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4月大數(shù)據(jù)精選模擬卷01(廣東專用)
數(shù)學(xué)
本卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘。
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是符
合題目要求的.
1.已知集合A={xeZ[0<x<4},B=1x|(x-l)(x+2)<0,xe7V|,則A|J3=()
A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}
【答案】C
【詳解】
?/A={xeZ|0<x<4}={l,2,3},B={x|-2<%<l,xeA^}={0},
因此,AuB={0,l,2,3}.
故選:C.
2.設(shè)復(fù)數(shù)z=l—(1-O',則|z|=()
A.1B.2C.y/5D.V13
【答案】D
【詳解】
z=l-(l-/)2(l-/)=1+2/(1-/)=1+2+2/=3+2/,所以忖=)32+22=岳
故選:D.
3.若(、。+義)”展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式的常數(shù)項(xiàng)是()
x
A.360B.180C.90D.45
【答案】B
【詳解】
展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中第6項(xiàng)為中間項(xiàng),所以總共11項(xiàng),故,=10,
通項(xiàng)公式為&=G[4)嶺0=2'Go
當(dāng)5—言=0,即廠=2時(shí)為常數(shù),此時(shí)豈=2?d=180
所以展開式的常數(shù)項(xiàng)是180
I
故選:B
4.命題〃:f—x—2<0是命題4:0<%<1的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件
【答案】B
【詳解】
x?-x-2<()—1<x<2,
所以pqq,反之q=p.
故。是q的必要不充分條件.
故選:B
5.下列四個(gè)命題:①在回歸模型中,預(yù)報(bào)變量y的值不能由解釋變量X唯一確定;②若變量X,y滿足關(guān)
系y=-O.lx+1,且變量y與z正相關(guān),則x與z也正相關(guān);③在殘差圖中,殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬
度越狹窄,其模型擬合的精度越高;④以模型y=,6米去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出回歸方程,設(shè)z=lny,
將其變換后得到線性方程z=0.3x+4,則c=e3A:=0.3.
其中真命題的個(gè)數(shù)為()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】C
【詳解】
下列四個(gè)命題:
①在回歸模型中,預(yù)報(bào)變量J的值不能由解釋變量x唯一確定;根據(jù)回歸模型中的變量關(guān)系,正確.
②若變量X,y滿足關(guān)系y=-01x+l,且變量y與Z正相關(guān),則X與Z也正相關(guān);應(yīng)該是負(fù)相關(guān).故錯(cuò)誤.
③在殘差圖中,殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄,其模型擬合的精度越高;即越接近于回歸直線的距
離越小,故正確.
④以模型y=ceh去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出回歸方程,設(shè)z=lny,將其變換后得到線性方程
z=0.3x+4,則c=e、A:=0.3.故正確.
6.在新的高考改革方案中規(guī)定:每位考生的高考成績(jī)是按照3(語文、數(shù)學(xué)、英語)+2(物理、歷史)
選1+4(化學(xué)、生物、地理、政治)選2的模式設(shè)置的,則在選考的科目中甲、乙兩位同學(xué)恰有兩科相同
的概率為()
2
【答案】c
【詳解】
解:由題意得出甲、乙兩位同學(xué)選考的總數(shù)為CC:xC;C:=144種,
若相同的科目為4選2的科目,則有=12種;
若相同的科目為2選1和4選2中的1個(gè),則有C;C:C;C;=48種,
124-485
所以所求概率為匕工e=二,
14412
故選:C
7.己知函數(shù)定義域?yàn)镽,滿足"x)=/(2-x),且對(duì)任意13,<演均有
成立,則滿足/(2%_1)_/(3_力20的x的取值范圍是()
(-00,0]Ug'+8
A.(-00,-2]U一,4-00B.
3)
D.0,1
【答案】D
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)/(X)滿足〃力="2-力,所以函數(shù)“X)關(guān)于直線x=l對(duì)稱,
因?yàn)閷?duì)任意1VX,<Z均有(西一動(dòng)[/(%)-/(七)]<0成立,所以函數(shù)/(x)在[1,+8)上單調(diào)遞減.
山對(duì)稱性可知/(X)在(-8』上單調(diào)遞增.
