第8章《整式乘法和因式分解》（教師版）

2023-2024學(xué)年滬科新版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)章節(jié)拔高檢測(cè)卷（易錯(cuò)專練）第8章《整式乘法和因式分解》考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：100分難度系數(shù)：0.56一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)）1．（2分）（2023秋?青縣期末）下列是一位同學(xué)在課堂小測(cè)中做的四道題，如果每道題10分，滿分40分，那么他的測(cè)試成績(jī)是（）（1）π0＝1（2）（x+2）2＝x2+4（3）（﹣x+2）（﹣2﹣x）＝x2﹣4（4）﹣8a2b3÷2ab2＝﹣4abA．40分 B．30分 C．20分 D．10分解：（1）π0＝1，正確；（2）（x+2）2＝x2+4x+4，錯(cuò)誤；（3）（﹣x+2）（﹣2﹣x）＝（﹣x）2﹣22＝x2﹣4，正確；（4）﹣8a2b3÷2ab2＝﹣4ab，正確；所以他的測(cè)試成績(jī)是30分．故選：B．2．（2分）（2023秋?平輿縣期末）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a8 B．（3xy）2＝6xy2 C．（b3）2＝b6 D．3a÷2a＝a解：∵a2?a3＝a5，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵（3xy）2＝9x2y2，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵（b3）2＝b6，∴選項(xiàng)C符合題意；∵3a÷2a＝，∵∴選項(xiàng)D不符合題意，故選：C．3．（2分）（2023秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知2a＝5，4b＝7，則2a+2b的值是（）A．35 B．19 C．12 D．10解：∵2a＝5，4b＝7，∴2a+2b＝2a?22b＝2a?（22）b＝2a?4b＝5×7＝35，故選：A．4．（2分）（2023秋?平山縣期末）下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（）A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．x2+1＝x（x+）解：A、（x+3）（x﹣3）+6x不是幾個(gè)整式的積的形式，故不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、x2+3x﹣10不是幾個(gè)整式的積的形式，故不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、等式右邊是幾個(gè)整式的積的形式，故是因式分解，故本選項(xiàng)正確；D、等式右邊是分式的積的形式，故不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．5．（2分）（2023秋?防城區(qū)期末）如圖在邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把余下的部分沿虛線剪開(kāi)，拼成一個(gè)矩形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的等式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）解：∵圖中陰影部分的面積＝a2﹣b2，圖中陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），而兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，∴陰影部分的面積＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：A．6．（2分）（2023秋?旌陽(yáng)區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C是線段BG上的一點(diǎn)，以BC，CG為邊向兩邊作正方形，面積分別是S1和S2，兩正方形的面積和S1+S2＝40，已知BG＝8，則圖中陰影部分面積為（）A．6 B．8 C．10 D．12解：設(shè)BC＝a，CG＝b，則S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴2ab＝64﹣40＝24，∴ab＝12，∴陰影部分的面積等于ab＝×12＝6．故選：A．7．（2分）（2023秋?濱海新區(qū)校級(jí)期末）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，則多項(xiàng)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，∴a﹣b＝﹣1，c﹣b＝1，c﹣a＝2，∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（c﹣b）2+（c﹣a）2＝1+1+4＝6，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝3；故選：D．8．（2分）（2022秋?湟中區(qū)校級(jí)期末）如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后，將剩余部分通過(guò)割補(bǔ)拼成新的圖形．