2020-2021學(xué)年廣東省惠州市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （含解析）

2020-2021學(xué)年廣東省惠州市高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(共8小題).

1.設(shè)集合A={x|y<x<3],8={x|(x+D(x-2)<0}，則4U8=)

A.(x|y<x<2}B.{x\-l<x<3}C.{x|y<D.{x|l<x<2}

2.函數(shù)/(x)=/gx+后W的定義域?yàn)?)

A.[0,2]B.(0,2JC.[0,+8)D.(-8,2]

ITR

3.已知a是第二象限角，cos(g+a)=-得，則tana=()

D.12

4.己知y=log?x(n>0,的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,1),則>=%"的圖象大致為()

i*

D.

lxx

5.已知〃=嚴(yán)，2=0.23,c=logo.23,則〃,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

6.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為!為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100〃?L血

液中酒精含量達(dá)到20?79〃吆的駕駛員即為酒后駕車(chē)，達(dá)到80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕

車(chē).假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg//泣，如果在

此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，那么他至少要經(jīng)過(guò)

()小時(shí)后才可以駕獨(dú)機(jī)動(dòng)車(chē).(參考數(shù)據(jù)：值2~0.30,/g3Po.48).

A.3B.4C.5D.6

7.已知f(x)=siiir4-cos2x,g(x)=-3siav-m,若對(duì)任意的XGR,f(x)2g(x)恒成

立，則實(shí)數(shù)次的最小值為()

A.述B.5C.1D.-1

2~x(x<0)

8.已知函數(shù)f(x)=1、，g(x)=/(x)-x-2".若g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)

lrA(x>0)

x

數(shù)。的取值范圍是()

A.(-8,-1]B.[1,+8)C.[-1,+8)D.[0,+8)

二、多選題：

9.已知c>d>0,則下列不等式成立的是()

A.a+c>b+dB.—^s--

dc

C.Ca+b)c>(a+b)dD.ca+b>(f'+b

10.下面選項(xiàng)中正確的有()

A.命題的否定是(lBx<2,x<4"

B.命題“Vx€R,f+x+ivo”的否定是“IrWR,f+x+l'O”

C.“a>l”是“工<1”的充要條件

a

D.設(shè)a,bER,則"0"是"abRO"的必要不充分條件

11.設(shè)函數(shù)/(x)=cos2x+sin2x,則下列選項(xiàng)正確的有()

A./(x)的最小正周期是n

JTJT

B.f(X)滿(mǎn)足f(-^-+x)=f(丁-x)

JT

C./(x)在［a,切上單調(diào)遞減，那么人-a的最大值是今

D.y=/(x)的圖象可以由yf反cos2x的圖象向右平移弓■個(gè)單位得到

12.已知函數(shù)/CO是定義在(-8,0)u(0,+8)上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=

’2出11-1,0<x<2

<1,、、.以下說(shuō)法正確的是()

yf(x-2),x>2

L乙

A.當(dāng)2<xW4時(shí)，?)=2尻訃1卷

B.f(2n+l)=-(y)n(n€N)

C.存在項(xiàng)€(-8,0)U(0,+8),使得/(xo)=2

D.函數(shù)g(x)=V(x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為10

三、填空題：

2

3計(jì)算再lg(10-2)+4、A——

14.若正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足2x+y=l,則2xy的最大值為.

15.若扇形圓心角的弧度數(shù)是2,且該扇形弧長(zhǎng)是4c7”，則這個(gè)扇形的面積為cm2.

16.某同學(xué)為研究函數(shù)f(x)=，l+x2+Vi+(l_x)2(O《x《l)的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的

兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD和BEFC,點(diǎn)尸是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=x,則AP+PF

=f(x).請(qǐng)你參考這些信息，推知函數(shù)/(外的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是；函數(shù)g(x)

四、解答題:

17.如圖，點(diǎn)A、B在單位圓。上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為諄，力，點(diǎn)8在第二象限，"03為

55

正三角形，點(diǎn)C是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn).

(1)求sinZCOA的值；

(2)求cos/COB的值.

18.己知函數(shù)/(x)=2J^sirwcosx+2cos4-1.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

19.已知集合A={x|-￥+4x+i2>0},集合已={M/n-3VXV―-9}.

