17.1 第3課時 勾股定理 教學(xué)設(shè)計

人教版八下17.1.3勾股定理（第3課時）教學(xué)設(shè)計教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)流程圖地位與作用勾股定理指出了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，搭建起了幾何圖形與數(shù)量關(guān)系之間的橋梁，是平面幾何最重要的定理之一，在實際生活與數(shù)學(xué)學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)課應(yīng)用勾股定理解決簡單的實際問題，進一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).概念解析應(yīng)用勾股定理解決實際問題，需先從實際問題中抽象出直角三角形，再利用勾股定理已知兩邊求出第三條邊的長，最后將數(shù)學(xué)問題的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解.思想方法應(yīng)用勾股定理解決實際問題的過程體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)建模的思想，可以鍛煉學(xué)生分析問題和解決問題的能力.知識類型應(yīng)用勾股定理解決實際問題屬于原理和規(guī)則性知識，使用勾股定理的前提是在直角三角形中，因此從實際問題中抽象出直角三角形是關(guān)鍵步驟.教學(xué)重點應(yīng)用勾股定理解決實際問題．教學(xué)目標解析教學(xué)目標能從實際問題中抽象出直角三角形，并運用勾股定理進行簡單的計算或證明．目標解析目標達成的標志是對于問題情境中已經(jīng)給出直角三角形的情況，能根據(jù)給定的兩條邊的長度求出第三條邊的長度；如果問題情境中沒有給出直角三角形，能正確理解實際問題的情境，抽象出直角三角形，利用勾股定理求出未知邊的長度，最終轉(zhuǎn)化為實際問題的解.教學(xué)問題診斷分析具備的基礎(chǔ)學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷探索勾股定理的全過程，能利用勾股定理在直角三角形中已知兩條邊的長求出第三條邊的長度.與本課目標的差距分析本節(jié)課是利用勾股定理解決簡單的實際問題，學(xué)生需要在理解問題情境的基礎(chǔ)上使用勾股定理.存在的問題有些實際問題中并沒有直接給出直角三角形，需要在正確理解問題情境的基礎(chǔ)上進行抽象或構(gòu)造，學(xué)生可能在抽象的過程中存在障礙.應(yīng)對策略注重對實際情境的分析，可以從問題出發(fā)，組織學(xué)生小組合作交流，正確理解實際問題的情境.教學(xué)難點從實際問題情境中抽象出直角三角形.教學(xué)支持條件分析本節(jié)課涉及較多的實際問題，包含文字、圖形等信息，在PPT演示的基礎(chǔ)上，可以印制學(xué)生活動方案便于學(xué)生審題和分析.在應(yīng)用勾股定理解決實際問題的過程中，學(xué)生應(yīng)準備三角板以便于作圖.教學(xué)過程設(shè)計課前檢測1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，求AB.2.已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，BC=6，求AC.3.若一直角三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊長為__________.設(shè)計意圖：檢測學(xué)生對直接應(yīng)用勾股定理求直角三角形未知邊長的掌握情況，包括已知兩直角邊和已知一直角邊一斜邊兩種情況.復(fù)習(xí)引入問題1：我們已學(xué)習(xí)完勾股定理，勾股定理是如何表述的？師生互動設(shè)計：文字語言：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2

