2022-2023學(xué)年山東省東營(yíng)市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年山東省東營(yíng)市統(tǒng)招專升本數(shù)

學(xué)自考真題（含答案）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（30題）

1.

|—=

A.0B.1C.2KD.2箱

2.

當(dāng)rf0時(shí).無(wú)窮小2.r~—sin.r是x的（）

A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小

C.同階非等價(jià)無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小

已知Jf(x)dx=sinx+C則f'(X)=()。

3A.cosxB.sinxC.-COSxD.-sinx

4.

2

曲線）=/上的水平漸近線為()

22

1

D.

3

5.

設(shè)/=「cos"xsinxdx,那么()

A.I>0B.Z<0C./=0D./=n

6.

當(dāng)3―0時(shí)，下列無(wú)窮小量中與lnd+2^-）等價(jià)的是（）

A.xB.y.rC.MD.2才

7.

試確定當(dāng)*一0時(shí).下列哪一個(gè)無(wú)窮小是對(duì)于*?的三階無(wú)窮?。ǎ?/p>

A.yfir—B./]+才”—1

C..r,+0.0。02.1D.^sin.r'

8.

設(shè)在閉區(qū)間［,瓦］上，/(1)>0"'(7)>0,/'(l)<0.令51=p/(.r)d.r,S2=/(a)(6

()

-a).S3=+/")：］.則必有

A.SiVS2VS3B.52csiVS3

C.S3VS1Vs2D.S2<Si<Si

9.

若/1(.r)有原函數(shù)e',.則卜/(.i)d.r=()

A.e'(l-^-)+-CB.-e'Cl-J)+C

C.e'(l+i)+CD.—e'(1+工)十C

x2-4

對(duì)于函數(shù)^=以下結(jié)論中正確的是（

x(x-2)

A.x=0是第一類間斷點(diǎn),1=2是第二類間斷點(diǎn)

B.x=0是第二類間斷點(diǎn),x=2是第一類間斷點(diǎn)

C.x=0是第一類間斷點(diǎn),x=2也是第一類間斷點(diǎn)

10D.x=0是第二類間斷點(diǎn),x=2也是第二類間斷點(diǎn)

11.

下列函數(shù)中，當(dāng)Rf8時(shí)，無(wú)窮小量是)

SUIT

D7

A.2r-1艮1?C.eD.e—1

1十secj:

12.

以下結(jié)論正確的是（)

A.駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B.極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)

C.不可導(dǎo)點(diǎn)一定是極值點(diǎn)D.駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn)

13.

*2

.積分「

d.r12ydy=）

J0.

A.2B-1D.0

14.

下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是（)

88283i11

A.——+-----+.??B.

9929312IM?

111

cD.----------11?…

-石+忑+赤+?1x33^55x7

15.

(力⑸=)

A.3B.5!

C.OD.5?

16.

微分方程/+2y'=/的特解形式為（)

A.y=ax2+bx+cB.y=x(ax2+bx+c)

C.y-ax~D.y=x2(ax2+bx+c)

17.

下列級(jí)數(shù)收斂的是()

M〃+1

(x>2

D型

■-IQn

18.

設(shè)A.B.C均為"階方陣，且AB=BC=CA=E.則T+B?+d=()

A.3EB.2EC.ED.O

19.

已知P(A)=0.4.P(8)=0.3.P(AB)=0.5.則P(Au=()

A.0.4B.0.8

C.0.7D.0.9

20.

已知y,(x)和y2(x)是二階加次線性微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=0的兩個(gè)線性

無(wú)關(guān)的特解，則下列說(shuō)法正確的是()

A.y=C]M(x)是該方程的通解，其中G為任意常數(shù)

B.7=C^,(x)+C2j2(x)是該方程的通解，其中G，。2為任意常數(shù)

C.y=GM(x)+C2y2(功不是該方程的通解，其中G，&為任意常數(shù)

D.以上說(shuō)法均不對(duì)

21.

、

rIimsin(?；r—：-1)=(.)

zx￡-1

A.1B.2C.0D.-y

22.