現(xiàn)有三個(gè)條件：條件①4n8=8,條件②BUCRA,條件③AUB=8.

請(qǐng)從上述三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線(xiàn)上，并求解下列問(wèn)題：

(1)若根=4,求(CRA)n&

(2)若,求根的取值范圍.

9

20.已知函數(shù)—(a>0),且/(0)=0.

2x+a

(1)判斷了(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

(2)若f(x))弋恒成立，求〃，的最大值.

21.汽車(chē)“定速巡航”技術(shù)是用于控制汽車(chē)的定速行駛，當(dāng)汽車(chē)被設(shè)定為定速巡航狀態(tài)時(shí)，

電腦根據(jù)道路狀況和汽車(chē)的行駛阻力自動(dòng)控制供油量，使汽車(chē)始終保持在所設(shè)定的車(chē)速

行駛，而無(wú)需司機(jī)操縱油門(mén)，從而減輕疲勞，促進(jìn)安全，節(jié)省燃料.某汽車(chē)公司為測(cè)量

某型號(hào)汽車(chē)定速巡航狀態(tài)下的油耗情況，選擇一段長(zhǎng)度為240k〃7的平坦高速路段進(jìn)行測(cè)

試.經(jīng)多次測(cè)試得到一輛汽車(chē)每小時(shí)耗油量F(單位：L)與速度v(單位：km/h}(0

WuW120)的下列數(shù)據(jù)：

V0406080120

F020651020

38

為了描述汽車(chē)每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：F(v)=

ax^+bv'+cv,v

F(v)=(y)+?-F(v)=k\o2tlv+b.

（1）請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式.

（2）這輛車(chē)在該測(cè)試路段上以什么速度行駛才能使總耗油量最少？

22.對(duì)于函數(shù)/（x）,若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)即，使得f（沏+1）=f（xo）+f（l）成立，

則稱(chēng)/（X）有“漂移點(diǎn)”X0.

（1）判斷函數(shù)/（x）=f+2”在［0,1］上是否有“漂移點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)￡6）=18（-—）在（0,+8）上有“漂移點(diǎn)”，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

x"+l

參考答案

一、單選題:

1.設(shè)集合A={x|y<x<3),B={x|(x+l)(x-2)<0),則AUB=(

A.{x|y<x<2]B.{x\-l<x<3}C.{x仔<x〈l}D.{x|l<x<2}

【分析[求出集合5,從而求出3和A的并集即可.

解：集合A=[xIy<x<3},B={x\(x+1)a-2)<0}={x|-l<x<2},

則AUB={x|-1VXV3},

故選：B.

函數(shù)f(x)=lgx+T2-x的定義域?yàn)?

A.[0,2]B.(0,2]C.[0,+oo)D.(-8,2]

【分析】根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)，要滿(mǎn)足的條件為真數(shù)大于零、被開(kāi)方式大于等于零.

解：要使函數(shù)f(x)有意義，只需要解得0<xW2,所以定義域?yàn)?0,2],

\

故選：B.

JTC

3.已知a是第二象限角，cos(?+<1)=-得，則tana=()

A.B.—C.—D.

1213125

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)己知可求sina,進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計(jì)算

求解.

冗5

解：'-*cos(-z-+CX)=-sinCI于

「?sina

：a是第二象限角，

???cosac.=--1j-2r->

JLO

.c5

??tanO-

故選：A.

4.已知y=log然(。>0,。#1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,1),則y=d的圖象大致為()

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)的定點(diǎn)求出fl的值，進(jìn)而求出幕函數(shù)的解析式，然后根據(jù)幕函

數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

解：因?yàn)榻?jīng)過(guò)P(3,1),所以log“3=l,所以“=3,

所以幕函數(shù)為y=f,顯然為奇函數(shù)，排除A、C,

又因?yàn)閥=/在在(1,+8)時(shí)，增長(zhǎng)趨勢(shì)比y=x快速，所以排除。，

故選：B.

5.己知。=3叱Z?=0.23,c=logo,23,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

23

解:Va=30->l,0</>=0.2<1,c=log0,23<0,

.".a>b>c.

故選：A.

6.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為!為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100,“血

液中酒精含量達(dá)到20?79,咫的駕駛員即為酒后駕車(chē)，達(dá)到80〃琢及以上認(rèn)定為醉酒駕

車(chē).假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6〃吆/〃/，如果在

此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，那么他至少要經(jīng)過(guò)

()小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動(dòng)車(chē).(參考數(shù)據(jù)：妒=0.30,3-0.48).

