高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題一 高頻客觀命題點(diǎn) 1.4 平面向量練習(xí) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

1.4平面向量命題角度1平面向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理高考真題體驗(yàn)·對方向1.(2018全國Ⅰ·6)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則EB=()A.34AB-C.34AB+答案A解析如圖,EB=-BE=-12=1=12=342.(2017全國Ⅲ·12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD,則λ+μ的最大值為()A.3 B.22 C.5 D.2答案A解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,1),B(0,0),D(2,1).設(shè)P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=|BC即圓的方程是(x-2)2+y2=45易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=λAB+μAD,得x=2μ,y-1=-λ,所以所以λ+μ=12x-y+1設(shè)z=12x-y+1,即12x-y+1-z=因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在圓(x-2)2+y2=45所以圓心C到直線12x-y+1-z=0的距離d≤r即|2-z所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故選A.3.(2015全國Ⅰ·7)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),BC=3CD,則()A.AD=-13AB+C.AD=43答案A解析如圖:∵AD=AB+BD∴AD==-134.(2015全國Ⅱ·13)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=.

答案1解析由題意知存在常數(shù)t∈R,使λa+b=t(a+2b),得λ=t,1=2t典題演練提能·刷高分1.已知兩個非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b與n=2a+λb共線,則實(shí)數(shù)λ的值為()A.5 B.3 C.2.5 D.2答案C解析∵向量m=4a+5b與n=2a+λb共線,∴存在實(shí)數(shù)t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb),又向量a,b互相垂直,故a,b不共線.∴2t=4,tλ2.在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),BE與AC的交點(diǎn)為F,設(shè)AB=a,AD=b,則向量BF=()A.13a+23b B.-13aC.-13a+23b D.13a答案C解析BF=23BE=23(BC+CE)=23(b3.(2019寧夏平羅中學(xué)高三期中)已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列,在△ABC中,BD=tBC(t∈R),若AD=a3AB+a5AC,則a3a5的最大值為()A.1 B.12 C.14 D答案C解析∵BD=tBC,故B,C,D三點(diǎn)共線.∵AD=a3AB+a5AC,∴a3+a5=1,數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列,故a3>0,a5>0,∴1=a3+a5≥2a3a5,解得a3a5≤4.(2019山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校高三聯(lián)考)如圖Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,∠BAC平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D,設(shè)AB=a,AC=b,則向量AD=(A.a+b B.12a+C.a+12b D.a+2答案C解析設(shè)圓的半徑為r,在Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,所以∠BAC=π3,∠ACB=π6,∠BAC平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6,則根據(jù)圓的性質(zhì)有BD=CD=AB.又因?yàn)樵赗t△ABC中,AB=12AC=r=OD,所以四邊形ABDO為菱形,所以AD=AB+5.已知在△ABC中,D為邊BC上的點(diǎn),且BD=3DC,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),BE=mAB+nAC,則m+n=.

答案-1解析如圖所示,BE=BD-12=1=38(AC-AB)又BE=mAB+nAC,所以mAB+nAC=-78所以m+78AB+n-38AC=又因?yàn)锳B與所以m=-78,n=38,所以m+n=-6.在平面向量中有如下定理:設(shè)點(diǎn)O,P,Q,R為同一平面內(nèi)的點(diǎn),則P、Q、R三點(diǎn)共線的充要條件是:存在實(shí)數(shù)t,使OP=(1-t)OQ+tOR.試?yán)迷摱ɡ斫獯鹣铝袉栴}:如圖,在△ABC中,點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)F在AC邊上,且CF=2FA,BF交CE于點(diǎn)M,設(shè)AM=xAE+yAF,則x+y=.

答案7解析∵B,M,F三點(diǎn)共線,∴存在實(shí)數(shù)t,使得AM=(1-t)AB+tAF,又AB=2AE,∴AM=2(1-t)AE+又E,M,C三點(diǎn)共線,∴2(1-t)+13t=1,解得t=3∴AM=2(1-t)AE+tAF=∴x=45,y=35,x+y=命題角度2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算高考真題體驗(yàn)·對方向1.(2019全國Ⅱ·3)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,則AB·BC=(A.-3 B.-2 C.2 D.3答案C解析由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,則BC=(1,0).所以AB·BC=(2,3)·2.(2016全國Ⅲ·3)已知向量BA=12,32A.30° B.45° C.60° D.120°答案A解析由題意得cos∠ABC=BA·所以∠ABC=30°,故選A.3.(2018全國Ⅲ·13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=.

答案1解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=124.(2016全國Ⅰ·13)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.