若級(jí)數(shù)X%，均發(fā)散，則必有

”=!n~1

rX>

A.X(“,,+A)發(fā)數(shù)B.X(|a.|十|乩|)發(fā)散

J?=1Jl=1

caoo

C.+優(yōu))發(fā)散D.發(fā)散

u=1

23.

設(shè)f(工)是奇函數(shù)且s?(x)=f(1)(卜則少(力至，

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.無(wú)法判斷

24.

rasing豐0,

已知函數(shù)八公=4]則在點(diǎn)H=0處?下列結(jié)論正確的是()

[1*①=0,

A.a=1時(shí)?/1)必然連續(xù)B.a=0時(shí)，/(.r)必然連續(xù)

C.a=1時(shí)./(①)不連續(xù)D.a=—1時(shí),/(/)必然連續(xù)

25.

下列各式成立的是)

A.limT2sin-X=1]?COSJ*

oB.hm------1---

LOx

f一1

sini?

D.lim=1

一三*

26.

Gl00仇

0b20

00

兒00

A.a：a2a3al-""bhB.a?a2a3al+仇出仇仇

C.(?|?2—b[b>)(?：<?|一仇仇)D.(a2a3—b2b；,一h{b.\)

27.

O“+1

limfl+—\

InI

A.eB.e2C.e3D.e1

下列等式正確的是（)

c「sinx,

A.B.lim----=1

xfix2-12x-x

c..1-cos2x,

D.lim----；——=1

2

XTOY

28.

29.

設(shè)函數(shù)zux^+y-eR',則當(dāng)=(

dx

A.2x-exyB.2x-C.2x2+D.y-xe個(gè)

30.

若FG）二/⑺冽w峰式中，正尚的一個(gè)是

_/(2)di]'=/(2)

A.J

d[f(z)cLr]=/(JC)

B.2

e

z

F(JT)djc=/(j7)

c.

d[/(z)d?z]=fCx)+C

D.

二、填空題(20題)

31設(shè)/(j)=+l)(a+2)…1+2018),則/'(0)=

設(shè)函數(shù)/（1>=在.r=0處連續(xù)，則a

33.

一盒產(chǎn)品中有“只正品/只次品.有放回地任取兩次.則第二次取到正品的概率

f(x)=sinx,則Jf(x)dx=

過(guò)點(diǎn)（2J,3）,且與直線二二="翼=-、垂直的平面方程是

O乙一1

36已知事件八.3滿足P(AB)=且P(A)=0.4.則P(B)二

設(shè)a=（匕彳’3）"=（1J，】）’,則咱—

38.1-8JC

若3=cos孕+isin然，則1+u?+=

39.

111

已知三階行列式123=0,則。=

4「已知f(工—1)=—①，則/(7T)=

13x

設(shè)行列式。=122=0,貝母=

43.

已知f(JC)=siirr為可導(dǎo)函數(shù)./(i)在點(diǎn)i=0.002處的近似值為

44.

函數(shù)/(.r)=V-.r-2在區(qū)間［0.2］上使用拉格朗日中值定理時(shí),結(jié)論中的

過(guò)點(diǎn)(4,-3,-1)和1軸的平面方程為.

45.

46微分方程/+V=0的通解為.

當(dāng)1-*0時(shí)，/(與1—cosj'等價(jià).則lim),=

47.jsin.r

In(1+7)_

lim

arccotj"

48.

已知e，+了2=1,則半=

49.dr

50.

設(shè)k在（1.6）內(nèi)服從均勻分布.則方程＞+出?+1=0有實(shí)根的概率為

三、計(jì)算題（15題）

MU

求2差的和函數(shù).

51.

j^ln(l+/)d/

求極限lim

x-sinx

52.

求不定積分，dx

x2>lx2+9

53.

oo

求哥級(jí)數(shù)百音的和函數(shù).

54.

co

2n

判定級(jí)數(shù)w-1的斂散性.

?=1

55.

求微分方程y'-y-2zex=0滿足初始條件y(0)=1的特解.

57.

—+N=0.

求過(guò)點(diǎn)A(l,2,1)且與直線平行的直線方程.

]3a—y-2z=9

58.

設(shè)函數(shù)/(])可微.且「[2/(，)一口由=/(1)一1,求f⑺.

