高考數(shù)學(xué)易錯、易搞、易忘題匯編

高中數(shù)學(xué)易錯、易混、易忘題分類匯編

“會而不對，對而不全”一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何

解決這個問題對決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗精心挑選學(xué)

生在考試中常見的66個易錯、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點和重點，做到力避偏、怪、

難，進行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實存在,

另一方面通過作針對性練習(xí)幫你識破命題者精心設(shè)計的陷阱，以達到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)

破浪，實現(xiàn)自己的理想報負(fù)。

【易錯點1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。

例1、設(shè)A={x|f—8x+15=0},6={x|ax—1=0},若4口8=8,求實數(shù)a組成的集

合的子集有多少個？

【易錯點分析】此題由條件An8=B易知3=A,由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易

忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。

解析：集合A化簡得A={3,5},由4「8=6知8q4故(1)當(dāng)5=。時，即方程以一1=0無

解，此時a=0符合已知條件(H)當(dāng)時，即方程ax—1=0的解為3或5,代入得a=1或2。

35

綜上滿足條件的a組成的集合為，0,-,-1,故其子集共有23=8個。

I35J

I【知識點歸類點拔】(1)在應(yīng)用條件AUB=B=ACB=A=A。B時，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，N

j將集合A是空集8的情況優(yōu)先進行討論.

(2)在解答集合問題時，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對集合元素的限制。

有時需要進行檢驗求解的結(jié)果是滿足集合中元索的這個性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語言(數(shù)學(xué)語

I言)和自然語言之間的轉(zhuǎn)化如：A={(x,y)|x2+y2=4卜

:8={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=，},其中r>0,若求r的取值范圍。將集合所表達:

|的數(shù)學(xué)語言向自然語言進行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以(3,4)|

i為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點即兩圓相離或內(nèi)含時，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利i

i用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語言的應(yīng)用。i

:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________I

【練1】己知集合A=|x2+4x=01B=|x|x2+2(a+l)x+a2-l=01\BA

則實數(shù)a的取值范圍是一。紜軍：4=1或44—1

【易錯點2］求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。

例2、已知(X+2)?+?=1,求f+y2的取值范圍

【易錯點分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的函數(shù)最值求解，但極易忽略X、

/、2y2

y滿足(x+2)+亍=1這個條件中的兩個變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴大。

解析：由于(x+2?+上=1得(X+2)2=1-)-W1,.,.-3<xWT從而x2+y2=-3x2-16x-12=

44

2882828

+—因此當(dāng)X=-1時X、y2有最小值1,當(dāng)X=-一時,x、y2有最大值一。故x^+y,的取值范圍是[1,—]

3333

55

i2i

\【知識點歸類點拔】事實上我們可以從解析兒何的角度來理解條件(x+2『+匕=1對x、y的限制，!

I41

?i

I顯然方程表示以(-2,0)為中心的橢圓，則易知-3WxWT,-2<y<2?此外本題還可通過三角換元I

：轉(zhuǎn)化為三角最值求解。I

22

【練2】(05高考重慶卷)若動點(x.y)在曲線亍+方=1(/?>0)上變化，則x2+2y的最大值為

()

A2fA2

—+4(0<Z><4)一+4(0<6<2)b2

(A)〈4\"(B)〈4\(O—+4(D)2h

4

2b(b>4)[2b(b>2)

答案:A

【易錯點3]求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的言義域。

例3、/(%)="；271是口上的奇函數(shù),(1)求a的值(2)求的反函數(shù)/T(X)

【易錯點分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯。

解析：⑴利用"x)+/(-X)=0(或”0)=0)求得a=l.

2X-1

(2)由0=1即f(X)=設(shè)y=/(x)，則2"(1—y)=1+y由于y71故2”1+Z

2*+1i-y

也2'-12—

XTog2f，而=—所以尸(x)=log2"x(-l<x<l)

【知識點歸類點拔】(1)在求解函數(shù)的反函數(shù)時，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函

數(shù)的解析式后表明(若反函數(shù)的定義域為R可省略)。

(2)應(yīng)用f-'(b)=a。/(a)=b可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和

函數(shù)值要互換。

【練3】(2004全國理)函數(shù)/(X)=J』+1(x21)的反函數(shù)是()

A、y=x2-2x+2(x<1)B、y-x2-2x+2(x>1)

c、y=x2-2x(x<1)D、y=x2-2x(x>1)

