吉林省長(zhǎng)春市朝陽(yáng)區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市朝陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共24分）1．（3分）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，﹣5）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，﹣5） B．（3，5） C．（3，﹣5） D．（5，﹣3）4．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．＝26．（3分）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L之間的距離為6千米，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為α，則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（）A．6sina千米 B．6cosα千米 C．6tanα千米 D．千米7．（3分）若拋物線y＝x2+2x﹣5經(jīng)過(guò)（﹣5，y1）（﹣2，y2），（2，y3）三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y38．（3分）對(duì)于拋物線y＝ax2+bx+c，y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：x…﹣3﹣1034…y…10﹣2﹣5﹣23…下列說(shuō)法中正確的是（）A．開(kāi)口向下 B．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大 C．對(duì)稱軸為直線x＝1 D．函數(shù)的最小值是﹣5二、填空題（每小題3分，共18分）9．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．10．（3分）長(zhǎng)春軌道交通6號(hào)線預(yù)計(jì)于2024年開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，在比例尺為1：500000的地圖上，量得全線長(zhǎng)約為6cm，則軌道交通6號(hào)線的實(shí)際距離約為km．11．（3分）函數(shù)y＝﹣（x+3）2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．12．（3分）在一個(gè)不透明口袋中裝有1個(gè)紅球和n個(gè)白球，它們除了顏色以外沒(méi)有任何其他區(qū)別．?dāng)噭蚝髲目诖须S機(jī)摸出1個(gè)球，記錄下顏色后放回口袋中并攪勻，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，摸到白球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.8，則n的值為．13．（3分）如圖是一位同學(xué)用激光筆測(cè)量某古城墻高度的示意圖．該同學(xué)將一個(gè)平面鏡水平放置在點(diǎn)P處，從點(diǎn)A射入的光線經(jīng)平面鏡反射后剛好照到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，測(cè)得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，則古城墻的高度CD是米．14．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（6，c），點(diǎn)A（x1，y1）B（5，y2）在該函數(shù)圖象上．當(dāng)m﹣1≤x1≤m時(shí)，若y1≤y2，則m的取值范圍是．三、解答題（本大題10小題，共78分）15．（6分）計(jì)算：．16．（6分）解方程：2（x﹣5）2﹣8＝0．17．（6分）二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象經(jīng)過(guò)（4，3）和（0，﹣5）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．18．（7分）2023年國(guó)際乒聯(lián)混合團(tuán)體世界杯于2023年12月4日在成都舉行，本次賽會(huì)的會(huì)徽彰顯了成都文化特色，吉祥物“乒乒”將大熊貓與乒乓球運(yùn)動(dòng)相結(jié)合，表達(dá)了成都人民對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)的喜愛(ài)．現(xiàn)有三張不透明的卡片，其中一張卡片的正面圖案為會(huì)徽，另外兩張卡片的正面圖案都為吉祥物“乒乒”，卡片除正面圖案不同外其余均相同，將這三張卡片背面向上并攪勻．（1）小明從中隨機(jī)抽取一張，“抽到卡片上的圖案是會(huì)徽”是事件（填“隨機(jī)”“不可能”或“必然”）；（2）小亮從中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的圖案后背面向上放回，重新攪勻后再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張．請(qǐng)用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小亮兩次抽到的卡片上的圖案都是吉祥物“乒乒”的概率．（圖案為會(huì)徽的卡片記為A，圖案為吉祥物的兩張卡片分別記為B1、B2）19．（7分）桑梯是我國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種采桑工具．圖①是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖②所示，已知AB＝AC＝1.6米，AD＝1.2米．在安全使用的前提下，當(dāng)∠BAC＝30°時(shí)，桑梯頂端D達(dá)到最大高度，求此時(shí)D到地面BC的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，精確到0.1米）20．（7分）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中畫∠ABC，使tan∠ABC＝1；（2）在圖②中畫∠ABD，使；（3）在圖③中畫∠ABE，使．21．（8分）如圖，一位足球運(yùn)動(dòng)員在距離球門中心水平距離8米的A處射門，球沿一條拋物線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)球運(yùn)動(dòng)的水平距離為6米時(shí)，達(dá)到最大高度3米．（1）建立圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知球門高OB為2.44米，通過(guò)計(jì)算判斷這位運(yùn)動(dòng)員能否將球射進(jìn)球門．22．（9分）【教材呈現(xiàn)】圖1是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁(yè)的部分內(nèi)容．