誤；對于D，因為函數(shù)在上遞增，所以當時，，D正確．故選：BD．11.斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足：，，記，則下列結論正確的是()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由賦值法得值可判斷A項，由遞推關系式等量代換可證明B項，運用累加法可判斷C項，運用裂項相消法求和可判斷D項.【詳解】對于A項，因為，，，所以，，，，故A項正確；對于B項，因為，所以當時，，故B項正確；對于C項，因為，所以，所以，，，…，，由累加法得：，又因為，所以，即：，故C項錯誤；對于D項，因為，，，所以，故D項正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，下列說法正確的是()A.若為單調(diào)遞減函數(shù)，則B.當或時，有且僅有一個極值點C.當時，圖象與x軸相切D.當或時，有且僅有一個零點【答案】ACD【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，由恒成立判斷A；舉例說明判斷B；求出函數(shù)的零點，并求出在該點處的切線方程判斷C；求出函數(shù)只有一個零點的m范圍判斷D作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，對于A，由為單調(diào)遞減函數(shù)，得，令，求導得，當時，遞增，當時，遞減，則當時，，于是，解得，A正確；對于B，由選項A知，當時，為單調(diào)遞減函數(shù)，無極值點，B錯誤；對于C，當時，，顯然，，且，因此函數(shù)的圖象在點處的切線為，為x軸，C正確；對于D，由，得，令，求導得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而當時，，當時，，，因此函數(shù)僅只一個零點；當時，，遞增，函數(shù)值集合為，，遞減，函數(shù)值集合為，則當時，，函數(shù)只有一個零點，當且僅當，解得，所以當或時，有且僅有一個零點，D正確.故選：ACD第II卷非選擇題(共90分)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.若函數(shù)在處的切線方程為，則實數(shù)a=___________．【答案】1【解析】【分析】運用導數(shù)幾何意義列方程求解即可.【詳解】因為，所以，由題意知，，所以故答案為：1.14.寫出一個同時具有下列性質①②的數(shù)列的通項公式：___________．①；②單調(diào)遞增．【答案】(符合此種形式即可)【解析】【分析】先猜想數(shù)列是一個等差數(shù)列，進而根據(jù)性質①得到首項與公差的關系，然后根據(jù)性質②得到答案.【詳解】假設數(shù)列為等差數(shù)列，設其公差為d，首項為，由性質①可得：，即，再根據(jù)②可知，公差，顯然()滿足題意.故答案為：(符合此種形式即可)15.如圖甲是第七屆國際數(shù)學家大會(簡稱ICME—7)的會徽圖案，會徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的．已知為直角頂點，設，，，…，構成數(shù)列，令，為數(shù)列的前n項和，則___________．【答案】8【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理得到，然后得到，利用裂項求和可得.【詳解】由題意：因，故，所以，，，所以.故答案為：8.16.已知函數(shù)，其中．若，則的最大值為_______；若方程有且只有1個實根，則實數(shù)t的取值范圍為___________．【答案】①.2②.【解析】【分析】在區(qū)間內(nèi)求導，求出極大值，再根據(jù)時畫出函數(shù)圖象，對“只有一個解作出幾何解釋”，據(jù)此求出t的范圍.【詳解】當時，時：，當時，，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，并且；所以，在時，；當時，，即，時，；當時，，由于當時，，函數(shù)的大致圖象如下：欲使得只有一個解，則必須，即，設，則，單調(diào)遞減，又；故答案為：2；.四、解答題(本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．)17.已知函數(shù)，是函數(shù)的一個極值點．(1)求實數(shù)a的值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值為15，最小值為【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件可得可求得a的值并檢驗即可.(2)運用導數(shù)求在上的極值并與、比較大小即可.【小問1詳解】由題意知，，由是極值點，得，故，經(jīng)檢驗：成立.故a的值為1.【小問2詳解】由(1)知，，所以，令，當時，，則單調(diào)遞減．當時，，則單調(diào)遞增．當時，，則單調(diào)遞減．又，，，所以在上最大值為15，最小值為．18.為了解學生對黨的“二十大”精神的學習情況，學校開展了“二十大”相關知識的競賽活動，全校共有1000名學生參加，其中男生450名，采用分層抽樣的方法抽取100人，將他們的比賽成績(滿分為100分)，分為6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．其中成績不低于80分為“優(yōu)秀”，低于80分為“非優(yōu)秀”．(1)求實數(shù)a的值，并估算全校1000名學生中成績優(yōu)秀的人數(shù)；(2)完成下列列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為比賽成績優(yōu)秀與性別有關．優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男女10合計附：，其中．0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)，250(人)(2)填表見解析；沒有【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率和為1求得，進而根據(jù)頻率估計成績優(yōu)秀的人數(shù)；(2)根據(jù)題意結合分層抽樣完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析.【小問1詳解】由題意可得：，解得，樣本中成績優(yōu)秀的頻率為：，以樣本估計總體，全校1000名學生中成績優(yōu)秀的人數(shù)為：(人).【小問2詳解】由題意，采用分層抽樣，男生抽取人數(shù)人，女生抽取人，且樣本中優(yōu)秀的人數(shù)為人，故列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男153045女104555合計2575100可得，因為，故沒有95%的把握認為比賽成績優(yōu)秀與性別有關19.已知數(shù)列滿足，．(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列落入?yún)^(qū)間的所有項的和．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】(1)由已知可得，利用等比數(shù)列的定義證明結論，從而可求出的通項公式，(2)解不等式，即得的范圍，再利用分組求和求解.【小問1詳解】由得，又，所以所以是首項，公比為的等比數(shù)列，所以【小問2詳解】由題意，即，解得：，即，故落入?yún)^(qū)間項為，所以其和.20.在扶貧政策的大力支持下，某縣農(nóng)副產(chǎn)品加工廠經(jīng)營得十分紅火，不僅解決了就業(yè)問題，而且為脫貧工作作出了重大貢獻，該工廠收集了1月份至5月份的銷售量數(shù)據(jù)(如下表)，并利用這些數(shù)據(jù)對后期生產(chǎn)規(guī)模做出決策．月份12345銷售量(萬斤)4.95.86.88.310.237.21181.1374該工廠為了預測未來幾個月的銷售量，建立了y關于x的回歸模型：．表中：，．(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求關于回歸方程(的值精確到0.1，的值精確到整數(shù)位)；(2)已知該工廠的月利潤(單位：萬元)與，的關系為，根據(jù)(1)的結果，預測該工廠哪一個月的月利潤最?。畢⒖脊剑簩τ谝唤M數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．【答案】(1)(2)6月份的月利潤最小【解析】【分析】(1)根據(jù)最小二乘法公式分別求得，即可.(2)利用基本不等式求函數(shù)最值.【小問1詳解】由題意，，令得所以，，所以y關于x的回歸方程為【小問2詳