答案：B

【易錯點4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯位

1_2x

例4、己知函數(shù)/(x)=，--,函數(shù)y-g(x)的圖像與y-(x-l)的圖象關(guān)于直線y-x對

稱，則y=g(x)的解析式為()

/\3—2x/\2—xi\1—x/\3

A、g(x)=-----B、g(x)="；---C、g(x)=^—D、g(x)=-

x1+x2+x2+x

【易錯點分析】解答本題時易由y=g(X)與y=f-\x-1)互為反函數(shù)，而認(rèn)為y=/T(X—1)的

]-2(x-1)3-2x

反函數(shù)是y=/(x-l)則y=g(x)=/(x-l)==------而錯選A。

1+(x-1)X

解析：由/(%)=-——得于(x)=--從而y=y1(x-1)=-~9~?=-―-再求

')1+xv72+xv)2+(-1)1+x

2一

y=(x-l)的反函數(shù)得g(x)=~|一-o正確答案：B

；【知識點分類點拔】函數(shù)y=—1)與函數(shù)y=/(x—1)并不互為反函數(shù)，他只是表示了7(x)

|中x用x-i替代后的反函數(shù)值。這是因為由求反函數(shù)的過程來看：設(shè)y=/(x—1)則/-(y)=x—1,

；x=/一,(y)+]再將x、y互換即得,=/(x—l)的反函數(shù)為y=/7(/)+],故,=/(x—l)的

I反函數(shù)不是y=因此在今后求解此題問題時一定要謹(jǐn)慎。

【練4】(2004高考福建卷)已知函數(shù)y=logzx的反函數(shù)是y=『(x),則函數(shù)y=f'(l-x)的圖象是()

(A)(B)(C)(D)

答案:B

I【易錯點5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點對稱。|

愴(12)

例5、判斷函數(shù)/(X)的奇偶性。

|x-2|-2

愴(1孑

【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：/(—x)=w/(x)從

|x+2|-2

而得出函數(shù)/（X）為非奇非偶函數(shù)的錯誤結(jié)論。

1-x2>0

解析：由函數(shù)的解析式知X滿足<即函數(shù)的定義域為（一i,o）U（0,1）定義域關(guān)于原點對稱,

小-21H±2

|gIj一1I

在定義域下f（X）=q~」易證/（-X）=-f（X）即函數(shù)為奇函數(shù).

—X

:【知識點歸類點拔】（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件,因此在判斷

I函數(shù)的奇偶性時一定要先研究函數(shù)的定義域。

;（2）函數(shù)/（X）具有奇偶性，則/（X）=/（-X）或/（1）=一/（一1）是對定義域內(nèi)x的恒等式。常

|常利用這一點求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。

…【練5］而斷卜歹U函數(shù)的奇偶限

1+sinx+cosx

①/（工）=

l+sinx-cosx

答案：①既是奇函數(shù)乂是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)

【易錯點6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。

2x-2

例6、函數(shù)/（X）=logzZx+iX<—>一的反函數(shù)為/-'（X），證明是奇函數(shù)且在

22

其定義域上是增函數(shù)。

【思維分析】可求/T（x）的表達式，再證明。若注意到了T（x）與/（X）具有相同的單調(diào)性和奇偶性,

只需研究原函數(shù)/（X）的單調(diào)性和奇偶性即可。

-2x-l2x+l2x-l

-2t+12jt_|2jt+1

解析：f（--*■）=log2=log2=-log2=-f（x）,故/（x）為奇函數(shù)從而尸（x）為

,

奇函數(shù)。又令f=--~j-=1-5義］在］-8,一；）和［，，+8）上均為增函數(shù)且y=log2為增函數(shù),

故/（X）在上分別為增函數(shù)。故/T（x）分別在（0,+8）和（-8,0）上分別為

增函數(shù)。

【知識點歸類點拔】對于反函數(shù)知識有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。（2）奇函數(shù)：

的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。（3）定義域為非單元素的偶函數(shù)不存在反函數(shù)。

（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即

「（b）=aof（a）=b.I

【練6】（1）（99全國高考題）已知/（X）=^~~--則如下結(jié)論正確的是（）

A、/'（X）是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、/（X）是奇函數(shù)且為減函數(shù)

C、/（X）是偶函數(shù)且為增函數(shù)D、/（X）是偶函數(shù)且為減函數(shù)

答案：A

⑵（2005天津卷）設(shè)尸（x）是函數(shù)（a>l）的反函數(shù)，則使尸（x）>l成立的x的

/—I/—1。2一]