A.3B.4C.5D.6

【分析】利用題中給出的信息，設(shè)他至少要經(jīng)過(guò)f小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動(dòng)車(chē)，則60(1

-20%)'<20,然后利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解，即可得到答

案.

解：某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6〃?g/"”，則100血血

液中酒精含量達(dá)到60ml,

在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，

他至少要經(jīng)過(guò)f小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動(dòng)車(chē)，則60(1-20%))<20,

0.8t<春

1_Ilg3lg30.48..c

=4,8

0go.8目-1°g魚(yú)3--lg4_lg5-i-3ig2^1-3X0.3.

5

???整數(shù)1的值為5.

故選：A.

7.已知f(x)=siar4-cos2x,g(x)=-3siiiv-m,若對(duì)任意的xeR,f(x)2g(x)恒成

立，則實(shí)數(shù)機(jī)的最小值為()

A.75B.5C.D.-1

【分析】由不等式反解出m,由恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出

最值即可求解.

【解答】【解析】由題意知sinx+cos2x2-3sinx-m,.\m^2sin2x-4sinx-1對(duì)任意R恒

成立，

只需m2(Zsin—-4siri￥-1)max,

令g(x)=2sin2x-4sinx-1=2(sinx-1)2-3,

，當(dāng)sinx=-1時(shí)，g(x)〃如=5,

???根25,???實(shí)數(shù)〃z的最小值為5,

故選：B.

<2-x(x<0)

8.已知函數(shù)f(x)=41,、、，g(工)=f(x)-x-2a.若g(尤)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)

lrA(x>0)

x

數(shù)。的取值范圍是()

A.(-°0,-1]B.[1,+°°)C.[-1,+8)D.[0,+8)

【分析】令g(x)=0,可得f(x)=x+2",作出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=x+2"的圖象，

通過(guò)函數(shù)y=g(x)有2個(gè)零點(diǎn)求解〃的范圍即可.

解：令g(x)=0,可得F(x)=x+2",作出函數(shù)(x)與函數(shù)y=x+2"的圖象如圖所

示，

由圖可知，當(dāng)2"》1時(shí)，即時(shí)，函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=x+2"的圖象有2個(gè)交點(diǎn),

此時(shí)，函數(shù)y=g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［0,+~).

故選：A.

二、多選題：

9.已知〃>人>0,c>d>0,則下列不等式成立的是()

A.a+c>b+dB.—>—

dc

C.(a+b)c>(a+b)11D.ca+b>(f+b

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可直接判斷AB；取特殊值即可判斷C；由幕函數(shù)的單調(diào)

性即可判斷。.

解：'：a>b>0,c>d>0,

.?.由不等式的基本性質(zhì)，知4和B都正確；

取a］，b4則a+b/（。，】），???e）y號(hào)”，故c錯(cuò)誤;

?.?幕函數(shù)y=x"+"，在（0,+8）上是增函數(shù)，

當(dāng)c>d>0時(shí)，ca+h>d''h,故D正確.

故選：ABD.

10.下面選項(xiàng)中正確的有（）

A.命題“mx22,的否定是f<4"

B.命題“VxeR,x，x+l<0”的否定是“*R,f+x+lNO”

C.“a>l”是“工<1”的充要條件

a

D.設(shè)mb&R,則“aWO”是“"WO”的必要不充分條件

【分析】利用命題的否定，判斷A，B的正誤：充要條件的關(guān)系，判斷C,￡>的正誤即可.

解：對(duì)于選項(xiàng)A,特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，

“張》2,才-4"的否定是“vx>2,f<4"，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，

“任意X6R,則，+x+lV0”的否定是“存在xeR,則f+x+l》O"，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,工<］_今三工（a-1）>OQaVO或

aa

則是“工〈1”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；

a

對(duì)于選項(xiàng)D,abW0oa#0且人W0,

則ZWO"是'勿力W0”的必要不充分條件，故。正確.

故選：BD.