因?yàn)?(2x_l)—/(3—x)20,即/(2x_l)?/(3—x),
所以|2x—1—1|封3—》—1],即|2%一2|42—目,解得OWxwg.
8.如圖,E、尸分別是正方形ABC。的邊AB、AO的中點(diǎn),把AAE/7,ACBE,△CFD折起構(gòu)成一
個(gè)三棱錐尸-CEE(A,B,C重合于尸點(diǎn)),則三棱錐尸一CE/的外接球與內(nèi)切球的半徑之比是()
3
A.y/2B.2V2c.V6D.2屈
【答案】D
【詳解】
設(shè)正方形ABCO邊長(zhǎng)為2,
由題意,折疊后所得三棱錐P—CEF中PC,PE,P尸兩兩垂直,以它們?yōu)槔庋a(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,則長(zhǎng)方體的
外接球就是三棱錐P-CEE的外接球,設(shè)外接球半徑為R,
則(2Ry=PE2+PF2+PC2=l2+l2+22=6,R=星,
2
&PEF='Xlxl=5,同理S4pcE=SapcF=1,
]I(3
2
EF=y/2>CE=CF=#,SAC£F=-xy/2xI(y/5)-m=|?
13
=
三棱錐P—CEF的全面積為S—S^PEF+S^PCE+S&PCF+SACEF~+l+l+~—4,
v_1c”一11o一1
VP-CEF=]*PEF.?C=§XQX2=§,
13X1
設(shè)三棱錐P—CEE內(nèi)切球半徑為r,則/_CEF=—Sr,所以3VP_CFF31,
3r=F-==『a
-=2y[6,
r
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,
全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分.
22
9.已知雙曲線——上一=1(根€/?)的一條漸近線方程為4》一3>=0,則()
mm+7
A.(J7,o)為。的一個(gè)焦點(diǎn)
4
B.雙曲線C的離心率為g
C.過點(diǎn)(5,0)作直線與C交于AS兩點(diǎn),則滿足|AB|=15的直線有且只有兩條
D.設(shè)為C上三點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則M4,MB斜率存在時(shí)其乘積為為
【答案】BD
【詳解】
22
解:因?yàn)殡p曲線——匚=1(機(jī)€的的一條漸近線方程為4》-3>=0,
m加+7
所以%±2=(士],解得〃2=9,所以雙曲線c:X—2=l,所以a=3,b=4,〃=,/+/=5,所
m^3/916
以則其焦點(diǎn)為(一5,0)、(5,0),離心率e=:=g,故A錯(cuò)誤,B正確;過點(diǎn)(5,0)作直線與C交于A8兩
點(diǎn),因?yàn)椋?,0)為雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)卜叫=也=曰<15,當(dāng)直線的斜率為0時(shí),
AB=2a=6<15,所以由雙曲線的對(duì)稱性得,滿足|A8|=15的直線有4條,故C錯(cuò)誤;
設(shè)3(F,—M),"(xo,%),所以腦="^,右B=三"四=空也,因?yàn)?/p>
西一玉)一玉一須)%+XQ
22222222
在雙曲線上,所以工—2_=1,"―里=1,兩式相減得二一/_X_%=0,所以
916916916
(M-%)(凹+%)」6
k故D正確;
(辦一玉))(%+/)9%MB?
故選:BD
InX
10.對(duì)于函數(shù)/(X)=y下列說法正確的是()
A.J(X)在x=〃處取得極大值相
B./(X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
c.fg</(⑸</(@
k)
\(,
D.若八x)<k一一?在(0,+8)上恒成立,則人>—
x2
【答案】ACD
5
【詳解】
對(duì)于選項(xiàng)A:函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),廣(無)=13rll令ra)>o可得o<x〈人,
令/'(x)<0可得x>JL所以/(x)在(o,&)單調(diào)遞增,在(五,+℃)單調(diào)遞減,
所以/(x)在x=&時(shí)取得極大值/(&)=(,故選項(xiàng)A正確
對(duì)于選項(xiàng)B:令/(同=警=0,可得x=l,因此/(無)只有一個(gè)零點(diǎn),故選項(xiàng)B不正確;
對(duì)于選項(xiàng)C:顯然正<百<6,/(X)在(五,+勾單調(diào)遞減,
可得/(6)>>0,因?yàn)?