根據(jù)圖形能驗(yàn)證的等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解：圖中陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積之差，即為a2﹣b2；剩余部分通過(guò)割補(bǔ)拼成的平行四邊形的面積為（a+b）（a﹣b），∵前后兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：B．9．（2分）（2022春?高新區(qū)校級(jí)期末）若多項(xiàng)式2x2+ax﹣6能分解成兩個(gè)一次因式的積，且其中一個(gè)一次因式2x﹣3，則a的值為（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5解：∵多項(xiàng)式2x2+ax﹣6能分解成兩個(gè)一次因式的積，且其中一個(gè)次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故選A．10．（2分）（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算0.752022×（）2023的結(jié)果是（）A． B． C．0.75 D．﹣0.75解：0.752022×（）2023＝﹣（）2022×（）2022×＝﹣（×）2022×＝﹣．故選：B．二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)將正確答案填寫(xiě)在橫線上）11．（2分）（2023秋?宜陽(yáng)縣期末）計(jì)算：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy＝﹣4．解：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy＝（x2﹣2xy+y2﹣x2﹣2xy﹣y2）÷xy＝（﹣4xy）÷xy＝﹣4，故答案為：﹣4．12．（2分）（2023春?歷城區(qū)校級(jí)月考）如果定義一種新運(yùn)算，規(guī)定＝ad﹣bc，請(qǐng)化簡(jiǎn)：＝﹣3．解：由題意得：＝（x﹣1）（x+3）﹣x（x+2）＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2﹣2x＝﹣3，故答案為：﹣3．13．（2分）（2022秋?淅川縣期末）若關(guān)于x的多項(xiàng)式（x+m）（2x﹣3）展開(kāi)后不含x項(xiàng)，則m的值為．解：原式＝2x2+（2m﹣3）x﹣3m，∵多項(xiàng)式展開(kāi)后不含x項(xiàng)，∴2m﹣3＝0，∴m＝；故答案為：．14．（2分）（2023秋?南昌期末）若（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，則（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝4049．解：設(shè)2024﹣A＝m，2023﹣A＝n，∴m﹣n＝2024﹣A﹣（2023﹣A）＝2024﹣A﹣2023+A＝1，∵（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，∴mn＝2024，∴（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝12+2×2024＝1+4048＝4049，故答案為：4049．15．（2分）（2023秋?雙遼市期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為12，分別以BC和CD為邊向外作兩個(gè)正方形，且這兩個(gè)正方形的面積和為20，則長(zhǎng)方形ABCD的面積是8．解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，由題意得：，∴x+y＝6，∴（x+y）2＝36，∴x2+2xy+y2＝36∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16，∴xy＝8，∴長(zhǎng)方形ABCD的面積是8，故答案為：8．16．（2分）（2023秋?二道區(qū)校級(jí)期末）若am＝2，an＝3，則a2m+n＝12．解：∵am＝2，an＝3，∴a2m+n＝a2m?an＝（am）2?an＝22×3＝12．故答案為：12．17．（2分）（2023春?泗洪縣期末）已知x+y＝2，x2﹣y2＝4，則x2023﹣y2023＝22023．解：∵x2﹣y2＝4，∴（x+y）（x﹣y）＝4，x+y＝2①，∴x﹣y＝2②，由①②解得：x＝2，y＝0，∴x2023﹣y2023＝22023﹣02023＝22023．故答案為：22023．18．（2分）（2023春?東阿縣期末）探索題：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣l；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；…根據(jù)前面的規(guī)律，回答問(wèn)題：當(dāng)x＝3時(shí)，（32023+32022+32021+…+33+32+3+1）＝．解：根據(jù)規(guī)律可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1，∴，∴32023+32022+32021+…+33+32+3+1＝＝．故答案為：．19．（2分）（2023春?正定縣期中）如圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形紙片（a＞b），用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開(kāi)，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成如圖②所示的正方形．