高三數(shù)學(xué)二知識(shí)點(diǎn)精講

高三數(shù)學(xué)二知識(shí)點(diǎn)精講高三數(shù)學(xué)二知識(shí)點(diǎn)主要涉及以下幾個(gè)方面：1.函數(shù)1.1函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的定義：函數(shù)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，設(shè)A，B為非空集合，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于A中的任意一個(gè)元素x，在B中都有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)函數(shù)f：A→B。函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性等。1.2三角函數(shù)三角函數(shù)的定義：三角函數(shù)是對(duì)角度進(jìn)行變量代換得到的一類(lèi)周期函數(shù)。主要三角函數(shù)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等。三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：周期性、奇偶性、單調(diào)性等。1.3反三角函數(shù)反三角函數(shù)的定義：反三角函數(shù)是三角函數(shù)的逆函數(shù)。主要反三角函數(shù)：反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)等。反三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性等。2.極限與連續(xù)2.1極限的概念極限的定義：當(dāng)自變量x趨近于某個(gè)值a時(shí)，函數(shù)f(x)趨近于某個(gè)值L，那么就稱(chēng)f(x)當(dāng)x趨近于a時(shí)的極限為L(zhǎng)，記作：lim(x→a)f(x)=L。2.2極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則極限的性質(zhì)：保號(hào)性、保不等式性、夾逼性等。極限的運(yùn)算法則：四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則等。2.3連續(xù)性連續(xù)性的定義：如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處左極限等于右極限，且左極限、右極限都等于函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處的函數(shù)值，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處連續(xù)，記作：f(x)continuousatx=a。3.導(dǎo)數(shù)與微分3.1導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處的導(dǎo)數(shù)，記作f’(a)，表示函數(shù)在點(diǎn)a處的瞬時(shí)變化率。3.2導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、保號(hào)性等。導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、鏈?zhǔn)椒▌t等。3.3微分微分的定義：微分表示函數(shù)在某一點(diǎn)的切線(xiàn)斜率，記作df/dx。4.積分4.1定積分的定義定積分的定義：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作∫(a→b)f(x)dx，表示函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的面積。4.2定積分的性質(zhì)與運(yùn)算法則定積分的性質(zhì)：線(xiàn)性性、保號(hào)性等。定積分的運(yùn)算法則：換元法、分部積分法等。4.3定積分的應(yīng)用定積分在幾何中的應(yīng)用：計(jì)算平面區(qū)域的面積、曲線(xiàn)下的面積等。定積分在物理中的應(yīng)用：計(jì)算物體的體積、力對(duì)物體做的功等。5.級(jí)數(shù)5.1數(shù)列的概念與性質(zhì)數(shù)列的定義：數(shù)列是由一系列數(shù)按照一定的順序排列而成的。數(shù)列的性質(zhì)：收斂性、發(fā)散性等。5.2級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)級(jí)數(shù)的定義：級(jí)數(shù)是由一系列數(shù)按照一定的規(guī)則相加而成的。級(jí)數(shù)的性質(zhì)：收斂性、發(fā)散性等。5.3級(jí)數(shù)的運(yùn)算級(jí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則：加法、減法、乘法、除法等。6.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6.1概率的基本概念概率的定義：概率是某個(gè)事件發(fā)生的可能性。概率的基本性質(zhì)：非負(fù)性、歸一性等。例題1：求函數(shù)f(x)=x2-2x+1的導(dǎo)數(shù)。解題方法：利用導(dǎo)數(shù)的定義和運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)。f’(x)=d/dx(x2-2x+1)=d/dx(x2)-d/dx(2x)+d/dx(1)所以，函數(shù)f(x)=x2-2x+1的導(dǎo)數(shù)為f’(x)=2x-2。例題2：求函數(shù)f(x)=3x2-4x+1的導(dǎo)數(shù)。解題方法：利用導(dǎo)數(shù)的定義和運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)。f’(x)=d/dx(3x2)-d/dx(4x)+d/dx(1)所以，函數(shù)f(x)=3x2-4x+1的導(dǎo)數(shù)為f’(x)=6x-4。例題3：求函數(shù)f(x)=sin(x)的導(dǎo)數(shù)。解題方法：利用三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo)。f’(x)=cos(x)所以，函數(shù)f(x)=sin(x)的導(dǎo)數(shù)為f’(x)=cos(x)。例題4：求函數(shù)f(x)=cos(x)的導(dǎo)數(shù)。解題方法：利用三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo)。f’(x)=-sin(x)所以，函數(shù)f(x)=cos(x)的導(dǎo)數(shù)為f’(x)=-sin(x)。例題5：求函數(shù)f(x)=tan(x)的導(dǎo)數(shù)。解題方法：利用三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo)。f’(x)=sec2(x)所以，函數(shù)f(x)=tan(x)的導(dǎo)數(shù)為f’(x)=sec2(x)。例題6：求函數(shù)f(x)=ln(x)的導(dǎo)數(shù)。解題方法：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo)。f’(x)=1/x所以，函數(shù)f(x)=ln(x)的導(dǎo)數(shù)為f’(x)=1/x。例題7：求函數(shù)f(x)=e^x的導(dǎo)數(shù)。解題方法：利用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo)。f’(x)=e^x所以，函數(shù)f(x)=ex的導(dǎo)數(shù)為f’(x)=ex。例題8：求函數(shù)f(x)=x3的導(dǎo)數(shù)。解題方法：利用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo)。f’(x)=3x2所以，函數(shù)f(x)=x3的導(dǎo)數(shù)為f’(x)=3x2。例題9：求函數(shù)f(x)=sin(2x)的導(dǎo)數(shù)。解題方法：利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)。f’(x)=cos(2x)*d/dx(2x)=2cos(2x)所以，函數(shù)f(x)=sin(2x)的導(dǎo)數(shù)為f’(x)=2cos(2x)。例題10：求函數(shù)f(x)=e^(2x)的導(dǎo)數(shù)。解題方法：利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)。f’(x)=2e^(2x)*d/dx(2x)=2e^(2x)*2