例2：如圖1，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)．AD、CE相交于點(diǎn)G．求證：．證明：連接ED．【結(jié)論證明】請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過(guò)程．【結(jié)論應(yīng)用】（1）如圖①，若S△CDG＝2，則S△ABC＝；（2）在圖①的條件下，過(guò)點(diǎn)G的直線分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．若AB＝10，AM＝AC＝6，四邊形CDGN的面積為10，則S△ABC＝．23．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC﹣CB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，連結(jié)PD．作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)A'；連結(jié)A′D、A′P、A′A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）線段AD的長(zhǎng)為；（2）用含t的代數(shù)式表示線段CP的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求A′D與△ABC的一條直角邊平行時(shí)t的值；（4）當(dāng)△ADA′為銳角三角形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（4，5），點(diǎn)P在該拋物線上，橫坐標(biāo)為2m﹣1．（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)PQ⊥y軸時(shí)，求m的值；（3）將該拋物線上P、Q兩點(diǎn)之間的部分（包括P、Q兩點(diǎn)）記為圖象G．①當(dāng)圖象G上只有兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為4時(shí)，求m的取值范圍；②當(dāng)圖象G與直線y＝2m﹣3只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市朝陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共24分）1．（3分）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）A． B． C． D．【解答】解：在函數(shù)y＝﹣，y＝，y＝x，y＝3x2﹣中，二次函數(shù)為y＝3x2﹣．故選：D．2．（3分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)椋?，＝2，＝2，＝2，所以與是同類二次根式，故選：B．3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，﹣5）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，﹣5） B．（3，5） C．（3，﹣5） D．（5，﹣3）【解答】解：點(diǎn)P（﹣3，﹣5）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣5），故選：C．4．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【解答】解：2x2+x﹣m＝0，∵a＝2，b＝1，c＝﹣m，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝1+8m＞0，∴m＞﹣．故選：C．5．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．＝2【解答】解：A、與不能合并，不符合題意；B、2﹣＝，不符合題意；C、×＝，符合題意；D÷＝，符合題意．故選：C．6．（3分）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L之間的距離為6千米，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為α，則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（）A．6sina千米 B．6cosα千米 C．6tanα千米 D．千米【解答】解：在Rt△ALR中，RL＝6，∠ARL＝α，∴tanR＝，∴AL＝LR?tanR＝6tanα（km）．故選：C．7．（3分）若拋物線y＝x2+2x﹣5經(jīng)過(guò)（﹣5，y1）（﹣2，y2），（2，y3）三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【解答】解：y＝x2+2x﹣5的對(duì)稱軸為x＝﹣1，（﹣5，y1），（﹣2，y2），（2，y3）三點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離分別為4，1，3，∴y1＞y3＞y2，故選：B．8．（3分）對(duì)于拋物線y＝ax2+bx+c，y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：x…﹣3﹣1034…y…10﹣2﹣5﹣23…下列說(shuō)法中正確的是（）A．開(kāi)口向下 B．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大 C．對(duì)稱軸為直線x＝1 D．函數(shù)的最小值是﹣5【解答】解：把（﹣1，﹣2），（0，﹣5），（3，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣6），當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，故A，B，D錯(cuò)誤，C正確，故選：C．二、填空題（每小題3分，共18分）9．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x≥1．【解答】解：若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案為：x≥1．10．（3分）長(zhǎng)春軌道交通6號(hào)線預(yù)計(jì)于2024年開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，在比例尺為1：500000的地圖上，量得全線長(zhǎng)約為6cm，則軌道交通6號(hào)線的實(shí)際距離約為30km．【解答】解：根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，得：軌道交通6號(hào)線的實(shí)際距離約為：6×500000＝3000000（cm），3000000cm＝30km．故答案為：30．11．（3分）函數(shù)y＝﹣（x+3）2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，1）．【解答】解：∵函數(shù)y＝（x+3）2+1，∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣3，1）．