河南省洛陽市2022-2023學年高二下學期期中考試數(shù)學試題（理）

洛陽市2022—2023學年第二學期期中考試高二數(shù)學試卷（理）本試卷共4頁，共150分.考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.2．考試結(jié)束，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某直線運動的物體從時刻到的位移為，那么為（）A.從時刻到物體的平均速度 B.從時刻到位移的平均變化率C.當時刻為時該物體的速度 D.該物體在時刻的瞬時速度【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由變化率與導數(shù)的關系，分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，直線運動的物體，從時刻到時，時間的變化量為，而物體的位移為，那么為該物體在時刻的瞬時速度.故選：D.2.假設某地在20年間的年均通貨膨脹率為5％，物價（單位：元）與時間（單位：年）之間的關系為，其中為時的物價.假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約為（精確到0.001元／年）（）附：，，.A.0.079元／年 B.0.076元／年C.1.629元／年 D.1.551元／年【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解.【詳解】由題意，，則時，商品價格上漲的速度；故選：A.3.小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先研究四個選項中圖象的特征，再對照小明上學路上的運動特征，兩者對應即可選出正確選項.【詳解】考查四個選項，橫坐標表示時間，縱坐標表示的是離開學校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學，開始時勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時間，故此時有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時間加快速度行駛，此一段時間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確．故選C．【點睛】本題考查函數(shù)的表示方法，關鍵是理解坐標系的度量與小明上學的運動特征，屬于基礎題.4.曲線在點處的切線垂直于直線，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)后可求切線的斜率，從而可得關于的方程，解出后可得正確的選項.【詳解】，所以，因為在點處的切線垂直于直線，故切線的斜率為，故即，故選：D.5.的展開式中含的項的系數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出展開式的通項，令的指數(shù)為5即可求出.【詳解】的展開式通項為，令，可得，所以展開式中含的項的系數(shù)是.故選：D.6.6名同學排成一排，其中甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法共有（）A.36種 B.72種 C.144種 D.720種【答案】C【解析】【分析】利用捆綁法可求不同的排法.【詳解】甲、乙、丙三人在一起，有種不同的排法，把甲、乙、丙看成一個整體，與其余的3個人混排，共有種不同的排法，故共有種，故選：C.7.已知函數(shù)在時有極大值，則的極大值為（）A.0 B.32 C.0或32 D.0或32【答案】B【解析】【分析】求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】，，即在和處取得極值，由題意：時為極大值，，，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，在處取得極大值，，的極大值；故選：B.8.的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為A.40 B.20 C.20 D.40【答案】D【解析】【分析】【詳解】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由52r=1得r=2,對應的常數(shù)項=80，由52r=1得r=3,對應的常數(shù)項=40，故所求的常數(shù)項為40，故選D9.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，求出不等式的解后可得其增區(qū)間.【詳解】定義域為，而，令，則，而，故，故的增區(qū)間為.故選：A.10.將6名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行服務，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.480種 B.1080種 C.1560種 D.2640種【答案】C【解析】【分析】將6名北京冬奧會志愿者分4組，有1，1，1，3和2，2，1，1兩種分組方法，再分別計算每組的安排方法可得答案.【詳解】6名北京冬奧會志愿者分4組，有1，1，1，3和2，2，1，1兩種分組方法，當為1，1，1，3時，有種；當為2，2，1，1時，有種，共有種不同的分配方案.故選：C.11.已知函數(shù)在時有極值0，則（）A.4 B.11C.4或11 D.以上答案都不對【答案】B【解析】【分析】由于在處有極值0，所以可得，解方程組可求出的值，從而可求得答案【詳解】解：由，得，因為在處有極值0，所以，即，解得或，當時，，則上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無極值，所以舍去，當時，，令，得或，經(jīng)檢驗和都為函數(shù)的極值點，綜上，所以，故選：B12.設函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】令,則，設，令，，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點需滿足，即．應選答案D．點睛：解答本題時充分運用等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，先將函數(shù)解析式中的參數(shù)分離出來，得到，然后構造函數(shù)，分別研究函數(shù)，的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點等價于，即．使得問題獲解．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有4條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路.則從甲地到丁地共有____________條不同的路.【答案】【解析】【分析】按照甲地經(jīng)乙地到丁地、甲地經(jīng)丙地到丁地分類，結(jié)合分類加法、分步乘法計數(shù)原理即可得解.【詳解】如果由甲地經(jīng)乙地到丁地，則有種不同的路線；如果由甲地經(jīng)丙地到丁地，則有種不同的路線；因此，從甲地到丁地共有種不同的路線.故答案為：.14.已知，，，且，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)，，的大小關系是____________.（用“<”連接）【答案】【解析】【分析】構造函數(shù)，，，，，分別利用導數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性和在上的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】設，，則，，由題意知，，，，因為在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因為在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以.故答案為：15.甲、乙、丙、丁、戊5名學生進行某種勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你當然不會是最差的”，從這個回答分析，5人的名次排列共可能有________種不同的情況.