答案-2解析∵|a+b|2=|a|2+|b|2,∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.典題演練提能·刷高分1.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)∥(2a+tb),則t=()A.0 B.12 C.-2 D.-答案C解析因?yàn)閍-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因?yàn)?a-b)∥(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),∴t=-2,故選C.2.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=a-tb,若b⊥c,則實(shí)數(shù)t=()A.1 B.-1 C.2 D.2答案A解析由題意得c=a-tb=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4-t),∵b⊥c,∴b·c=(-1,1)·(2+t,4-t)=-(2+t)+(4-t)=2-2t=0,解得t=1.故選A.3.已知a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b,則|c|=()A.26 B.32 C.10 D.6答案B解析∵a=(1,2),b=(-1,1),∴c=2a-b=(3,3),∴|c|=9+9=32,故選B.4.已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=λb+μc,則λμ=.答案-3解析由a=λb+μc可知(-1,1)=λ(2,-1)+μ(1,2)=(2λ+μ,-λ+2μ),∴2λ+μ=-1,-λ+2μ=1,解得5.向量BA=(1,2),CA∥BA,且|CA|=25,則BC的坐標(biāo)為答案(3,6)或(-1,-2)解析∵CA∥BA,∴CA=tBA=(t,2t又|CA|=25,∴t2+4t2=5t2=20,解得t=±2.當(dāng)t=2時,BC=BA+AC=(1,2)+(-2,-4)=(當(dāng)t=-2時,BC=BA+AC=(1,2)+命題角度3計(jì)算平面向量的數(shù)量積高考真題體驗(yàn)·對方向1.(2018全國Ⅱ·4)已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=()A.4 B.3 C.2 D.0答案B解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.2.(2018全國Ⅰ·8)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則FM·FN=A.5 B.6 C.7 D.8答案D解析易知F(1,0),過點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線方程為y=23(x+2).聯(lián)立拋物線方程y2=4x,得y不妨設(shè)M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FM·FN=3.(2017全國Ⅱ·12)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA·(PB+PC)的最小值是(A.-2 B.-32 C.-43 D.答案B解析以BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).設(shè)P(x,y),則PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y所以PA·(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-3當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,32時,PA·(PB+PC4.(2016天津·7)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為(A.-58 B.18 C.14答案B解析設(shè)BA=a,BC=b,則DE=12AC=12(b-a),DF=32DE=34(b-a),AF=AD+DF=-12a+34(b-a)=-55.(2017天津·13)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-答案3解析∵BD=2DC,∴AD=AB+BD又AE=λAC-AB,∠A=60°,AB=3,AC=2,AD·∴AB·AC=3×2×12=3,23AC+1即2λ3∴2λ3×4-13×9+λ3-23×3=-4,即113λ典題演練提能·刷高分1.點(diǎn)B是以線段AC為直徑的圓上的一點(diǎn),其中|AB|=2,則AC·AB=(A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析由圓的性質(zhì)知∠ABC=90°,所以cos∠BAC=BAAC所以AC·AB=|AC|·|AB|·cos∠BAC=|AC|·|AB|·|AB2.在△ABC中,已知|AB+AC|=|AB-AC|,AB=1,AC=3,M,N分別為BC的三等分點(diǎn),則AM·A.109 B.209 C.89答案B解析∵|AB+AC|=|AB-AC|,∴又M,N分別為BC的三等分點(diǎn),AM·AN=AB+13BC·AC+13CB=AB·AC+13AB·CB+13BC·3.如圖,四邊形ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,E,F分別為BC,CD的中點(diǎn),則AE·EF=(A.12 B.-32 C.32 D答案D解析在菱形ABCD中邊長為2,∠BAD=60°,∴AB·AD=2×2×cos60°又∵AE=∴AE·EF=(AB+1=12=1212×4+12×2-4=-4.(2019河北棗強(qiáng)中學(xué)高三一模)已知△ABC中,|BC|=2,BA·BC=-2.點(diǎn)P為BC邊上的動點(diǎn),則PC·(PA+A.2 B.-34 C.-2 D.-答案D解析以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖的直角坐標(biāo)系.可得B(-1,0),C(1,0),設(shè)P(a,0),A(x,y),由BA·BC=-2,可得(x+1,y)·(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y則PC·(PA+PB+PC)=(1-a,0)·(x-a-1-a+1-a,y+0+0)=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3a-162-2512,當(dāng)a=16時,PC·(PA+5.在△ABC中,∠C=90°,|AB|=6,點(diǎn)P滿足|CP|=2,則PA·PB的最大值為(A.9 B.16 C.18 D.25答案B解析取AB的中點(diǎn)D,連接CD.設(shè)PC與CD的夾角為PA·PB=(PC+CA)·(PC+CB)=PC2+PC·(CA+CB)+CA·CB=PC2+PC·(CA+CB)=22+PC·2CD=4+2PC·CD=4+2|PC所以當(dāng)α=00時,PA·PB的最大值為16.6.已知菱形ABCD的一條對角線BD長為2,點(diǎn)E滿足AE=12ED,點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),若AD·BE=-答案-7解析如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)C(t,0),A(-t,0),B(0,-1),D(0,1),E-23t,13,Ft2,12,AD=(t,1),BE=-23t,43,CD=(-t,1),AF=3t∵AD·BE=-2,∴-23t2+43=-2,解得t2=5,CD·AF=-32命題角度4平面向量數(shù)量積的應(yīng)用高考真題體驗(yàn)·對方向1.(2019全國Ⅰ·7)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為()A.π6 B.π3 C.2π答案B解析因?yàn)?a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.所以cos<a,b>=a·所以a與b的夾角為π3,故選B2.(2019全國Ⅲ·13)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,則cos<a,c>=.答案2解析∵a,b為單位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a-5b,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-45a·b=9,∴|c|=3.又a·c=2|a|2-5a·b=2,∴cos<a,c>=a·3.(2017山東·12)已知e1,e2是互相垂直的單位向量,若3e1-e2與e1+λe2的夾角為60°,則實(shí)數(shù)λ的值是.

答案3解析∵e1,e2是互相垂直的單位向量,∴可設(shè)a=3e1-e2=(3,-1),b=e1+λe2=(1,λ).則<a,b>=60°.∴cos<a,b>=cos60°=a·即3-λ=λ2+1,解得λ=典題演練提能·刷高分1.如圖,在△ABC中,N為線段AC上靠近A的三等分點(diǎn),點(diǎn)P在BN上且AP=m+211A.1 B.12 C.911 D答案D解析∵N為線段AC上靠近A的三等分點(diǎn),∴AN