11x31x3x5Ix3x5x7工,-他必

判別尢行級(jí)數(shù)一+——+-------+-----------+…的斂散性。

33x63x6x93x6x9x12

59.

求定積分（々+\/2x—x2\di.

60.」“'

61.

已知函數(shù)y=/(工)是一階微分方程常=＞滿足y(0)=1的特解，求二階常系數(shù)非齊

次線性微分方程y"—3y'+2y=/(工〉的通解.

62.

求由曲線？=二及y=6所圍成的平面圖形的面積.

求￡

+X

求微分方程2〃-2/=y的通解.

64.

o2

設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程”?+j2+z2-6z=0確定，求.c.

65.9

四、證明題(10題)

66.

設(shè)平面圖形D由曲線工=2y[y,y=/一工與直線y=1圍成，試求：

(1)平面圖形D的面積；

(2)平面圖形D繞7軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

證明：當(dāng)xt0,n>1時(shí)，x°-n(x-1)>1.

67.

68.

證明不等式：當(dāng)a>b>e時(shí)，I】"<"(?與2.71828).

aln6fb

69.

設(shè)函數(shù)/Cr)在閉區(qū)間[0,11上可導(dǎo),且八0)?/(D<0.證明在開區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在

一點(diǎn)卻使得2/(5)+&■'(￡)=0.

設(shè)eVaVVe?，證明In"?—In2a〉-4-(6—a).

70.&

71.

已知方程.r11-X7-X3+J=0有一正根.r=1.證明方程11〃°-72*—3/+1=0

必有一個(gè)小于1的正根.

設(shè)eVa〈〃Ve2,證明In?7?—In2a>4r(人一a).

72.e

73.

設(shè)1,證明：

而i（a—6）<aH—bn<31（。一〃）.

證明：號(hào)Xe（OJ）時(shí).（1+X）ln2（l+X）<）C.

74.

75.

設(shè)函數(shù)J（.r）在閉區(qū)間［0*匯］上連續(xù)，在開區(qū)間（0,7t）內(nèi)可導(dǎo)*證明在開區(qū)間（0,由內(nèi)至

少存在一點(diǎn)￡,使得/'（W）sinS=—f（￡）cos&

五、應(yīng)用題（10題）

76.

由曲線）=Q-D（工-2）和1軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞V軸旋轉(zhuǎn)一周所

成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

77.

求曲線y=Injr在區(qū)間（2,6）內(nèi)的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與直線/=2,z=6以及

y=ln.r所圍成的平面圖形面積最小.

平面圖形。由曲線3=右，直線）=N—2及才軸所圍成.

（1）求此平面圖形的面積；

”（2）求此平面圖形繞了軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積.

/O.

79.

一工廠加工某種產(chǎn)品，固定成本1萬(wàn)元，每多生產(chǎn)一百件產(chǎn)品，成本增加2萬(wàn)元,

總收入R(單位：萬(wàn)元)是產(chǎn)量。(單位：百件)的函數(shù)，設(shè)需求函數(shù)為。=12-2尸.

(1)求利潤(rùn)函數(shù)；

(2)產(chǎn)量為何值時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

(3)當(dāng)價(jià)格尸=3時(shí)的需求彈性，解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)含義.

80.

求由曲線中=2,4、=/及才=4所圍成的圖形的面積，并求此圖形繞了軸旋轉(zhuǎn)所得

的旋轉(zhuǎn)體的體積.

某商品的需求函數(shù)為。=f(p)=75-p2,

81.

(1)求需求彈性函數(shù)；

(2)求p=5時(shí)的邊際需求；

(3)當(dāng)p為何值時(shí)，總收益最大？最大的總收益為多少？

82.

要建造一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方形水池，其底和壁的總面積為192m2,問(wèn)水池的尺寸如何設(shè)計(jì)

時(shí)，水池的容積最大？

83.

某公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為2000元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去，當(dāng)月租金每

增加100元時(shí)，就會(huì)多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花費(fèi)200元的維修

費(fèi)，試問(wèn)租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

84.

設(shè)D是由曲線_y=/(.r)與直線y=0-?y=3圍成的區(qū)域，其中

X2,w<2.