即/(拒)</(、/)<,小百),故選項(xiàng)C正確;
對(duì)于選項(xiàng)D:由題意知:左>/(力+5=竽+*在(0,+8)上恒成立,
令g(x)=/+*(x>0)則攵>g(x)max,因?yàn)間'")=—
易知當(dāng)X€(o,7r時(shí).g'(x)>0,當(dāng),+ooj時(shí),g'(x)<0,所以g(x)在x=9時(shí)取得極大值
7
也是最大值g[了:7)=/,所以火>5,
Ip
所以/(%)+了<左在xe(0,x°)上恒成立,則左>5,故選項(xiàng)D正確.
故選:ACD.
11.已知數(shù)列1,1,2,1,2,4」,2,4,8,1,2,4,8/6,……,其中第一項(xiàng)是2°,接下來的兩項(xiàng)是2°,21再接下來
的三項(xiàng)是2°,2122,依次類推…,第w項(xiàng)記為4,數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和為S,,,則()
C.=24'
A.%)=16B.SB=128D.S2=2j-1
2
【答案】AC
【詳解】
A.由題可將數(shù)列分組
第一組:2°第二組:2°,2,,第三組:2°,21,22,
6
則前%組一共有1+2+…+Z=個(gè)數(shù)
2
第人組第女個(gè)數(shù)即2人,故&一’,C對(duì)
2
又嗎卻=55,故%5=2,
11(11+1)
又二-----^=66,
2
4。則為第11組第5個(gè)數(shù)
第11組有數(shù):2°,2i,22,23,2\25,26,27,28,2\21°
故%o=24=16,A對(duì)
?—1
對(duì)于D.每一組的和為2°+2]+…+2"|=---=24'-1
2-1
故前左組之和為21+21+-+2k-k=2^-k=2k+'-2-k
2-1
Sk-—2
2
故D錯(cuò).
對(duì)于B.
6
由D可知,S]5=2—5—2
5(5+1)—二21
15,
22
26
S18=S15+2°+2'+2=2-5-2+7=64
故B錯(cuò)
12.已知正數(shù)4、匕滿足。+?=1,則下列說法正確的是().
B.a匕的最小值是:
A.2"+4"的最小值是2公
X
工的最小值是4行
C.4+4〃的最小值是方D.-+
ab
【答案】AC
【詳解】
7
因?yàn)檎龜?shù)。、萬滿足。+2〃=1.
對(duì)丁A選項(xiàng),由基本不等式可得2"+4/?=2"+22b>212a.p_2yj?"2b=272,
當(dāng)且僅當(dāng)a=20=,時(shí),等號(hào)成立,A選項(xiàng)正確;
2
對(duì)于B選項(xiàng),由基本不等式可得1=“+2。22>/點(diǎn),即8abWl,即而V;,
O
當(dāng)且僅當(dāng)a=2。=L時(shí),等號(hào)成立,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
2
對(duì)于C選項(xiàng),由基本不等式可得“2+皿2>2yla2-4b2=4ab,
所以,2(a2+4b2)=(a2+4b2)+(a2+4b2)>(a2+4b2)+4ab=(a+2b^=1,
所以,a2+2b2>~,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=L時(shí),等號(hào)成立,C選項(xiàng)正確;
22
對(duì)于D選項(xiàng),由基本不等式可得?1+,=(。+28)[,+工]=9+q+322)絲?8+3=3+20,
ab\ab)ab\ab
當(dāng)且僅當(dāng)a=岳時(shí),等號(hào)成立,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知非零向量不,呂滿足忖=2同,且R+B,)萬,則M與萬的夾角為
__._2兀
【答案】—
【詳解】
V(a+b)la,曲+萬石=0,
即忖+|4|/?|COS<4,B)=0.
,.[司=2,1..?同+2卜|cos(4,/?)=0,
/.cos(a,B)=—g,?.?0W<兀,.==g
...2TL
故答案為:-y.
