2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題（含解析）

2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷滿分150分考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題1.在復(fù)平面內(nèi)，1+3i3-i對應(yīng)的點位于（A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)集合A=0,-a，B=1,a-2,2a-2，若A?B，則A.2 B.1 C. D.3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）．AC40045?C20015C.C40030?C2004.若fx=x+aln2x-1A. B.0 C.12 D.15.已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于A，B兩點，若△F1AB面積是△F2ABA. B.23 C.-23 6.已知函數(shù)fx=aex-lnxA.e2 B.e C.e-1 7.已知α為銳角，cosα=1+54A.3-58 B.-1+58 C.8.記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若，S6=21S2A.120 B.85 C.-85 D.-120二、選擇題9.已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB=120°，PA=2，點C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則（A.該圓錐體積為π B.該圓錐的側(cè)面積為43C.AC=22 D.△PAC10.設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線y=-3x-1過拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，且與C交于M，N兩點，A.p=2 B.MNC.以MN為直徑的圓與l相切 D.△OMN11.若函數(shù)fx=alnAbc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.12.在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1-α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為(1-α)(1-βB.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1-βC.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1-βD.當(dāng)0<α<0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率三、填空題13.已知向量a，b滿足a-b=3，a14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．15.已知直線與⊙C:x-12+y2=4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為8516.已知函數(shù)fx=sinωx+φ，如圖A，B是直線y=12與曲線的兩個交點，若四、解答題17.記△ABC的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c，已知△ABC的面積為，D為BC中點，且AD=1．（1）若∠ADC=π3（2）若b2+c18.an為等差數(shù)列，bn=an-6,n為奇數(shù)2an,n為偶數(shù)，記Sn，Tn（1）求an（2）證明：當(dāng)n>5時，Tn19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率pc=0.5％時，求臨界值c和誤診率（2）設(shè)函數(shù)fc=pc+qc，當(dāng)c∈95,105時，求20.如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，（1）證明：BC⊥（2）點F滿足EF=DA，求二面角21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為-25,0，離心率為（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點分別為A1，，過點-4,0的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P．證明:22.（1）證明：當(dāng)0<x<1時，x-x（2）已知函數(shù)fx=cosax-ln1-2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷滿分150分考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題1.在復(fù)平面內(nèi)，1+3i3-i對應(yīng)的點位于（A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因為1+3i3-i則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為6,8，位于第一象限.故選：A.2.設(shè)集合A=0,-a，B=1,a-2,2a-2，若A?B，則A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】因為A?若a-2=0，解得a=2，此時A=0,-2，B=若2a-2=0，解得a=1，此時A=0,-1，B=綜上所述：a=1.故選：B3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）．A.C40045?C200CC40030?C20030【答案】D【解析】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60×400600=40根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C40040?C4.若fx=x+aln2x-1A. B.0 C.12 D.1【答案】B【解析】因為f(x)為偶函數(shù)，則f(1)=f(-1)，∴(1+a)ln當(dāng)a=0時，fx=xln2x-12x+1，2x-1則其定義域為xx12或f-x故此時fx為偶函數(shù).故選：5.已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于A，B兩點，若△F1AB面積是△F2ABA. B.23 C.-23 【答案】C【解析】將直線y=x+m與橢圓聯(lián)立y=x+mx23+y因為直線與橢圓相交于A,B點，則Δ=36m2-4×4設(shè)F1到AB的距離d1,F2到AB則d1=|-S△F1ABS故選：C.6.已知函數(shù)fx=aex-lnxA.e2 B.e C.e-1 【答案】C【解析】依題可知，f'x=aex-1設(shè)gx=xex,x∈1,2，所以gx>g1=e，故e≥1a，即a≥1e7.已知α為銳角，cosα=1+54A.3-58 B.-1+58 C.【答案】D【解析】因為cosα=1-2sin解得：3-588.記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若，S6=21S2A.120 B.85 C.-85 D.-120【答案】C【解析】方法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，首項為a若q=1，則S6=6a由，S6=21S2可得，，由①可得，1+q2+所以a11-故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因為，S6=21S2，所以q≠-1從而，S2所以有，-5-S22=S當(dāng)S2=-1時，S2易知，S8+21=-64，即當(dāng)S2=5與矛盾，舍去．故選：C．二、選擇題9.已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB=120°，PA=2，點C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則（）．A.該圓錐的體積為π B.該圓錐的側(cè)面積為4C.AC=22 D.△PAC【答案】AC【解析】依題意，∠APB=120°，PA=2，所以O(shè)P=1,OA=OB=3A選項，圓錐的體積為13×π×3B選項，圓錐的側(cè)面積為π×3×2=23C選項，設(shè)D是AC的中點，連接OD,PD，則AC⊥OD,AC⊥PD，所以是二面角P-AC-O的平面角，則∠PDO=45°，所以O(shè)P=OD=1，故AD=CD=3-1=2，則AC=2D選項，PD=12+12=故選：AC.10.