/⑺=<

6—JT,彳>2,

求D繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

85.

靠一堵充分長(zhǎng)的墻邊.增加三面墻圍成一矩形場(chǎng)地.在限定場(chǎng)地面積為64m。的條件

下.問(wèn)增加的三面墻反各多少時(shí)，其總長(zhǎng)最小.

六、綜合題(2題)

86.

設(shè)fCr)在(-8,+8)內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0,存在/(0),若F(T)=

jrHO,

J”(D求/(外；(2)說(shuō)明在(一8,十8)上的連續(xù)性.

f(0),x=0,

87.

求該曲線及其在點(diǎn)(1,0)和點(diǎn)(-1,0)處的法線所圍成的平面圖形的面積；

參考答案

［答案］A

【精析】I*/I=f=o.

［AJhl=2(2-c=i

［答案1C

【精析】lim—-----地區(qū)=lim(Lz—cos.r)=—1?

所以2M—siru是.r的同階非等價(jià)無(wú)窮小.故應(yīng)選C.

3.A

4.C

【精析】lim/Q)=lim《F=4■.則y=4■為曲線戶之)的一條水平漸近線.故應(yīng)

x-?oojr-?oo3o

選c.

5.C

【評(píng)注】因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)，故為0.若/(X)在［-凡司上連續(xù)且為偶函數(shù)，則有

J/(》班=2(/(x)dx.若/(X)為奇函數(shù)，則1/(x)dx=O,故/cos"xsinxdx=0.

6.D

［答案］D

2

【精析】由于lim皿工型=lim與紅=1,所以當(dāng)才-0時(shí)與ln(l+2)等價(jià).

x-*o/ax-*oZ

7.B

［答案1B

3,___________L，

【精析】hm立土二極限不存在.則A錯(cuò)；=］imM-=■?則

r.0J-，?訃_rr-H.r4

/I+.r5-1在才->0時(shí)是.r的三階無(wú)窮小.故B正確；lim1*+

Z*1111

lim"°°°2=：x，,故C錯(cuò);lim=lim專=lim工=g,故D錯(cuò).

j?i：a'，-njr'.<?，；x'.>一",T"

［答案］D

【精析】由題可知/(w)的圖形是一條單調(diào)遞增?向上

凸且在1軸上方的曲線，如圖所示.

Si表示曲邊梯形ABba的面積;S2表示以/(?)為高的

矩形ACba的面積；

S3表示梯形AB/M的面積；

8.D由圖可知S2Vs3<S］.

［答案］B

【精析】因?yàn)樾。?（eD'=匕

所以pr/Q，）d;r=f.re'du=ie'—e'dr=.re'—e'+C.故應(yīng)選B.

9.B

10.B

B

X2—4

【評(píng)注】函數(shù)y在x=0,x=2處無(wú)定義，1而二~r=oo,x=0為函數(shù)的第二類

x（x-2）

間斷點(diǎn)；=x=2為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn).

124一2）

11.D

【精析】因?yàn)閘im（e§—1）=0,所以當(dāng)1~8時(shí),上一1是無(wú)窮小量.故應(yīng)選D.

8

12.D

【評(píng)注】關(guān)于極值點(diǎn)，我們有如下結(jié)論：極值點(diǎn)可能在駐點(diǎn)或者不可導(dǎo)點(diǎn)處取得；如

果函數(shù)可導(dǎo)，則極值點(diǎn)一定為駐點(diǎn)；駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)都不一定是極值點(diǎn)，我們需要根

據(jù)駐點(diǎn)（或者是不可導(dǎo)點(diǎn)）左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)進(jìn)一步判斷駐點(diǎn)（不可導(dǎo)點(diǎn)）是否

是極值點(diǎn)，所以選D（考查駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和極值點(diǎn)的關(guān)系）.

13.C

［答案1C

（2

【精析】］r嚴(yán)i卜ra處=r卜i間-2"=（口ii|。）.61九尸？i

C

111811

【評(píng)注】丁百十班+…?9號(hào)，

14.C33

15.C

【精析】（/）'=3*（析）”=（312）'=61,（13）"=（6?=6,（/）"'=0,（z3）<5）=0.