14.已知函數(shù)〃x)=3[;:(a>3),若對(duì)任意花,x2,總有/(%),/(%,),”工)為某
一個(gè)三角形的邊長(zhǎng),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是
【答案】[3,6]
8
【詳解】
由題意可得:對(duì)V%,七eH,總有%)+.f(x2)>/(xJ)恒成立,
痂2〃蟲>〃切皿
/-(x)=^1£=3+—,
、,3'+13"+1
①當(dāng)a=3時(shí),/(x)=3,滿足題意;
②當(dāng)a>3時(shí),/(%)在R上單調(diào)遞減,3</(x)<fl,故需2x3》a,即3<aW6:
綜上所述,。的取值范圍是[3,6].
15.已知拋物線C:V=4x,點(diǎn)A、B在拋物線上,且分別位于8軸的上、下兩側(cè),若次.礪=5,則
直線A3過定點(diǎn).
【答案】(5,0)
【詳解】
設(shè)直線4?方程x=my+>,4(石,凹),3(孫必)(X>O,%<0)
x=my+b
則〈2:=>y92-4my-4b=0,貝!|)1%=一4/7,且8>°
y~-4x
乂。4?0萬=5,所以xtx2+XM=-+X%=5
16
則。2-4匕=5=6=5或〃=—1(舍),
故直線A8方程x=,2+5,所以直線AB過定點(diǎn)(5,0)
故答案為:(5,0)
16.西氣東輸工程把西部的資源優(yōu)勢(shì)變?yōu)榱私?jīng)濟(jì)優(yōu)勢(shì),實(shí)現(xiàn)了氣能源需求與供給的東西部銜接,同時(shí)該項(xiàng)
工程的建設(shè)也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展.在輸氣管道工程建設(shè)過程中,某段直線形管道鋪設(shè)需要經(jīng)
過一處平行峽谷,勘探人員在峽內(nèi)恰好發(fā)現(xiàn)一處四分之一圓柱狀的圓弧拐角,用測(cè)量?jī)x器得到此橫截圓面
的圓心為。,半徑OM=ON且為1米,而運(yùn)輸人員利用運(yùn)輸工具水平橫向移動(dòng)直線形輸氣管不可避免的
要經(jīng)過此圓弧拐角,需從寬為38米的峽谷拐入寬為16米的峽谷.如圖所示,位于峽谷懸崖壁上的兩點(diǎn)A,B
的連線恰好與圓弧拐角相切于點(diǎn)T(點(diǎn)A,T,5在同一水平面內(nèi)),若要使得直線形輸氣管能夠順利地
通過圓弧拐角,其長(zhǎng)度不能超過米.
9
sB
【答案】75
【詳解】
TT
設(shè)NMOT=e,其中夕€(0,耳),
延長(zhǎng)0M,交AB于。,過8做SB垂線,交。。于G,延長(zhǎng)0M交A8于E,過A做SA垂線,交NO于
F,如圖所示:
在RMAEF中,ZAEF=0,AF=39,則sin6=——,即AE=^—
AEsin。
QBG=6,BG=T7,貝Ucos6=些,即8。=-^-,
在RIABDG中,
BDcos。
在Rt^DOE中,CT1nFCT_1KNDJHO—?FC—'
cos6sin0
又1xDOxEO=-xDExOT,所以。E=-----1——.
22sincos
yCL3917139cos6+17sine—1
所以A8=/(e)
singcos,sincossin6cos6
3JT
因?yàn)?sin6+3cos8=5sin(e+0)<5,其中tanQ=-,當(dāng)且僅當(dāng)。+0=—時(shí),等號(hào)成立,
42
所以二39cos6+17sin£—1>!(4sine+3cos6)(39cose+17sin0T
sin。cos。sin。cos。
io
-(68sin2^+207sin^cos^+l17cos26)-(sin?8+cos?0)
sincos6^
63.2q207.□1122A
——sin,+---sincosn+---cos3
7/c八16、207
二555=—(9tan0H-----)H----
sincos5tan。5
、7J八16207.
2—x2/9tan0x-----------1--------=75,
5Vtan85
164
當(dāng)且僅當(dāng)9tan〃=——,即tan6=:時(shí)等號(hào)成<,
tan。3
所以若要使得直線形輸氣管能夠順利地通過圓弧拐角,其長(zhǎng)度不能超過75米.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.設(shè)數(shù)列{斯}滿足斯+1=:4“+2,0=4.