（1）圖②中，中間空余部分的小正方形的邊長(zhǎng)可表示為a﹣b；（2）由圖②可以直接寫(xiě)出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個(gè)等量關(guān)系（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．解：（1）圖②中，中間空余部分的小正方形的邊長(zhǎng)可表示為a﹣b，故答案為：a﹣b；（2）由圖②可以直接寫(xiě)出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個(gè)等量關(guān)系：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．20．（2分）（2022春?龍泉驛區(qū)期末）在學(xué)習(xí)教材上的綜合與實(shí)踐《設(shè)計(jì)自己的運(yùn)算程序》時(shí)，小萱對(duì)自己設(shè)計(jì)的運(yùn)算給出如下定義：（a，b）＝（ax+b）（bx+a）．（1，2）的化簡(jiǎn)結(jié)果是2x2+5x+2；若（a，b）乘以（b，a）的結(jié)果為9x4﹣60x3+118x2﹣60x+9，則a+b的值為±2．解：（1）（1，2）＝（x+2）（2x+1）＝2x2+x+4x+2＝2x2+5x+2，故答案為：2x2+5x+2．（2）（a，b）＝（ax+b）（bx+a），（b，a）＝（bx+a）（ax+b）；∴（a，b）（b，a）＝（ax+b）2（bx+a）2＝a2b2x4+（2a3b+2ab3）x3+（a4+4a2b2+b4）x2+（2a3b+2ab3）x+a2b2，∴a2b2＝9，ab＝±3，2a3b+2ab3＝﹣60，即2ab（a2+b2）＝﹣60，∴ab＝﹣3，∴﹣3×2（a2+b2）＝﹣60，a2+b2＝10，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝10+2×（﹣3）＝4，∴a+b＝±2．故答案為：±2．三、解答題（本大題共8小題，共60分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）21．（6分）（2023秋?監(jiān)利市期末）計(jì)算：（1）（a﹣2）（a+1）；（2）（﹣2ab2）2÷（﹣4a2b）．解：（1）（a﹣2）（a+1）＝a2+a﹣2a﹣2＝a2﹣a﹣2；（2）（﹣2ab2）2÷（﹣4a2b）＝4a2b4÷（﹣4a2b）＝﹣b3．22．（6分）（2022秋?興縣期末）定義：若a+b＝n，則稱a與b是關(guān)于整數(shù)n的“平衡數(shù)”，比如3與﹣4是關(guān)于﹣1的“平衡數(shù)”，2與8是關(guān)于10的“平衡數(shù)”．（1）填空：﹣6與8是關(guān)于2的“平衡數(shù)”；（2）現(xiàn)有a＝6x2﹣4kx+8與b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k為常數(shù)），且a與b始終是整數(shù)n的“平衡數(shù)”，與x取值無(wú)關(guān)，求n的值．解：（1）由題意得，﹣6+8＝2，∴﹣6與8是關(guān)于2的“平衡數(shù)”．故答案為：2．（2）a+b＝6x2﹣4kx+8﹣2（3x2﹣2x+k）＝6x2﹣4kx+8﹣6x2+4x﹣2k＝﹣4kx+4x+8﹣2k．即n＝﹣4kx+4x+8﹣2k＝4（1﹣k）x+8﹣2k．∵a與b始終是整數(shù)n的“平衡數(shù)”，與x取值無(wú)關(guān)，∴k＝1．∴n＝8﹣2×1＝6．23．（8分）（2022秋?西平縣期末）下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進(jìn)行因式分解的過(guò)程：解：設(shè)x2﹣2x＝y(tǒng)原式＝y(tǒng)（y+2）+1（第一步）＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2﹣2x+1）2（第四步）請(qǐng)問(wèn)：（1）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？不徹底（填“徹底”或“不徹底”），若不徹底則，該因式分解的最終結(jié)果為（x﹣1）4；（2）請(qǐng)你模仿上述方法，對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進(jìn)行因式分解．解：（1）∵（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4，∴該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底．故答案為：不徹底，（x﹣1）4．（2）設(shè)x2﹣4x＝y(tǒng)原式＝（y+2）（y+6）+4＝y(tǒng)2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．24．（8分）（2023秋?浚縣期中）閱讀理解：例題：已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是（x+3），求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），∵（x+3）（x+n）＝x（x+n）+3（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，∴x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴由等式恒等原理可知：n+3＝﹣4①，m＝3n②，由①②解得：n＝﹣7，m＝﹣21，∴另一個(gè)因式為（x﹣7），m的值為﹣21．