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文檔簡介

1.6重因式和重根1.判別下列多項式有無重因式?若有,求其重數(shù).(1);(2);(3)(4)解:(1),于是,所以沒有重因式;(2)顯然是的因式,因此是的二重因式.(3),由于,所以是的二重因式;(4)由于,所以有3重因式;此時2.確定a的值,使有重因式解:,由于所以當(dāng)時,有3重因式;3.確定a、b的值,使至少是的二重因式.解:,于是有所以4.求在Q上的標準分解式.解:而所以5.設(shè)不可約多項式,且是的重因式,證明是的k重因式.證明:因為所以是的因式,設(shè)是的s重因式,由定理1.6.2,則一定是的重因式,于是,所以,即是的k重因式.6.證明:是的三重因式.證明:由于所以是的因式;考慮則所以是的因式;故它至少是的二重因式;再令,則,于是不再是的因式,所以只是的單因式,亦即只是的單因式,也亦即是的二重因式.所以是的二重因式,從而是的三重因式.7.a、b滿足什么條件,下列有理系數(shù)多項式才能有重因式.(1);(2)解:(1)若則有3重因式;當(dāng)時,只有單因式;如果在Q上不可約,則不可能有重因式;如果在Q上可約,則因式只能是的形式,此時如果有重因式,則所以此時有,即有重因式的充要條件是(2)當(dāng)時,則有4重因式;當(dāng)時,只有單因式;如果在Q上不可約,則不可能有重因式;如果在Q上可約,則因式只能是和的形式,此時如果有重因式,則所以此時有;如果有重因式,則而這個等式不可能成立,所以有重因式的充要條件是8.如果,求A、B解:因為,所以;其次設(shè)所以欲使9.設(shè),證明證明:顯然令,于是有但所以10.設(shè),證明證明:設(shè),令于是的根必為的根,而的根滿足所以但進一步有,即11.設(shè),證明的根只能是零或者n次單位根.這里證明:由于,若則,進一步有…所以都是的根,由于不是零多項式

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