設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線y=-3x-1過拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，且與C交于M，N兩點，A.p=2 B.MNC.以MN為直徑的圓與l相切 D.△OMN【答案】AC【解析】A選項：直線y=-3x-1過點1,0，所以拋物線C:y所以p2=1,p=2,2p=4，則A選項正確，且拋物線C的方程為B選項：設(shè)Mx由y=-3x-1y2=4x解得x1=3,x2=1C選項：設(shè)MN的中點為A，M,N,A到直線l的距離分別為d1因為d=1即A到直線l的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線l相切，C選項正確.D選項：直線y=-3x-1，即O到直線3x+y-3=0所以三角形OMN的面積為12由上述分析可知y1所以O(shè)M=所以三角形OMN不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.11.若函數(shù)fx=alnA.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 【答案】BCD【解析】函數(shù)f(x)=alnx+bx因為函數(shù)f(x)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在(0,+∞)上有兩個變號零點，而a≠0，因此方程ax2-bx-2c=0于是Δ=b2+8ac>0x1+x2=ba>0x1x2=-2c12.在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1-α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為(1-α)(1-βB.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1-βC.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1-βD.當(dāng)0<α<0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【解析】對于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2，對于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為(1-β)?β?對于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為C32β(1-β對于D，由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率P=(1-α)單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率P'=1-α，而因此P-P'=(1-α)2(1+2α)-(1-α)=α(1-α)(1-2α)>0故選：ABD三、填空題13.已知向量a，b滿足a-b=3，a【答案】【解析】法一：因為a+b=則a2+2a又因為a-b=則a2-2a法二：設(shè)c=a-由題意可得：c+2b2整理得：c2=b故答案為：.14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．【答案】28【解析】方法一：由于24=12，而截去的正四棱錐的高為所以正四棱錐的體積為13截去的正四棱錐的體積為13所以棱臺的體積為32-4=28.方法二：棱臺的體積為13故答案為：28.15.已知直線與⊙C:x-12+y2=4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為85【答案】2（2,-2,1【解析】設(shè)點C到直線AB的距離為d，由弦長公式得AB=2所以S△ABC=12×d×2由d=1+11+m2=21+m2故答案為：2（2,-2,116.已知函數(shù)fx=sinωx+φ，如圖A，B是直線y=12與曲線的兩個交點，若【答案】-【解析】設(shè)，由AB=π6可得由sinx=12可知，或x=ωx2+φ-ωx因為f23π=sin8π3所以f(x)=sin所以fx=sin又因為f0<0，所以f(x)=sin故答案為：-3四、解答題17.記△ABC的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c，已知△ABC的面積為，D為BC中點，且AD=1．（1）若∠ADC=π3（2）若b2+c【答案】（1）35；（2）b=c=2【解析】【1】方法1：在△ABC中，因為D為BC中點，∠ADC=π3，則S△ADC=1在△ABD中，∠ADB=2π3，由余弦定理得即c2=4+1-2×2×1×(-12)=7sinB所以tanB方法2：在△ABC中，因為D為BC中點，∠ADC=π3，則S△ADC=1在△ACD中，由余弦定理得b2即b2=4+1-2×2×1×12=3，解得b=C=π6，過A作AE⊥BC于E，于是CE=ACcos所以tanB【2】方法1：在△ABD與△ACD中，由余弦定理得c2整理得12a2+2=b又S△ADC=12×3×1×所以b=c=A方法2：在△ABC中，因為D為BC中點，則2AD=AB于是4AD2+CB2又S△ADC=12×3×1×所以b=c=A18.an為等差數(shù)列，bn=an-6,n為奇數(shù)2an,n為偶數(shù)，記Sn，Tn（1）求an（2）證明：當(dāng)n>5時，Tn【答案】（1）an=2n+3；（2）【解析】【1】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，而b則b1于S4=4a1+6d=32T所以數(shù)列an的通項公式是a【2】方法1：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當(dāng)n為偶數(shù)時，bn-1Tn當(dāng)n>5時，Tn-S當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn當(dāng)n>5時，Tn-S所以當(dāng)n>5時，Tn方法2：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn當(dāng)n>5時，Tn-S當(dāng)n為奇數(shù)時，若n≥3，則T=32n2+52當(dāng)n>5時，Tn-S所以當(dāng)n>5時，Tn19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率pc=0.5％時，求臨界值c和誤診率（2）設(shè)函數(shù)fc=pc+qc，當(dāng)c∈95,105時，求【答案】（1）c=97.5，q(c)=3.5%；（2）f(c)=-0.008c+0.82,95≤c≤1000.01c-0.98,100<c≤105，最小值為【解析】【1】依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5×0.002>0.5%，所以95<c<100，所以c-95×0.002=0.5%，解得：c=97.5q(c)=0.01×97.5-95【2】當(dāng)時，f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002；當(dāng)時，f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002,故f(c)=-0.008c+0.82,95≤c≤100所以fc在區(qū)間95,105的最小值為0.0220.如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，（1）證明：BC⊥（2）點F滿足EF=DA，求二面角【答案】（1）證明見解析；（2）33【解析】【1】連接AE,DE，因為E為BC中點，DB=DC，所以DE⊥因為DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，所以△ACD與∴AC=AB，從而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE=E，AE,DE?平面ADE，所以，BC⊥平面ADE，而AD?平面ADE，所以BC⊥【2】不妨設(shè)DA=DB=DC=2，∵BD⊥CD，∴BC=2，∴AE⊥DE，又∵AE⊥BC,DE∩BC=E，DE,BC?平面BCD∴AE⊥平面BCD．以點E為原點，ED,EB,EA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)D(2設(shè)平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為n1二面角D-AB-F平面角為θ,而AB=因為EF=DA=-2∴-2x1+2y2-2z所以，cos