(1)求證{%-3}是等比數(shù)列,并求斯;
(2)求數(shù)列{斯}的前"項(xiàng)和T,,,
【詳解】
(1)數(shù)列{〃”}滿足""+1=1%+2,所以a“+]—3=4(a“-3),
所以數(shù)列{斯}是以4-3=4-3=1為首項(xiàng),;為公比的等比數(shù)列.
所以一3=1?(;)z,則a?=(;)"T+3,〃eN*.
(2)因?yàn)閝=(;嚴(yán)+3,
所以7;=(;)°+(;)|+…+(;)"T+(3+3+…+3)
IQT31
=---y-+3/?=-(l--)+3n.
1--
3
18.在AABC中,角AB,C的對(duì)邊分別為a,仇C,已知:b=6c=叵,NB=45°.
11
A
(1)求邊8C的長(zhǎng)和三角形ABC的面積;
4
(2)在邊8C上取一點(diǎn),使得cos?AD8求tanNZMC的值.
【詳解】
(1)法一:在△ABC中,由8=JF,c=JI,N3=45。,
由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB>得5=2+/-2x0xax—,解得a=3或a=—1(舍),
2
所以BC—a—3)SARC=—?csinB=--3-y/2-^-=—.
-A8c2222
法二:(1)過點(diǎn)A作出高交BC于尸,即△鉆尸為等腰直角三角形,
QAB=&,AF=BF=\,同理△AFC為直角三角形,
vAF=\,AC=45,
13
:.FC=2,故BC=BF+FC=3,S^ABC=-\BC\-\AF\=~.
(2)在中,由正弦定理」一二一J,即3—=*L,得sinC=走,又6=J?〉c=/,
sin5sinCsin45°sinC5
所以NC為銳角,
法一:由上,cosC=Vl-sin2C=—.由cos?AZ)6:(NADB為銳角),得
53
12
sinZADB=Vl-cos2ZADB3
5
sin/£>AC=sin(ZADB-NC)=sinNA£>8.cosNC-cosNAOB.sinZC-石,
555525
由圖可知:ND4c為銳角,則cosNDAC=Jl一sin?NDAC=,所以
25
sinZDAC2
tanADAC=-------------=——
cosZDAC11
14_3
法二:由上,tanC=-,由cos?ADB-(NAZ)5為銳角),WtanZADB
25~4
,/ZADB+ZADC=7i,
3
tanZADC=一一.故tanADAC=tan(〃-(ZADC+ZC))
4
……c+”)Y裁窗;詭
_4
法三:△AFD為直角三角形,且|A/n=l,cosNAOB
~5
___________I〔Aa
所以sinNAO3=Jl—cos2NAO8=Jl——=—
V255
AF5423
AD=------------^-,DF=ADcosZADB=-,CD=~,sinZADC=-
sinZADB3335
CDACn/c
在AA。。中,由正弦定理得,,故sin/D4C=,^
sinND4csinZADC25
13
由圖可知ADAC為銳角,則cosND4c=4一siM/DAC=L由,所以tanADAC=sm/DA。=1_
25cosZDAC11
19.如圖,在四棱錐S-ABC。中,ABC。為直角梯形,AD//BC,BCLCD,平面SCQ_L平面48CZ).△SCD
是以CD為斜邊的等腰直角三角形,BC=2AD=2CD=4,E為5s上一點(diǎn),且2E=2ES.
(1)證明:直線SO〃平面ACE;
(2)求二面角S-AC-E的余弦值.
【詳解】
解:(1)證明:連接3。交AC于點(diǎn)口,連接EF.
因?yàn)锳D〃BC,所以丫4汽。與43。產(chǎn)相似.
,BFBCc
所CCI以-....-2.
FDAD
BEBF
又==k=2,所以EF//SD.
ESFD
因?yàn)镋Eu平面ACE,SO,平面ACE,所以直線S。//平面ACE.
(2)解:平面SC£>_L平面ABCD,平面SCDPI平面A5CD=CD,BCu平面ABC。,
BCtCD,所以BCL平面SCO.
以。為坐標(biāo)原點(diǎn),麗,在所在的方向分別為y軸、z軸的正方向,
與麗,而均垂直的方向作為X軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系c-型.
