A空間直角坐標(biāo)系和方向

空間解析幾何湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院歷史上，幾何學(xué)在很長的一段時(shí)間里面是一門高度理論化的學(xué)科,在假設(shè)干世紀(jì)里,歐幾里德幾何控制著數(shù)學(xué)的舞臺(tái).后來，到了文藝復(fù)興時(shí)期，代數(shù)學(xué)從阿拉伯傳到歐洲以后，數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)爾瑪受代數(shù)學(xué)的啟發(fā)，有了用代數(shù)的方法來研究幾何的思想，從而產(chǎn)生了解析幾何.借助坐標(biāo)系，把空間的幾何結(jié)構(gòu)，幾何對(duì)象代數(shù)化。解析幾何的根本目的：把代數(shù)運(yùn)算引入到幾何研究中來，從而把幾何學(xué)的研究從原先的定性的層面推廣到可以進(jìn)行定量研究的層面.怎么樣做到這一點(diǎn)：什么叫幾何結(jié)構(gòu),幾何對(duì)象代數(shù)化：把空間中的點(diǎn)和有序數(shù)組之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，把空間中幾何圖形，如直線，平面等和方程以及方程組建立對(duì)應(yīng)關(guān)系。這就叫做幾何結(jié)構(gòu)，幾何對(duì)象的代數(shù)化。課程教材

《解析幾何簡明教程》

吳光磊田疇編目錄：空間直角坐標(biāo)、平面和直線向量代數(shù)二次曲面正交變換和仿射變換二次曲線的一般理論第一章

空間直角坐標(biāo)、平面和直線

§1:空間直角坐標(biāo)ZYX0空間直角坐標(biāo)系[O;X,Y,Z]思考題：空間中能不能找到兩兩互相垂直的四條直線？八個(gè)卦限zyx01.

空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)平面八個(gè)卦限zyx0.

1.

空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面zyxⅡⅢⅠⅣⅤⅥⅧ0.

1.

空間直角坐標(biāo)系八個(gè)卦限．規(guī)定垂直于坐標(biāo)平面的坐標(biāo)軸所指的方向?yàn)樽鴺?biāo)平面的正面；另一局部為負(fù)面。規(guī)定坐標(biāo)平面上的點(diǎn)到坐標(biāo)平面正面的距離為正，負(fù)面的距離為負(fù)。坐標(biāo)平面正面上的點(diǎn)到坐標(biāo)平面的距離為正。

ZYOX點(diǎn)到坐標(biāo)平面的距離正面負(fù)面空間中點(diǎn)的代數(shù)化空間中一點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)〔x,y,z〕:其中x,y,z是三個(gè)實(shí)數(shù)，分別代表P與坐標(biāo)平面YZ,ZX,XY的距離.ZOP1YXP’Pyxyz有序數(shù)組〔x,y,z〕x

坐標(biāo)系中的點(diǎn)和一個(gè)三元有序數(shù)組之間就建立了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。記坐標(biāo)是的點(diǎn)為坐標(biāo)折線：確定坐標(biāo)為（x,y,z）的點(diǎn)的位置.點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離:

．給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，把右手按照從軸到軸轉(zhuǎn)動(dòng)的方向握起來，如果大拇指所指的方向?yàn)檩S的方向，則這個(gè)直角坐標(biāo)系就是右手系，否則就是左手系.右手系右手系左手系在以后的討論中，我們假定所有的坐標(biāo)系都是右手系.坐標(biāo)系的分類——右手系和左手系2:坐標(biāo)系的平移

坐標(biāo)軸的方向不變而坐標(biāo)原點(diǎn)改變.XZYP0OX’Y’Z’變化規(guī)律設(shè)點(diǎn)P在坐標(biāo)系[O;X,Y,Z]和坐標(biāo)系[P0;X’,Y’,Z’]中的坐標(biāo)依次為和。新坐標(biāo)等于舊坐標(biāo)減去新原點(diǎn)的舊坐標(biāo)。PZYX0坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn),間的距離，從坐標(biāo)系中看.就是點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，設(shè)點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，所以

轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系中去，就得到

坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離例1:在X軸上找一點(diǎn)P,使得它與點(diǎn)P0(4,1,2)的距離為.解：要找的點(diǎn)P在X軸上，所以它的坐標(biāo)可設(shè)為〔x,0,0〕.又因?yàn)閨P0P|=，即|P0P|=，x=9,-1.所以要找的點(diǎn)是〔9，0，0〕或〔-1，0，0〕.例2對(duì)于固定的坐標(biāo)系，當(dāng)線段平行移動(dòng)時(shí)，端點(diǎn)的坐標(biāo)差保持不變.ZYX0§2:怎樣表示方向1:用射線表示方向.．3:方向如何代數(shù)化？2:平行移動(dòng)不改變方向不變.在坐標(biāo)系[O,X,Y,Z]中,用從原點(diǎn)出發(fā)的射線來表示方向.原點(diǎn)以外的任何一點(diǎn)P，都表示一個(gè)方向，即從原點(diǎn)到的方向，此時(shí)的坐標(biāo)(x,y,z)就叫做這個(gè)方向的一組方向數(shù).射線上其他的點(diǎn)也都表示同一個(gè)方向，他們的坐標(biāo)也是這個(gè)方向的一組方向數(shù).．．1：方向數(shù)〔方向的代數(shù)化〕注1：一個(gè)方向的方向數(shù)不是唯一的，相差一個(gè)正數(shù)乘子.注2：在空間中從點(diǎn)到點(diǎn)

的方向數(shù)為：．．．方向角的余弦稱為方向余弦，它表示等于時(shí)的方向數(shù)，即距離原點(diǎn)為1的點(diǎn)的方向數(shù),因此一個(gè)方向的方向余弦是唯一確定的.并且方向余弦的平方和是1:2方向余弦PXYZO射線與坐標(biāo)軸依次形成三個(gè)角這三個(gè)角確定了從到的方向，叫做這個(gè)方向的方向角.設(shè)的坐標(biāo)為，則這也是一組方向余弦或者方向角所必須滿足的條件。例：是某一個(gè)方向的方向余弦，其方向角是而不是任何方向的方向余弦.對(duì)于點(diǎn)所表示的方向，有一組方向數(shù)為，那么方向余弦為1:求以下方向的方向余弦3:求以下方向的方向角方向角為:3:兩個(gè)方向的角度