=4e^(2x)所以，函數(shù)f(x)=e(2x)的導(dǎo)數(shù)為f’(x)=4e(2x)。例題11：計(jì)算定積分∫(0→π)sin(x)dx。解題方法：利用定積分的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算?！?0→π)sin(x)dx=-cos(x)|(0→π)=-cos(π)-(-cos(0))

=1-(-1)所以，定積分∫(0→π)sin(x)dx的值為2。例題12：已知函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，且f’(a)存在，證明f(x)在x=a處可導(dǎo)。解題方法：根據(jù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系進(jìn)行證明。因?yàn)閒(x)在x=a處連續(xù)，所以lim(x→a)f(x)=f(a)。因?yàn)閒’(a)存在，所以lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h存在。由連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系知，若f(x)在x=a處連續(xù)，且f’(a)存在，則f(x)在x=a處可導(dǎo)。例題13：已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，證明f(x)在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)c，使得f’(c)=0。解題方法：根據(jù)羅爾定理進(jìn)行證明。假設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上沒(méi)有零點(diǎn)，即f(x)>0或f(x)<0對(duì)所有x∈[a,b]成立。由介值定理知，f(x)在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)c，使得f(c)=0。因?yàn)閒(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，所以f’(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)。由羅爾定理知，若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得f’(c)=0。所以，f(x)在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)c，使得f’(c)=0。例題14：求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x-1的導(dǎo)數(shù)。解題方法：利用導(dǎo)數(shù)的定義和運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)。f’(x)=d/dx(x3)-d/dx(3x2)+d/dx(2x)-d/dx(1)=3x2-6x+2-0

=3x2-6x+2所以，函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x-1的導(dǎo)數(shù)為f’(x)=3x2-6x+2。例題15：求函數(shù)f(x)=e^xlnx的導(dǎo)數(shù)。解題方法：利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)。f’(x)=d/dx(e^xlnx)=d/dx(e^x)lnx+e^x·d/dx(lnx)

=e^xlnx+e^x·(1/x)

=e^xlnx+e^x/x所以，函數(shù)f(x)=exlnx的導(dǎo)數(shù)為f’(x)=exlnx+e^x/x。例題16：計(jì)算定積分∫(0→1)x2dx。解題方法：利用定積分的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算?！?0→1)x2dx=(1/3)x3|(0→1)=(1/3)·13-(1/3)·03

=(1/3)-0所以，定積分∫(0→1)x2dx的值為1/3。例題17：已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,