取值范圍為（）A、（-----,+oo）B、（-00,-----------）C、（-----,。）D、（凡+8）

2a2a2a

答案：A（a>l時，〃x）單調(diào)增函數(shù)，所以尸（力>1。/（尸（*））>/⑴=x>〃l）=嚓.）

【易錯點7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。

b

例7、試判斷函數(shù)/（x）=ax+—（a>0,/?>0）的單調(diào)性并給出證明。

【易錯點分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義

X,6D,x2GD/（%,）>/（%2）（/（七）</（》2））中的X],32的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是

函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識。

解析：由于/（—x）=—/（X）即函數(shù)"X）為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)“X）在（0,+8）匕的單調(diào)性

/（%）一/（%2）=（斗_》2）竺&―-由于王一工2>0故當(dāng)

即可。設(shè)X]>>0

王》2

時/（西）一/（》2）〉0，此時函數(shù)/（x）在上增函數(shù)，同理可證

函數(shù)/（X）在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù),在

:【知識歸類點拔】（1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應(yīng)

1!引起足夠重視。

\⑵單調(diào)性的定義等價于如下形式：“X）在可上是增函數(shù)=[（'）7（上）〉0,“X）在

玉—X?

上是減函數(shù)=\這表明增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩

X]一工2

點(石，/(芯)),(々，/(々))連線的斜率都大于(小于)零。

(3)/(x)=ar+2(a〉o,b>o)是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中不

也,+8

能說f(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),在敘

a

述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時不能在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符號“u”和“或”，

］一1

【練7】(1)(濰坊市統(tǒng)考題)f(x)=ax+--(a>0)(1)用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)/(X)在

(0,+8)上的單調(diào)性。(2)設(shè)/(x)在0<x41的最小值為g(a),求y=g(a)的解析式。

2——(a>1)

答案：(1)函數(shù)在一,4-co為增函數(shù)在0,—為減函數(shù)。(2)y=g(a)=

aa(0<a<1)

(2)(2001尺津)設(shè)a>0IL/(X)=W-+3為R上的偶函數(shù)。(1)求a的值(2)試判斷函數(shù)在(0,+00)

ae

上的單調(diào)性并給出證明。

答案：(I)a=\(2)函數(shù)在(0,+oo)上為增函數(shù)(證明略)

【易錯點8］在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯誤

結(jié)論。

例8、(2004全國高考卷)已知函數(shù)/(%)=4丁+3%2-》+1匕是減函數(shù)，求a的取值范圍。

【易錯點分析】r(x)<0(xe(a,b))是“X)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程

中易誤作是充要條件，如/(x)=—/在R上遞減，但/'(x)=-3%2<0。

解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'(x)=3ax2+6x—1(1)當(dāng)/'(x)<0時，/(x)是減函數(shù)，則

a<0

/'(x)=Bax?+6尢-1<0(xeR)故■解得a<—3?(2)當(dāng)a=-3時，

A<0

O

f(x)=-3x3+3x2-x+l=-3+—易知此時函數(shù)也在R上是減函數(shù)。(3)當(dāng)a〉一3時,

9

在R上存在一個區(qū)間在其上有/'(x)>0,所以當(dāng)a>—3時，函數(shù)/(x)不是減函數(shù)，綜上，所求a

的取值范圍是(一8,—3］。

:L點收】六函曖“X)川導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)q函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明：①/'(x)>0I

1Jf(x)為增函數(shù)的關(guān)系：f'(x)>0能推出f(X)為增函數(shù)，但反之不?定:如函數(shù)/(X)=X3小

(-00,+00)上單調(diào)遞增，但/'(尤)N0*.../(力>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件。②

尸(無)#0時，f'(x)>0。f(x)為增函數(shù)的關(guān)系：花將/'(x)=0的根作為分界點，因為規(guī)定

/'(X)HO.即摳去了分界點，此時f(x)為增函數(shù)，就定有尸(x)>0/.1f\x)*0.

f\x)>0是/(無)為增函數(shù)的充分必要條件。③f'(x)>0與/(無)為增函數(shù)的關(guān)系:/(X)為增函數(shù).

?定可以推""'(無))0.但反之不?定,因為f\x)>0.邛&f\x)>0或f'(x)=0"I函數(shù)在

某個M間內(nèi)恒。f'(x)=0,則f(x)為常衰r,函數(shù)不具有單調(diào)性.f'(x)之0是/(x)為增函數(shù)的

必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以I：

-:個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單

調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇到端點的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。

因此本題在第步后再對a=-3和a>—3進行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條

件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯誤還很多，這需耍同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中注意思

維的嚴(yán)密性.