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同學在三個位置上全排列，由分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3種情況，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，其他三名同學排在三位置全排列有種，由分步乘法計數(shù)原理可知共有種，故答案為：.16.已知函數(shù)，若在定義域上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增列不等式，分離常數(shù)后，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得的最小值，進而求得的取值范圍.【詳解】解：依題意，當時，恒成立，即恒成立，所以，在上恒成立，構造函數(shù)，則，由得，由得所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以，函數(shù)在處取得極小值也即是最小值，故，所以，，即實數(shù)的取值范圍是故答案為：.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，先求斜率，再代入切線方程公式中即可；（Ⅱ）設，求，根據(jù)確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值為，從而可以知道恒成立，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性求最值.試題解析：（Ⅰ）因為，所以.又因為，所以曲線在點處的切線方程為.（Ⅱ）設，則.當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對任意有，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【名師點睛】這道導數(shù)題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡單很多，第二問比較有特點的是需要兩次求導數(shù)，因為通過不能直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以需要再求一次導數(shù)，設，再求，一般這時就可求得函數(shù)的零點，或是()恒成立，這樣就能知道函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求其最值，從而判斷的單調(diào)性，最后求得結(jié)果.18.某醫(yī)院呼吸內(nèi)科有3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中李亮（男）為科室主任；感染科有2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中張雅（女）為科室主任．現(xiàn)在院方?jīng)Q定從兩科室中選4人參加培訓．（1）若至多有1名主任參加，則有多少種派法？（2）若呼吸內(nèi)科至少有2名醫(yī)生參加，則有多少種派法？（3）若至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加，則有多少種派法？【答案】（1）105；（2）105；（3）87.【解析】【分析】（1）分無主任參加和只有1名主任參加兩種情況，再根據(jù)組合的方法求得答案；（2）分2名醫(yī)生、3名醫(yī)生和4名醫(yī)生參加三種情況，再根據(jù)組合的方法即可求得答案；（3）考慮張雅參加和不參加兩種情況，如果張雅不參加則李亮必須參加，進而根據(jù)組合的方法即可求得答案.【小問1詳解】若無主任參加，則有種派法，若只有1名主任參加，則有種派法，故不同的派法共有（種）.【小問2詳解】由題意，可分為三類考慮：第一類，呼吸內(nèi)科有2名醫(yī)生參加，則共有種派法；第二類，呼吸內(nèi)科有3名醫(yī)生參加，則共有種派法；第三類，呼吸內(nèi)科有4名醫(yī)生參加，則共有種派法．所以呼吸內(nèi)科至少有2名醫(yī)生參加的派法共有（種）．【小問3詳解】張雅既是主任，也是女醫(yī)生，屬于特殊元素，優(yōu)先考慮，所以以張雅是否參加來分類．第一類，張雅參加，則有種派法，第二類，張雅不參加，則李亮必須參加，則有種派法．所以至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加的派法共有（種）．19.已知二次函數(shù)，其導函數(shù)圖象如圖，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】（1）依據(jù)題設條件建立方程組求解；（2）借助題設條件,運用導數(shù)的知識建立不等式組求解.（1）由已知，其圖象直線，且過，兩點，，（2）因為，的單調(diào)增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為要使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則，解得20.已知函數(shù).（1）當時，求證：；（2）當時，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析，（2）【解析】【分析】（1）要證，只要證，所以利用導數(shù)求出的最小值即可；（2）（），轉(zhuǎn)化為，而時此式恒成立，所以只考慮的情況，所以轉(zhuǎn)化為，構造函數(shù)，然后利用導數(shù)求出其最小值即可【詳解】（1）證明：當時，，定義域為，則，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，也是的最小值點，且，所以，（2）解：由（），得（），當時，上述不等式恒成立，當時，，令（），則，由（1）可知，當時，，所以由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，也是的最小值點，且，所以，所以實數(shù)的取值范圍為21.已知二項式.（1）若展開式中第5項、第6項、第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式的第8項；（2）若展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于79，求展開式中二項式系數(shù)最大的項.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)第5項、第6項、第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，列出關于的方程，再根據(jù)組合數(shù)的計算公式求出，再根據(jù)展開式的通項即可的解；（2）根據(jù)展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于79，結(jié)合組合數(shù)的計算公式求出，再根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可得出答案.【小問1詳解】因為展開式中第5項、第6項、第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，所以，且，即，解得或，當時，，當時，；【小問2詳解】展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于79，即，所以，解得或（舍去），所以展開式中第項的二項式系數(shù)最大，.22.已知函數(shù)，其中．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)的零點的個數(shù)．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）求導，再分，和分類討論即可；（2）根據(jù)單調(diào)性及零點存在性定理分析即可.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，，在一元二次方程中，，①當時，恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；②當時，恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；③當時，一元二次方程有兩個不相等的根，分別記為，有，，可得，有