注:也可直接利用求導(dǎo)公式，由于3<5,故也嚴(yán)=0.

16.B

【評(píng)注】特征方程：/+2r=0力=0,4=—2,特解形式為j/=xi（ax2+加+c）.

17.D

【精析】對(duì)于選項(xiàng)A.limu”=lim士=1r0,不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，故級(jí)數(shù)

2〃+1

對(duì)于選項(xiàng)B,lim=lim給N=2,又￡上發(fā)散，則級(jí)數(shù)*骷^發(fā)散.

L8_1_L8獷十〃二fn"十曾

對(duì)于選項(xiàng)C2一，因?yàn)椤耆a(chǎn)收斂，ZJ

故由收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知級(jí)數(shù)另1土；D”發(fā)散.

對(duì)于選項(xiàng)D,lim.=limU~1)：.4=4<1，故級(jí)數(shù)X5收斂.

M-*CQUnM_*WZHL?B_yZ

18.A

［答案］A

【解析】因?yàn)锳?=AEA=A(BC)A=(AB)?(C4)=E?E=E.

Ii-=BEB=B(CA)B=(BC)?(AB)=E?E=E,

d=CEC=C(AB)C=(CA)?(BC)=E*E=E.

所以A2+B-+C=3E.

故選A.

19.B

［答案:］B

【精析】P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1-P(A)4-1-P(B)-P(.4B)

=2—0.4—0.3—0.5=0.8.

20.B

21.D

［答案］

sin(^-1)sim(—1)

【精析】［吧彳.故應(yīng)選D-

M—1F=ix=2

22.B

23.A

［答案］A

【精析】令"(］)=右二一)?

乙I1乙

112J1

…)=廣丁2="-5

2,+1—11_.11

21+122'+12

11_”、

-「FTT__*")，

即以工)為奇函數(shù).又/(J)為奇函數(shù)，所以g)為偶函數(shù)?故選A.

24.A

lim/(j-)=lim=a，又知/(O)=1.故a=1時(shí)，/(.r)必連續(xù).

J'-0X-0JC

25.B

-y--X=/

【精析】因?yàn)?2①匚"-------=.亞=1.故應(yīng)選B.

T-?L-it

22r

而lim/sin工=O,lim'叱=0,lim.故A、C、D錯(cuò)誤.

J-*OXL8X三XK

［答案1D

,U

【精析】原式=a}(-D'''M,,+d(--1)MJ1

a-)兒000by

=小兒ai0一"a>bi0

00u,/%at0

=3a4——。力力3)——"(。2。38——b'b2b3)

=(aa,.—仇仇)(右右一"〃?).

26.D2

27.B

O?+1O-T2O

【精析】lim/1+—\=lim「(l+—\I-lim/1H-----)=e?,故應(yīng)選B.

28.A

29.B

B

【評(píng)注】本題考查多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，等號(hào)左右兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得：—=2x-e^y.

dx

30.A

【精析】d［/⑴dj=/⑴ii,赦選項(xiàng)B和選項(xiàng)網(wǎng)不iE蒯F%)［二F(1)+C,

IJ

31.

2018!

/(0)=lim/⑺一八°)=Iim(i+1)(①+2)…(Z+2018)=20181.

1*0JCJ-0

32.-2

【精析】由函數(shù)八］)在/=0處連續(xù)知［im*/)=/(0),又因?yàn)?(0)=“,

10sin2z

lim/(jr)=lim—|沏々df=lim———------

,?0上5jrJxt-r-ox

=1沛_皿=而一立=—2.

「?0JT?r-*0JC

所以a=-2.

33.

u

aIb

［答案］-：7

【精析】因?yàn)槭怯蟹呕氐厝稳纱?則第一次的結(jié)果對(duì)第二次沒(méi)有影響,所以第二次

取到正品的概率為七.

34.

-sinx+C^+Q

-sinx+Qx+Q

【評(píng)注】Jy(x)dx=sinxdrjdx=—sinx+Ctx+C2.

35.

31+2y-z-5=0

【精析】考察平面的點(diǎn)法式方程.