【練8】(1)(2003新課程)函數(shù)y=%2+bx+c(xe(O,+00))是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()

A>/?>0B、Z?〈0C、)>0D、/?<0

答案：A

21

'■2)/.Lft/i-/i：.這樣的Kd，使函數(shù)/(x)=k~x&--%3-kx~+2x+5在(1,2)匕遞減，/卜:(2,+8)

上遞增?

答案：女=L(提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知/⑵=0,但/(2)=0是函數(shù)在(1,2)上遞減，

住(2,+oo)上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由f'(2)=0求巾K值后要立：；

【易錯點9】應(yīng)用重要不等式確定最值時，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變量

值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。

例9、已知：a>0,b>0,a+b=l,求(a+L)2+(b+')2的最小值.

ab

錯解:(a+—)*2+(b+—)2=a2+b2+[+1+4>2ab+—+45：4+4=8(a+—)2+(b+—)2

aba~b~abVabab

值是8

【易錯點分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b：'02ab,第一次等號成立的條件是a=b=1,第

2

二次等號成立的條件ab=」-，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。

ab

解析：原式=a2+b2+-^-+-^+4=(a2+b2)+(-^+-^)+4=［(a+b)2-2ab］+［(-+-)--1+4

a2b2a2b2ahab

1a+b11111

=(l-2ab)(1+—^)+4由abW(-----)'=一得：l-2ab^l--=一，且一r^曾，1+二~^217

a2b22422a2b2a2b2

12511125

...原式2一xi7+4=——(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=一時，等號成立).?.1+-)46+—)2的最小值是一。

222ah2

【知識歸類點拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、三：

相等”，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。

【喙飛】7■全國卷文2國2-2)甲、一通施前應(yīng)藐；汽車從甲施團速行駛氫刁口適度不得嘉11瓶元廠

已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km/h)的平

方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

答案為：⑴y^-(hv2+a)(O<vWc)⑵使全程運輸成本最小，當(dāng)箱Sc時，行駛速度v=J：

行駛速度V=Co

【易錯點10】在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時，沒有根據(jù)性質(zhì)進行分類討論的意識和易忽略對數(shù)函］

數(shù)的真數(shù)的限制條件。：

例10、是否存在實數(shù)a使函數(shù)〃x)=log嚴(yán)T在［2,4］上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在，說

明理由。

【易錯點分析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程中易忽略對數(shù)

函數(shù)的真數(shù)大于零這個限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴大。

解析：函數(shù)/(X)是由火力二口^一方和了二心8/⑴復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方

法⑴當(dāng)a>l時，若使/(力=108尸一,在［2,4］上是增函數(shù)，則0(x)=af-X在［2,4］上是增函

數(shù)且大于零。故有彳2a解得a>l。(2)當(dāng)a〈l時若使〃x)=log：…在［2,4］上是增

"2)=4"2〉0

［±>4

函數(shù)，則0(x)=ax2-%在［2,4］上是減函數(shù)且大于零。<2a不等式組無解。綜上

［0(4)=16"4〉0

所述存在實數(shù)a>l使得函數(shù)/(刈=108嚴(yán)7在［2,4］上是增函數(shù)

M門茴瀛嬴通贏豪港贏鬲癡贏或贏莉荷晶港嬴手二SS薪嬴轉(zhuǎn):“：

次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的

范圍(大于1還是小于1),特別在解決涉及指、對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想(對

:數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制)。

【練10］（1）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)a>0,且aw1試求函數(shù)曠=log“4+3x-x2的的單調(diào)區(qū)

間。

上單調(diào)遞減在之，4）上單調(diào)遞增當(dāng)a>1函數(shù)在（一1,之上單調(diào)

答案：當(dāng)0<a<l,函數(shù)在

2}I2

遞增在g,4）上單調(diào)遞減。

3

(2)(2005高考天津)若函數(shù)/(x)=logu(x-ax)(a>0,aw1)在區(qū)間(一(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的

139

取值范圍是()A,[-,1)B.[-,1)C、(-,-Ko)D、吟

答案:B.（記g（x）=V_ax,貝ij=3/當(dāng)a>1時,要使得“X）是增函數(shù)，則需有g(shù)'（X）>0

恒成立，所以=：.矛盾.排除C、D當(dāng)0<。<1時，要使“X）是函數(shù)，則需有g(shù)'（x）<0恒

成立，所以"3卜=；.排除A）

【易錯點11】用換元法解題時,易忽略換元前后的等價性.________________________

1；

例11、已知sinx+siny=§求siny-cosx的最大值

1.