活學(xué)活用：（1）若x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n），則mn＝147；（2）若二次三項(xiàng)式2x2+ax﹣6有一個(gè)因式是（2x﹣3），求另一個(gè)因式．解：（1）∵x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n），∴（x﹣3）（x+n）＝x（x+n）﹣3（x+n）＝x2+nx﹣3x﹣3n＝x2+（n﹣3）x﹣3n，∴x2+4x﹣m＝x2+（n﹣3）x﹣3n，∴由等式恒等原理可知：n﹣3＝4①，﹣m＝﹣3n②，由①②解得：n＝7，m＝21，∴mn＝7×21＝147；故答案為：147；（2）設(shè)另一個(gè)因式為（x+b），得2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+b），∵（2x﹣3）（x+b）＝2x（x+b）﹣3（x+b）＝2x2+2bx﹣3x﹣3b＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b，∴2x2+ax﹣6＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b，∴由等式恒等原理可知：﹣3b＝﹣6①，a＝2b﹣3②，由①②解得：b＝2，a＝1，∴另一個(gè)因式為（x+2）．25．（8分）（2022秋?二道區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．（1）模擬練習(xí)：如圖，寫(xiě)出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式：（a+b）2＝a2+b2+2ab．；（2）解決問(wèn)題：如果，求a2+b2的值；（3）類(lèi)比探究：如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積．解：（1）圖中大正方形的面積可以表示為：（a+b）2，還可以表示為：a2+b2+2ab．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．故答案為：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣24＝63﹣24＝39．（3）設(shè)a＝8﹣x，b＝x﹣2，則a+b＝6，a2+b2＝20．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．∴36＝20+2ab．∴ab＝8．∴這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．26．（8分）（2023春?冷水灘區(qū)校級(jí)期末）若在意一個(gè)三位數(shù)M，滿足各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的2倍之和等于十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的2倍之和，則稱這個(gè)三位數(shù)M為“雙增數(shù)”．對(duì)于一個(gè)“雙增數(shù)”M＝，規(guī)定：s＝a+c，t＝b+c，F(xiàn)（M）＝3s+2t．例如，M＝243，因?yàn)?+2×4＝4+2×3，故M是一個(gè)“雙增數(shù)”，s＝2+3＝5，t＝4+3＝7，則F（M）＝3×5+2×7＝29．（1）請(qǐng)判斷365，597是不是“雙增數(shù)”，說(shuō)明理由．若是，請(qǐng)求出F（M）的值；（2）若三位數(shù)N為“雙增數(shù)”，N的百位數(shù)字為x﹣1，個(gè)位數(shù)字為y（其中x，y是正整數(shù)，且3≤y≤7），當(dāng)N各數(shù)位上的數(shù)字之和與F（N）的和能被17整除時(shí)，求所有滿足條件的“雙增數(shù)”N的值．解：（1）∵3+6×2＝15，6+2×5＝16，∴365不是“雙增數(shù)”．∵5+9×2＝9+7×2＝23，∴597是“雙增數(shù)”．（2）設(shè)N的十位數(shù)字是a，∵N是“雙增數(shù)”，∴x﹣1+2a＝a+2y，∴a＝2y﹣x+1，s＝x﹣1+y，t＝a+y＝3y﹣x+1，∴F（N）＝3（x﹣1+y）+2（3y﹣x+1）＝x+9y﹣1，∴N各數(shù)位上的數(shù)字之和與F（N）的和＝x﹣1+a+y+x+9y﹣1＝x﹣1+2y﹣x+1+y+x+9y﹣1＝12y+x﹣1，∵N各數(shù)位上的數(shù)字之和與F（N）的和能被17整除，3≤y≤7，∴當(dāng)y＝4，x＝4符合題意，此時(shí)N＝354，當(dāng)y＝5，x＝9合題意，此時(shí)N＝825，∴符合條件的N有：354，82527．（8分）（2023春?定邊縣期末）將兩數(shù)和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多數(shù)學(xué)問(wèn)題．例：若a﹣b＝4，ab＝1，求a2+b2的值．解：因?yàn)閍﹣b＝4，ab＝1，所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18．根據(jù)上面的解題思路和方法，解決下列問(wèn)題：（1）已知a2+b2＝56，（a+b）2＝100，則ab＝22；（2）若x滿足（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2020）的值；（3）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝x，分別以FC，CE為邊在長(zhǎng)方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和正方形CEMN，若長(zhǎng)方形CEPF的面積為35，求圖中陰影部分的面