11.設(shè)函數(shù)/（x）=cos2x+sin2x,則下列選項(xiàng)正確的有（）

A.于3的最小正周期是11

兀兀

B?f（x）滿(mǎn)足f（式+x）=f（z--x）

JT

C.f（x）在［a,b］上單調(diào)遞減，那么b-a的最大值是.

TT

D.y=f（x）的圖象可以由yf為cos2x的圖象向右平移彳個(gè)單位得到

【分析】利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的周期公式即可求函數(shù)

最小正周期，即可判斷A；分別求解了(亍-苫)和,即可判斷B；利用正弦

函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；利用三角函數(shù)的平移變換即可判斷D.

,..V2ATQJI

解：*?f(x)=cos2x+sin2x=\/2(-^cQs2x+-^sin2x)=V^sin(2x+^^~)，

對(duì)于選項(xiàng)A：丁=等=兀，即A正確：

對(duì)于選項(xiàng)

B：f(---+x)=V2sin[2(-^-+x)+~^-]=V2sin(2x+J^-)=V2sin(-^-2x)，

f今7)=揚(yáng)碓弓一)+?=V^in(平-2x)=，^cos

即X—不是y=/(x)的對(duì)稱(chēng)軸，故3錯(cuò)誤：

對(duì)于選項(xiàng)C：+2k兀42x-—+2k兀時(shí)，y=/(無(wú))單調(diào)遞堿，

故減區(qū)間為[；+k冗，浮+kTT],依Z,人〃的最大值是器-(；)2,故C正

OOOO2

確;

對(duì)于D：y=V2cos2x的圖象向右平移亍個(gè)單位得到

y=V^cos[2(x--^-)]=V^cos(2x--7^-)=V^sin2xWV^sin(2x+~^-),故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.已知函數(shù)/(x)是定義在(-8,o)u(0,+8)上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=

‘2-1-1,0<x<2

,以下說(shuō)法正確的是()

(x-2),x>2

A.當(dāng)2<xW4時(shí)，f&)=2}3卜

B-f(2n+l)=-(y)n(n€N)

C.存在松6(-8,0)u(o,+8),使得/(M)=2

D.函數(shù)g(JC)=4f(x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為10

【分析】4根據(jù)分段函數(shù)，求出2<xW4的解析式即可;

B：舉反例，取一個(gè)特殊值驗(yàn)證選項(xiàng)的正誤；

C：作出函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)/(x)的值域?yàn)閇0,1],不可能存在/(x)=2；

￡>：數(shù)形結(jié)合的思想，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)問(wèn)題，再結(jié)合圖象即可得解.

解：對(duì)于4選項(xiàng)，當(dāng)2VxW4時(shí)，0<x-2W2,所以/(%-2)=2U-31-1,所以

|x-3|1

f(x)=yf(X-2)=2'-1,即A正確；

對(duì)于8選項(xiàng)，當(dāng)〃=0時(shí)，f⑴=-弓)°=-：［與/'(I)=”T-1=0矛盾，即8錯(cuò)誤;

對(duì)于C選項(xiàng)，由/(X)為偶函數(shù)，可作出正半軸的圖象如下：

觀察圖象，/(x)的值域?yàn)椋?,1］,即C錯(cuò)誤；

對(duì)于。選項(xiàng)，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程f(x)=］的根的個(gè)數(shù)，即f(x)與y1的

交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

觀察圖象，在x>0時(shí)，有,5個(gè)交點(diǎn)，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得尤<0時(shí)，也有5個(gè)交點(diǎn)，共10個(gè)交點(diǎn)，即。正確.

故選：AD.

三、填空題：

2

B計(jì)算F+lg(10-2)+J°gQq.

【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則直接求解.

2

解：原式=(，23)、彳3+l,gl?O-2+3=4-2+3=5.

故答案為：5.

14.若正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足2x+y=l,則加的最大值為

【分析】利用基本不等式即可求解.

解：因?yàn)檎龜?shù)X,y滿(mǎn)足2r+y=l,

所以2x+y=l》2d2xy，所以

解得2xy<1，當(dāng)且僅當(dāng)x］，丫=和取等號(hào)，

故答案沏I

15.若扇形圓心角的弧度數(shù)是2,且該扇形弧長(zhǎng)是4a”，則這個(gè)扇形的面積為4c〃工

【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式先求出半徑，然后根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

解：?.?扇形圓心角的弧度數(shù)是2,且該扇形弧長(zhǎng)是4am

???扇形的半徑為，=《=2，

2

又由扇形面積公式得該扇形的面積為：-^X4X2=4.