平面與直線三三^=占垂直，可知平面的法向量為｛3,2，-1｝，于是平面的點(diǎn)

法式方程為：3(工一2)+2(y-l)—(z-3)=0,即3T+2y-z—5=0.

36.0

［答案10.6

【精析】P(.4B)=P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB).乂P(A(JB)=P(A)+

P(B)-P(AB).所以P(A)+P(B)=1.所以P(B)=1—P(A)=1—0.4=0.6.

37.

［答案］(T)

【精析】“di=c)

38.

e-2

【精析】lim(匚匚產(chǎn)=lim(l+—)2j=lim(l+—)--<-2)=L

r-31,f。.X.，—g1

39.0

［答案10

【精析】1+蘇+3,=1+cos萼+isin等+CQS粵+isin粵=1-J-§i-J+

JMJJ乙乙乙

fi=0-

2

【評(píng)注】本題考查的是三階行列式的計(jì)算.

40.2

41.

由—1)=一1+1)2一(①一1+1)?

得/(.Z)=(1+1)2—(7+1)=J-2+%.

r+?叔W7+G=①+Q.

42.2

43.

【精析】/(心+&r)~/(*)+故有

/(0.002)★/(0)+/(0)?0.002

=sinO+cosO?0.002

0.002=0.002.

44.

，［答案］1

【精析】由拉格朗日中值定理?知

/?)=/⑹一八。)=/⑵一八。)

b-a2

0—(—2)1

=-----2-----=L

1/(外=21一1.當(dāng)①=1時(shí)，有/'(I)=1.故W=1.

45.

y-3sr=0

【精析】平面經(jīng)過(guò)X軸，則設(shè)平面方程為By+Cz=0,又平面過(guò)點(diǎn)（4,一3,-1）,故

3B—C=0,C=—3B,所以平面方程為y—3之=0.

46.

y=Gcosx+Qsinx

【評(píng)注】特征方程：戶+1=0,特征值：與2=±i，方程通解為y=Gcosx+Gsinx.

47.

~2

【精析】由題意可知，/“）與1-cos.r等價(jià)，則

../（.r）..1—cosx21

lim~；——=lini-----：----=lini-------=—.

?r-oxsinj'LOjrsiru、L。X?x2

48.1

In/1-I--\——3

【精析】lim--------=lim——----=lim----——=1.

j-H-ooarccot①arccotxL+OC_

-1+/

49.

【精析】方程兩邊同時(shí)對(duì)才求導(dǎo)得爐+2)尖=0*則乎=一。

drdrLy

50.

y

【答案］4

【精析】方程/+區(qū)+1=0有實(shí)根.則4>0.即/二2或人工一2(舍去).在(1,6)內(nèi),

符合A>2的范圍是［2.6).故方程有解的概率為高.

51.

【精析】先求塞級(jí)數(shù)的收斂域，

Vp=lim—r=1,7?=1,

rft-g〃+1

當(dāng)工=一1時(shí)，￡三業(yè)收斂.

Mn

工=1時(shí)，￡,發(fā)散，故收斂域?yàn)?/p>

n-J

令S(Jt)=>二，一1&彳<1,

Mn

5'(工)=?產(chǎn)］=］+7+工？十…十工"十…=-----,

七1一1

s(x)—s(0)=JAt――ln(l—jr)?

又s(0)=0,/.5(x)=—ln(1一%)，-1&xV1.

52.

假..［小Q+f)出xln(l+x)x2

解：］im里----------lim——-——-=hm--=2?

3x-sinxz1-cosxx-^12

-X

2

53.

【評(píng)注】解：令x==3tanZ,則去=3sec，dt,Jx?+9=3secf,

原式=出嚶=_!+c=_2^+c.

J9tan2/3secz9Jsin2/9」sin2r9sin/9x

54.

/2".r"/2\r"〔R(2a)",,.

S(x)=>,—―=y,-：---1=>.——：----1=e2j—1,x6(―°°，+0°).

仁”！仁〃！仁〃！

55.

co

【精析】閃為組二>0,所以22?為正項(xiàng)級(jí)數(shù).

(⑶*七(72)"

㈣T=%篇9霜=t＜】'故由比值審斂法可知與喘收斂?