故答案為：（﹣3，1）．12．（3分）在一個(gè)不透明口袋中裝有1個(gè)紅球和n個(gè)白球，它們除了顏色以外沒(méi)有任何其他區(qū)別．?dāng)噭蚝髲目诖须S機(jī)摸出1個(gè)球，記錄下顏色后放回口袋中并攪勻，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，摸到白球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.8，則n的值為4．【解答】解：根據(jù)題意，袋中球的總個(gè)數(shù)約為1÷（1﹣0.8）＝5（個(gè)），所以袋中白球的個(gè)數(shù)n＝5﹣1＝4，故答案為：4．13．（3分）如圖是一位同學(xué)用激光筆測(cè)量某古城墻高度的示意圖．該同學(xué)將一個(gè)平面鏡水平放置在點(diǎn)P處，從點(diǎn)A射入的光線經(jīng)平面鏡反射后剛好照到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，測(cè)得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，則古城墻的高度CD是4.5米．【解答】解：由題意得：∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∴＝，∴CD＝4.5，∴該古城墻的高度CD是4.5m，故答案為：4.5．14．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（6，c），點(diǎn)A（x1，y1）B（5，y2）在該函數(shù)圖象上．當(dāng)m﹣1≤x1≤m時(shí)，若y1≤y2，則m的取值范圍是2≤m≤5．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（6，c），∴x＝0時(shí)，y＝c，x＝6時(shí)，y＝c，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝3，∵拋物線開(kāi)口向上，且y1≤y2，∴A（x1，y1）到對(duì)稱軸的距離小于或等于點(diǎn)B（5，y2）到對(duì)稱軸的距離，如圖，∴，解得2≤m≤5．故答案為：2≤m≤5．三、解答題（本大題10小題，共78分）15．（6分）計(jì)算：．【解答】解：原式＝3+2﹣5＝5﹣5＝0．16．（6分）解方程：2（x﹣5）2﹣8＝0．【解答】解：2（x﹣5）2﹣8＝0，則2（x﹣5）2＝8，∴（x﹣5）2＝4，∴x﹣5＝±2，∴x＝±2+5，∴x1＝3，x2＝7．17．（6分）二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象經(jīng)過(guò)（4，3）和（0，﹣5）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向右平移﹣1個(gè)單位后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象經(jīng)過(guò)（4，3）和（0，﹣5），∴，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣5；（2）令y＝0，則x2﹣2x﹣5＝0，解得x1＝1﹣，x2＝1+，∴拋物線y＝x2﹣2x﹣5與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，0），A（1+，0），∴將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向右平移（﹣1）個(gè)單位后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故答案為：﹣1．18．（7分）2023年國(guó)際乒聯(lián)混合團(tuán)體世界杯于2023年12月4日在成都舉行，本次賽會(huì)的會(huì)徽彰顯了成都文化特色，吉祥物“乒乒”將大熊貓與乒乓球運(yùn)動(dòng)相結(jié)合，表達(dá)了成都人民對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)的喜愛(ài)．現(xiàn)有三張不透明的卡片，其中一張卡片的正面圖案為會(huì)徽，另外兩張卡片的正面圖案都為吉祥物“乒乒”，卡片除正面圖案不同外其余均相同，將這三張卡片背面向上并攪勻．（1）小明從中隨機(jī)抽取一張，“抽到卡片上的圖案是會(huì)徽”是隨機(jī)事件（填“隨機(jī)”“不可能”或“必然”）；（2）小亮從中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的圖案后背面向上放回，重新攪勻后再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張．請(qǐng)用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小亮兩次抽到的卡片上的圖案都是吉祥物“乒乒”的概率．（圖案為會(huì)徽的卡片記為A，圖案為吉祥物的兩張卡片分別記為B1、B2）【解答】解：（1）由題意得，小明從中隨機(jī)抽取一張，“抽到卡片上的圖案是會(huì)徽”是隨機(jī)事件．故答案為：隨機(jī)．（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小亮兩次抽到的卡片上的圖案都是吉祥物“乒乒”的結(jié)果有：（B1，B1），（B1，B2），（B2，B1），（B2，B2），共4種，∴小亮兩次抽到的卡片上的圖案都是吉祥物“乒乒”的概率為．19．（7分）桑梯是我國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種采桑工具．圖①是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖②所示，已知AB＝AC＝1.6米，AD＝1.2米．在安全使用的前提下，當(dāng)∠BAC＝30°時(shí)，桑梯頂端D達(dá)到最大高度，求此時(shí)D到地面BC的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，精確到0.1米）【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，如圖，∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°．∵AB＝AC＝1.6米，AD＝1.2米，∴CD＝AC+AD＝2.8（米）．在Rt△DCE中，∵sinC＝，∴sin75°＝，∴DE＝2.8×sin75°≈2.8×0.97＝2.716≈2.7（米）．答：當(dāng)∠BAC＝30°時(shí)，D到地面BC的距離2.7米．20．（7分）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中畫∠ABC，使tan∠ABC＝1；（2）在圖②中畫∠ABD，使；（3）在圖③中畫∠ABE，使．【解答】解：（1）如圖1，∠ABC即為所求．（2）如圖2，∠ABD即為所求．（3）如圖，∠ABE即為所求．21．（8分）如圖，一位足球運(yùn)動(dòng)員在距離球門中心水平距離8米的A處射門，球沿一條拋物線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)球運(yùn)動(dòng)的水平距離為6米時(shí)，達(dá)到最大高度3米．