故答案為：4.

16.某同學(xué)為研究函數(shù)f(x)=jn“i正二y(o<x<i)的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的

兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD和BEFC,點(diǎn)、P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=x,則AP+PF

=/(X).請(qǐng)你參考這些信息，推知函數(shù)/(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是_x；；函數(shù)g(%)

=^(x)-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2.

【分析】從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，當(dāng)點(diǎn)P從C點(diǎn)向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在運(yùn)動(dòng)到8c的中點(diǎn)之

前，P4+P尸的值漸漸變小，過(guò)了中點(diǎn)之后又漸漸變大，可得函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸;

函數(shù)g(x)=4/'(X)-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是/(*)=?的解的個(gè)數(shù).

解：由題意可得函數(shù)f(x)—AP+PF,從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，當(dāng)點(diǎn)P從C點(diǎn)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)

程中，在運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)之前，PA+PF的值漸漸變小，過(guò)了中點(diǎn)之后又漸漸變大，

???當(dāng)點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)上時(shí)，即C、B、P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，即尸在矩形AOFE的對(duì)角線(xiàn)AF

上時(shí)，PA+P/取得最小值；當(dāng)尸在點(diǎn)8或點(diǎn)C時(shí)，PA+PE取得最大值

函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x^；

g(x)-4f(x)-9=0,即f(x)=9.故函數(shù)g(x)—4f(x)-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是

4

f(x)的解的個(gè)數(shù).

而由題意可得/(X)=?的解有2個(gè)，

4

故答案為：2

四、解答題：

17.如圖，點(diǎn)A、B在單位圓。上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為諄，力，點(diǎn)B在第二象限，AAOB為

55

正三角形，點(diǎn)C是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn).

(1)求sin/COA的值；

(2)求cosNCOB的值.

【分析】(1)由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，計(jì)算求得結(jié)果.

(2)由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義、兩角和的余弦公式，計(jì)算求得結(jié)果.

解：(I)因?yàn)閍點(diǎn)的坐標(biāo)為造，4)＞根據(jù)三角函數(shù)定義，

55

A

可知sin/COA^^

D

(2)根據(jù)三角函數(shù)定義知cosNC0A-1，

因?yàn)槿切蜛03為正三角形，所以NAOB=60°,

所以，cosZCOB=cos(NCOA+60°)=cosZCOAcos60°-sinZCOAsin60°

_31_4V33-473

10

18.已知函數(shù)/(x)=2^/3sirircosx+2cos2x-1.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出/(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

【分析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)

性即可求解.

(2)根據(jù)列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)的基本步驟，畫(huà)出函數(shù)在一個(gè)周期［0,22的大致圖象即可.

7T

解：(1)f(x)=2V3sinxcosx+2cos2x-l=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+-^~)?

令2k兀2k71+^-(kEZ)?

得k兀一^兀+-r*(k€Z)?

因此，函數(shù))，=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［k兀-；，k兀哈］(k￡Z)；

(2)列表如下:

兀

0nIT3兀2n

2+

XTT2

X兀n5打2兀UK

12612312

f(x)020-20

現(xiàn)有三個(gè)條件：條件①ADB=B,條件②BUCRA，條件③AU3=8.

請(qǐng)從上述三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線(xiàn)上，并求解下列問(wèn)題：

(1)若,"=4,求(CRA)QB；

(2)若,求根的取值范圍.

【分析】求出集合A={x|-2<xV6},CRA={X|XW-2或x，6}.

(1)%=4時(shí)，求出集合8,由此能求出(CRA)AB.

(2)選①：AQB—B,則BUA,若B=0,則〃若列出不等式組,

由此能求出，〃的取值范圍.

選②：BUCRA,若B=0,則％-32療-9,若BW0,列出不等式組，由此能求出，〃的

取值范圍.

選③：AUB=B,則AUB.列出不等式組，由此能求出”?的取值范圍.

解：集合A=3-f+4x+i2>0}={X-2<x<6},

CRA={RxW-2或x>6}.

(1)若m=4,B—{x\\<x<1},

則(CRA)AB={X|6VXV7}.