.符號語言：如圖，在Rt△ABC中，

BC2+AC2

=AB2

或

a2＋b2

＝

c2

.設(shè)計意圖：回顧勾股定理的內(nèi)容和表述方式，為應(yīng)用勾股定理解決實際問題做鋪墊.實際應(yīng)用歸納總結(jié)勾股定理建立起了幾何圖形與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，在實際生活中也有廣泛的應(yīng)用.【例題1】一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？師生互動設(shè)計：學(xué)生審題，小組內(nèi)交流對問題的理解.教師巡視，參與學(xué)生的交流討論.若存在困難的學(xué)生較多，教師展開追問；若大部分學(xué)生能找到解決問題需要的直角三角形ABC，則請小組代表進行展示、講解.設(shè)計意圖：根據(jù)大部分學(xué)生的理解水平設(shè)計兩種應(yīng)對方案，教師進行啟發(fā)性追問或?qū)W生代表展示解題思路.追問1：薄木板可以豎著通過門框嗎？橫著呢？師生互動設(shè)計：學(xué)生經(jīng)過審題可以發(fā)現(xiàn)，木板的寬為2.2m，大于門框的長，因此無論豎著或橫著都不能通過.只能嘗試傾斜著通過門框.設(shè)計意圖：幫助學(xué)生理解問題情境，根據(jù)題中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)木板只能嘗試傾斜著通過門框.追問2：若木板傾斜著通過門框，門框能通過的最大長度是多少？師生互動設(shè)計：學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)對角線AC的長度是斜著能通過的最大長度，可以在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長度.，

，設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對角線AC的長度是斜著能通過的最大長度，找到Rt△ABC，進而使用勾股定理求出AC的長度.追問3：木板能斜著通過門框嗎？師生互動設(shè)計：因為AC大于的木板的寬度，所以木板能從門框內(nèi)通過.設(shè)計意圖：將數(shù)學(xué)問題的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解，體會數(shù)學(xué)建模的全過程.【例題2】如圖，一架2.6米長的梯子AB

斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO

為2.4米．（1）求梯子的底端B距墻角O多少米？（2）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米嗎？師生互動設(shè)計：對于第（1）問，學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)在Rt△AOB中，直接利用勾股定理求出OB的長度即可.

，則OB=1，即梯子的底端B距墻角O為1米.設(shè)計意圖：在題中給定的直角三角形中直接使用勾股定理求出線段的長度，從而將實際問題解決.追問1：對于第（2）問，在梯子下滑的過程中，有沒有什么不變量？你能畫出示意圖表示下滑0.5米之后的狀態(tài)嗎？師生互動設(shè)計：在梯子下滑過程中，梯子的長度始終不變，由此作出示意圖，頂端A下滑至C，底端B外移至D，構(gòu)成Rt△COD，AC=0.5米，CD=AB=2.6米，求出BD的長度就能求出底端外移的長度.設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生把握變化過程中的不變量，畫出示意圖，構(gòu)造直角三角形，將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題.追問2：如何求出BD的長度？師生互動設(shè)計：在Rt△COD中，OC=OA-AC=2.4-0.5=1.9，根據(jù)勾股定理得，，因此

所以梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，梯子底端B不是外移0.5米，而是約為0.77米.設(shè)計意圖：在構(gòu)造出的直角三角形中使用勾股定理，求出未知線段的長，最終將實際問題解決.

培養(yǎng)學(xué)生從身邊的事物中抽象出幾何模型的能力，使學(xué)生更加深刻地認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)：數(shù)學(xué)來源于生活，并能服務(wù)于生活．【例題3】我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一個問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？問題可以翻譯為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度與蘆葦?shù)拈L度分別是多少？師生互動設(shè)計：在前兩個例題的基礎(chǔ)上，學(xué)生進行小組合作探究，交流討論自己的想法和解法，教師參與學(xué)生的討論，最終請學(xué)生代表進行展示.如圖，根據(jù)題意，BC=5，AB的長度即為水深，AC的長度為蘆葦?shù)拈L度，因為拉動蘆葦?shù)倪^程中蘆葦?shù)拈L度保持不變，因此AC=AB+1.在Rt△ABC中，可設(shè)AB=x,則AC=x+1，根據(jù)勾股定理得：，可列方程

，解得x=12，即水深為12尺，蘆葦高13尺.設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生閱讀提取信息的能力，感受我國古代的數(shù)學(xué)文化.根據(jù)題意抽象出直角三角形后，是已知一邊長和另外兩邊的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)勾股定理可以列出方程求解.本題由學(xué)生小組探究完成，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力以及合作交流的精神.歸納