56.

解：p(x)=-l,q(x)=2xe3Jp(x)dx=j-ldx=-x+C?

/.y=e-^(x)dx^j^(x)e^(x)dldx+C=6*(，+(7),代入y(0)=l,得C=1,

；.特解為y=k(%2+1).

57.

iJk

【精析】所求直線的方向向量為§=2-41={9.7,10}.

3-1-2

又直線過(guò)點(diǎn)(1.2.1),故所求直線方程為：氣」=汨2=三”.

*/<AU

58.

【精析】「[。)一門山=⑺一兩邊分別對(duì)

2/f1求導(dǎo),得

J0

2/(J-)一①=/(,r)且有/(0)=1,

即，-2y=—a”(0)=1，

y=J"(一.re'-2<bd.r+C)

f*

=e”(—.re-2jdw+C)

=e2x(-yje-2T+ye-2j+C)

=-yj'H----FC'e2j?

24

將31代入得C=%

所以所求函數(shù)為一$+:+#，,

B|1/(T)=~.r+4-+

1244

59.

t精析】由題意可知，此無(wú)窮級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式為

(2?-II1)=!!-----------

”3"."！，

貝U

a..(2八+1川3”山

liin—=lim—-

—A53-5+])!

I?0一斯+11

=hrn----------

53(〃+1)

3

由比值審斂法可知，p==-<l,所以此無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂.

13

60.

x/2x—x2)dx=adr+x/2a—a2d,z,

JoJoJo

=g|-j\/\—(1-,Z-)~d(1-上)

=2-「/I-(1-;r)2d(1-x)

令/=i-1r1.-----

…-2+，]—Fdr

<-1

=2+(yarcsin?+:—尸)|=2+y.

61.

【精析】由窯=?得;dy=dm]￡d.y=|<b3nly=M+G=y=Ce，，由y(0)

=1得C=1,所以y=e，.即—3y'+2y=b,特征方程為——3r+2=0,特征

2

根為n=】，>2=2.故齊次方程的通解為y=Cte"+C,e\A=1是特征方程的單根，

故令特解為V=)'=Ae，+zAe*.(y*)"=八^+八6，+皿\-,代人原方

程得一Ae，=eJ故A=-L

所以非齊次方程的通解為、=-ze'?

62.

,12?一口「=2—工=上

【精析】s=—j-2)lr=('

J0\33)Io333,

63.

【評(píng)注】解：令/nJl+X,則X=P-\,dx=2Ml,

『-3=^=<ix=f-2tdt=2[-?-/]32

=—.

h

Vl+I&t|_3J23

64.

【精析】微分方程.r/-2/=爐1z15y"=_/<x，3>,)型.

令力=，.方程可整理為p'--p=x-卜.利用公式法解此一階線性微分方程,

JC1

y=夕=eh"[(*+1.

,"dx+G=J^—工十G/，

4L

65.

ea導(dǎo)

22X

解+az6-aA

:y-一

(X2+z2-6z)=0=>2x+2z

yar"3-

;=oa&x

色&&y

又42-6￥

-=，

-一

如

+z如3

如-z

(3-z)0-x--x-

l如人如二孫

dxdy(3-Z)2(3-Z)2(3-Z)3

66.

【精析】平面圖形D區(qū)域如圖所示.

⑴S=f(26一yDdy=(2?(貨+4-J3)I=母.

Jo3JIQ3

67.

令F(x)=/—1)—1=父-nx+〃一1,并且F(1=l-n+nT=O.

當(dāng)xNl,F'⑷勺江小一，戶旗十匚1).

由于xNl時(shí)，〃N1,所以尸(x>0,即砥x)在于,長(zhǎng)］是遞增函數(shù),

所以Fx)>F(l),

x—nx+%―1>0,也即

父—n(x-l)>l.

當(dāng)0<x<1時(shí),F'(x)=nxp_|-n=-1),由于04x<1,n>1,

所以.尸<1,即尸(x)M0,以Fx)在［0,1上是遞減函數(shù)，所以

F(x)NF⑴，

JV——1)21

得證.

68.

證明：設(shè)/(X)=xln