(2)選①：ADB^B,則膽A,

若8=0,則〃i-32療-9,

解得-2WmW3

nr3Vm2-9

若B手。,則<m-3)-2

內(nèi)2-946

解得3<m<，話(huà)

綜上得-24irt5^,'/15;

選②:膽CRA,

若B=0,則機(jī)-32機(jī)2_9,

解得-2W/MW3

(o9

m-3<mz-9m-3<mz-9

若BW0,則?或<

LIR2-94-2Lm-3^6

解得-2或，心9；

綜上得3或機(jī)29.

選③：AUB=fi,則AU8.

m-3<m2-9111<-2或111>3

則，nr34-2>解得，irt<1

LIR2-9》6

所以

2

20.已知函數(shù)f(x)=l-;^—(a>0),且/(0)=0.

2x+a

(1)判斷/(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;

(2)若f(x))弋恒成立,求，〃的最大值.

2X

【分析】(1)求出。的值,根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義證明即可;

n

(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為11<(2'+1)=---3IH成立，設(shè)f=2'+l,則總(1,+8),得到

2X+1

g(t)=t+1-3>2\歷-3(當(dāng)且僅當(dāng)t=五時(shí)，等號(hào)成立)，從而求出川的最大值即可.

92

解：if(o)=1—r^=0,解得〃=1，故f(x)二1-七,

1+a2+1

(1)證明：/(x)為定義域在R上的奇函數(shù)，證明如下:

991+2”

Vf(x)+f(-x)=l——+1——=2-(-A2-2(1-)=0,

2X+12^+12X+12X+12X+1

即/(-x)=-/(x),所以/(X)為奇函數(shù)；

nn

(2)由條件得—),EPn<(2x+l)^——-3恒成立，

2X+12X+1

設(shè)f=2”+L則生(1,+8),

g(t)=t*-3>2加-3(當(dāng)且僅當(dāng)t=M時(shí)，等號(hào)成立)

所以g(f)的最小值是2&-3,所以inE(-8,2V2-3］.

即，”的最大值是2&-3.

21.汽車(chē)“定速巡航”技術(shù)是用于控制汽車(chē)的定速行駛，當(dāng)汽車(chē)被設(shè)定為定速巡航狀態(tài)時(shí)，

電腦根據(jù)道路狀況和汽車(chē)的行駛阻力自動(dòng)控制供油量，使汽車(chē)始終保持在所設(shè)定的車(chē)速

行駛，而無(wú)需司機(jī)操縱油門(mén)，從而減輕疲勞，促進(jìn)安全，節(jié)省燃料.某汽車(chē)公司為測(cè)量

某型號(hào)汽車(chē)定速巡航狀態(tài)下的油耗情況，選擇一段長(zhǎng)度為240fon的平坦高速路段進(jìn)行測(cè)

試.經(jīng)多次測(cè)試得到一輛汽車(chē)每小時(shí)耗油量F(單位：L)與速度v(單位：km/h)(0

<W120)的下列數(shù)據(jù):

V0406080120

F020651020

TV

為了描述汽車(chē)每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：F(p)=

i2v

av+bv+cv,p(v)=+a,F(v)=ldogav+b.

(1)請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式.

(2)這輛車(chē)在該測(cè)試路段上以什么速度行駛才能使總耗油量最少？

【分析】(1)由題意可知，符合本題的函數(shù)模型必須滿(mǎn)足定義域?yàn)椋?,120］,且在［0,

120］上為增函數(shù)；函數(shù)F(v)=(/)v+a在［0,120］是減函數(shù)，所以不符合題意；而函數(shù)F

(v)="log"V+8的丫#0,即定義域不可能為［0,120］,也不符合題意；所以選擇函數(shù)F

(v)=av3+bv2+cv.列出方程組，解出即看得出.

(2)設(shè)這輛車(chē)在該測(cè)試路段的總耗油量為y,行駛時(shí)間為3由題意得：y=F^t=

(vvu+v)"=1丫2_丫+70=(v-80)2+30’利用二次函

3840024024'v*：?=160160K7

數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解：(1)由題意可知，符合本題的函數(shù)模型必須滿(mǎn)足定義域?yàn)椋?,120］,且在［0,120］

上為增函數(shù)：

函數(shù)F(v)=g)v+a在［0，120］是減函數(shù)，所以不符合題意；