【易錯點分析】此題學(xué)生都能通過條件smx+siny=5將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的函數(shù)，進而利用換

元的思想令，=sinx將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價性而造成

錯解，

解析：由已知條件有siny=§—sinx且siny=；-sinx￡（結(jié)合sinx￡）得

2.212.7?2

——<sinx<1,而siny-cosx=——sinx-cosx==sin-x-sinx——令

333

（2\2（2、2

t—sinx—</<l則原式=產(chǎn)—t——根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)t——即

I3）313）3

24

sinx=——時，原式取得最大值一。

39

【知識點歸類點拔】“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高彳

學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一|

個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和I

設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)i

準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的|

變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ模?/p>

形式，把復(fù)雜的計算和推證簡化。

【練11](1)(高考變式題)設(shè)a>0,000求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a?的最大值和

最小值。

1V2

-(0<a<—)

答案：f(x)的最小值為一2a2-2JIa-萬，最大值為，

—2a2+lypla——(G>—)

(2)不等式J7>ax+3的密集是(4,b),MOa—_________,b=,,

2

；：a=(,b=36，提小令換兀&=f原不等式變?yōu)殛P(guān)乎t的一元:次不等式的解集為(2,JB))

【易錯點12］已知S“求a“時，易忽略n=1的情況.

例12、(2005高考北京卷)數(shù)列｛4｝前n項和S“且q=1,4+|=5%。(1)求“2，4，%的值及數(shù)列

｛%｝的通項公式。

［易錯點分析】此題在應(yīng)用sn與an的關(guān)系時誤認(rèn)為an=s“一s0T對于任意n值都成立，忽略了對n=l

的情況的驗證。易得出數(shù)列｛《,｝為等比數(shù)列的錯誤結(jié)論。

1416,11/

解析：易求得出=§，%=§，%=為。由4=1,4+1=-s?得4=§s,i(〃22)故

。向-4,“一=§a“(〃N2)得。川=§%(〃22)又q=1,電=§故該數(shù)列從第

1(/?=1)

二項開始為等比數(shù)列故a“=<1(4、n-2

I叱2)

JuJ

Si(n=1)

【知識點歸類點拔】對于數(shù)列a“與%之間有如下關(guān)系：a“=<［利用兩者之間的關(guān)系

.4-s,i(〃22)

可以已知s“求a“。但注意只有在當(dāng)％適合a“=5“一S〃T(〃>2)時兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)

的形式。

【練121(2004全國理)已知數(shù)列｛%｝滿足q=l,a“=4+2a,+3%+...+(n-l)a?_1(〃>2)

則數(shù)列｛a“｝的通項為.

1(〃=1)

答案：(將條件右端視為數(shù)列｛〃〃“｝的前n-1項和利用公式法解答即可)a=<

n*22)

12

［易錯點13】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子

集(從1開始)

例13、等差數(shù)列｛?！埃氖醉?>0,前n項和5“，當(dāng)/NZH時，Sm=S,o問n為何值時S.最大？

【易錯點分析】等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大

值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域為正整數(shù)集這個限制條件。

，/、〃1）,d2（d\

解析：由題意知s“=+——-一-d-—n~+1a,-萬卜此函數(shù)是以n為變量的二次函

數(shù)，因為q>0,當(dāng)/時，s,“=即故d<0即此二次函數(shù)開口向下，故由/（/）=/（，〃）得當(dāng)

X=.2時f（X）取得最大值,但由于〃eN+,故若/為偶數(shù)，當(dāng)77=2時，%最大。

./4-m±1

當(dāng)/+小為奇數(shù)時，當(dāng)〃=---------時,最大。

2”

P【知識點歸類點拔】數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可視為定義域為正整數(shù)集或其子集（從1開始）上1

I的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點應(yīng)用函數(shù)知識解決問題。特別的等差數(shù)列的前n項和公］

1式是關(guān)于n的：次函數(shù)且沒有常數(shù)項，反之滿足形如s“=an1+bn所對應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前1

:n項和。此時由漢=〃〃+%知數(shù)列中的點是同一直線上，這也是一個很重要的結(jié)論。此外形如1

〃InJ

I?I

!前n項和s“=ca"-C所對應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項和。I

【練13］（2001全國高考題）設(shè)｛4“｝是等差數(shù)列，S“是前n項和，且55<S6>56-S-）>Sg>則F列

結(jié)論錯誤的是。A、d<0B>a-,-0c.59>s5D、$6和57均為s”的最大值。

答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項和關(guān)于n的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）

【易錯點14］解答數(shù)列問題時沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣.