（1）建立圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知球門高OB為2.44米，通過(guò)計(jì)算判斷這位運(yùn)動(dòng)員能否將球射進(jìn)球門．【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），設(shè)拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，把點(diǎn)A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣2）2+3；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣×4+3＝＞2.4，∴球不能射進(jìn)球門．22．（9分）【教材呈現(xiàn)】圖1是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁(yè)的部分內(nèi)容．例2：如圖1，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)．AD、CE相交于點(diǎn)G．求證：．證明：連接ED．【結(jié)論證明】請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過(guò)程．【結(jié)論應(yīng)用】（1）如圖①，若S△CDG＝2，則S△ABC＝12；（2）在圖①的條件下，過(guò)點(diǎn)G的直線分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．若AB＝10，AM＝AC＝6，四邊形CDGN的面積為10，則S△ABC＝40．【解答】【結(jié)論證明】證明：∵D，E分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝，∴＝＝．【結(jié)論應(yīng)用】解：（1）∵＝，S△CDG＝2，∴AD＝3GD，∴S△ACD＝S△CDG＝3S△CDG＝3×2＝6，∵BD＝CD，∴S△ABD＝S△CDG＝6，∴S△ABC＝S△ABD+S△CDG＝6+6＝12，故答案為：12．（2）如圖②，作CF∥AB交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CK∥AD交FN于點(diǎn)K，∵AB＝10，AM＝AC＝6，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5，∴EM＝AM﹣AE＝6﹣5＝1，∵EM∥CF，∴△EMG∽△CFG，∴＝＝，∴CF＝2EM＝2×1＝2，∵∠FCN＝∠MAN，∠KCN＝∠GCN，∴∠FCN﹣∠KCN＝∠MAN﹣∠GAN，∴∠FCK＝∠MAG，∵∠F＝∠AMG，∴△FCK∽△MAG，∴＝＝＝，∵CK∥AG，∴△CKN∽△AGN，∴＝＝，∴AC＝4CN，∴S△CAG＝4S△CNG，∵＝，∴S△CDG＝S△CAG＝×4S△CNG＝2S△CNG，∴2S△CNG+S△CNG＝S四邊形CDGN＝10，∴S△CNG＝，∴S△CDG＝2S△CNG＝2×＝，S△CAG＝4S△CNG＝4×＝，∴S△ABD＝S△ACD＝S△CDG+S△CAG＝+＝20，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝20+20＝40，故答案為：40．23．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC﹣CB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，連結(jié)PD．作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)A'；連結(jié)A′D、A′P、A′A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）線段AD的長(zhǎng)為5；（2）用含t的代數(shù)式表示線段CP的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求A′D與△ABC的一條直角邊平行時(shí)t的值；（4）當(dāng)△ADA′為銳角三角形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝10，∵點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，∴AD＝AB＝×10＝5，故答案為：5；（2）分兩種情況：①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)，CP＝AC﹣AP＝8﹣2t；②當(dāng)4＜t＜7時(shí)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，CP＝2t﹣8；綜上所述，CP＝；（3）∵點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)，∴AD＝A′D，∴點(diǎn)A′的運(yùn)動(dòng)軌跡為以D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑的圓上，分兩種情況：①當(dāng)A′D∥BC時(shí)，如圖1，延長(zhǎng)DP交AA′于點(diǎn)E，AC交A′D于點(diǎn)F，則∠DFE＝∠ACB＝90°，∴∠AFA′＝∠DFP＝90°，∵A′D∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，解得：AF＝4，DF＝3，∴A′F＝A′D﹣DF＝AD﹣DF＝5﹣3＝2，∵點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)，∴DE⊥AA′，∴∠AEP＝90°，∴∠AEP＝∠DFE，∵∠APE＝∠DPF，∴∠A′AF＝∠EDF，∵∠AFA′＝∠DFP，∴△AFA′∽△DFP，∴＝，即＝，解得：PF＝，∴AP＝AF﹣PF＝4﹣＝，∴t＝＝（s）；②當(dāng)A′D∥AC時(shí)，如圖2，設(shè)AA′交DP于點(diǎn)E，則∠PAE＝∠DA′E，∵點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)，∴AE＝A′E，在△APE和△A′DE中，，∴△APE≌△A′DE（ASA），∴AP＝A′D，∴AP＝AD＝5，∴此時(shí)，t＝（s），綜上所述，A′D與△ABC的一條直角邊平行時(shí)t的值為或；（4）當(dāng)∠ADA′＝90°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)DP交AA′于點(diǎn)E，連接A′B交AC于點(diǎn)F，∵AD＝A′D，∴△ADA′是等腰直角三角形，∴AA′＝AD＝5，∵點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)，∴DE⊥AA′，AE＝AA′＝，設(shè)CF＝x，則AF＝8﹣x，∵以D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑的圓