例14、已知關(guān)于的方程x2—3x+a=0和x2—3x+b=0的四個根組成首項為一的等差數(shù)列，求

4

4+6的值。

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項是如

何排列的。

解析：不妨設(shè)一是方程x?-3x+a=0的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程

4

工2—33+。=0的另?根是此等差數(shù)列的第四項，而方程Jr?-3x+b=0的兩根是等差數(shù)列的中間兩

3579273531

項，根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：一,——，一故。=—,b=——從而a+b=一。

44,4416168

【知識點歸類點拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識的一個重要方面，有解題中充分運用數(shù)列的性

質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對于等差數(shù)列｛a?｝,若〃+m=p+q,則a,,+a,“=+%,；

對于等比數(shù)列｛a?｝,若"+機=M+V，則%?%=4?%,;若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，sn是其前n

項的和，keN*,那么S…S2k-Sk,53A-S2k成等比數(shù)列；若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，s“是其前n

項的和，keN”,那么Sk，S2k-Sk,S3&—S2L成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。

【練14](2003全國理天津理)已知方程x2-2x+m=0和x?-2x+"=0的四個根組成一個首項

1||313

為一的等差數(shù)列，則|用一同=()A、1B、一C、一D、一

411428

答案：c_______________________________________________________________________________________

【易錯點15】用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比q=1的情況

例15、數(shù)列｛%｝中，6=1,a2=2,數(shù)列｛?！?%+[｝是公比為4(q>0)的等比數(shù)列。

(I)求使+?！?1%+2>?！?2。〃+3成立的q的取值范圍；(H)求數(shù)列｛%｝的前2〃項的和§2〃.

【易錯點分析】對于等比數(shù)列的前n項和易忽略公比q二l的特殊情況，造成概念性錯誤。再者學(xué)生沒有從

定義出發(fā)研究條件數(shù)列?〃〃+]｝是公比為q(4>0)的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項成等比數(shù)

列而找不到解題突破口。使思維受阻。

解：⑴.?.數(shù)列｛%q+J是公比為q的等比數(shù)列，."“Tam=/%+闖，％+2%+3=%%+/,

由a/用+%+i*+2>%+24+3得+%%+闖>4%/nl+q*,即

q~-q—1<0(q>0),解得0<q<—.

(II)由數(shù)列｛a,,?a“+1｝是公比為4的等比數(shù)列，得="=%旦=4，這表明數(shù)列｛%｝的

所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是q,又叫=1，a2=2，：?當(dāng)4片1時，

^2?=%+%+“3+&4---ha2n-l+a2n

=(6fI+〃2+〃3+???+)+(〃2++〃6+??,+&2n)

%(「/)電(1T')_3(1T')

=--------------------1--------------------=-----------------,當(dāng)q=1時，

"q"qi-q

S

2>,=a[+a2+a｝+a4+---+a2n_i+a2n

+。2+。3+…+%）+（。2+。4+。6+…+）

(1+1+1+…+1)+(2+2+2+…+2)=3〃.

:【知識點歸類點拔】本題中拆成的兩個數(shù)列都是等比數(shù)列，其中""=夕是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列g(shù)

aI七11fit

的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項、偶數(shù)項都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個數(shù)列成等比數(shù)列，

解題時要慎重，寫出數(shù)列的前幾項進行觀察就得出正確結(jié)論.對等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種

:特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計陷阱使考生產(chǎn)生對現(xiàn)而不全的錯誤。:

【練15](2005高考全國卷一第一問)設(shè)等比數(shù)列｛4,｝的公比為q,前n項和S“>0(1)求q的取值范

圍。

答案：1,0)U(0,+oo)

【易錯點16]在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項和不會采用錯項相減法

或解答結(jié)果不到位。

例16、.(2003北京理)已知數(shù)列｛a.｝是等差數(shù)列，且％=2,/+a2+a3=12

(1)求數(shù)列｛《｝的通項公式⑵令a=a“x"(xw/?)求數(shù)列也｝前項和的公式。

【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列｛%｝的通項公式再由數(shù)列｛a