224
則C(0,0,0),S(l,1,0),A(0,2,2),,
333
_______224
CA=(0,2,2),CS=(1f1,0),CE=.
333
設(shè)平面SAC的一個(gè)法向量為比=(x,y,Z),
14
m-CA=2y+2z=0
則<,令x=l,得比=(1,-1,1),
m-CS=x+y=0
設(shè)平面E4c的一個(gè)法向量為為=(X,y,z),
n-CA=2y+2z=0
則〈_.224令z=l,得元=(T,-1,1).
n-CE=—x+—y+—z=0
I33-3
設(shè)二面角S-AC-E的平面角的大小為e,
c\m-ri\11
filllCOS0=----------=—f=一~k=—
|/?|-|n|V3-A/33
所以二面角S-AC-E的余弦值為1.
3
20.為確保我國(guó)如期全面建成小康社會(huì),實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在產(chǎn)業(yè)扶貧政策的
大力支持下,某玩具廠對(duì)原有的生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí),為了更好地對(duì)比升級(jí)前和升級(jí)后的效果,其中甲生
產(chǎn)線繼續(xù)使用舊的生產(chǎn)模式,乙生產(chǎn)線采用新的生產(chǎn)模式.質(zhì)檢部門隨機(jī)抽檢了甲、乙兩條生產(chǎn)線的各100
件玩具,在抽取的200件玩具中,根據(jù)檢測(cè)結(jié)果將它們分為“A”、“8”、三個(gè)等級(jí),A,8等級(jí)都是合格
品,C等級(jí)是次品,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:
等級(jí)ABC
頻數(shù)1007525
(表二)
合格品次品合計(jì)
甲80
15
乙5
合計(jì)
在相關(guān)政策扶持下,確保每件合格品都有對(duì)口銷售渠道,但從安全起見,所有的次品必須由廠家自行銷毀.
(1)請(qǐng)根據(jù)所提供的數(shù)據(jù),完成上面的2x2列聯(lián)表(表二),并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的合格
率與技術(shù)升級(jí)有關(guān)?
(2)每件玩具的生產(chǎn)成本為20元,A,6等級(jí)產(chǎn)品的出廠單價(jià)分別為加元、40元.若甲生產(chǎn)線抽檢的玩
具中有35件為A等級(jí),用樣本的頻率估計(jì)概率,若進(jìn)行技術(shù)升級(jí)后,平均生產(chǎn)一件玩具比技術(shù)升級(jí)前多盈
利12元,則A等級(jí)產(chǎn)品的出產(chǎn)單價(jià)為多少元?
附:K;——幽也——,其中〃=a+"c+d.
(a+b)(c+a)(a+c)(b+d)
尸(心次)0.050.0250.0100.0050.001
“03.8415.0246.6357.87910.828
【詳解】
解:(1)根據(jù)所提供的數(shù)據(jù),可得2x2列聯(lián)表:
合格品次品合計(jì)
甲8020100
乙955100
合計(jì)17525200
設(shè)Ho:產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級(jí)無關(guān).
2
由犬n(ad-bc)
(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)
可得八端嗤需冷畀…?
2
P(K>k0)=0.005,故有99.5%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級(jí)有關(guān).
(2)法一:甲生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有35件A等級(jí),45件3等級(jí),20件。等級(jí),
16
對(duì)于甲生產(chǎn)線,單件產(chǎn)品利潤(rùn)X的取值可能為加—20,20,-20,
X的分布列如下:
Xm-2020-20
79]_
p
20205
7917
則£(X)=(m—20)x—+20x——20x-=—m-2,
2020520
乙生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有65件A等級(jí),30件5等級(jí),5件C等級(jí);
對(duì)于乙生產(chǎn)線,單位產(chǎn)品利潤(rùn)Y的取值可能為加-20,20,-20,
y的分布列如下:
Ym-2020-20
1331
p
20To20
133113
則£(y)=(〃L20)x,+20x3—20x—='〃7—8,
20102020
依題意.后(丫)一6(乂)=為,〃一8-(卷加一2)=第一6=12,
=60,所以,A等級(jí)產(chǎn)品的出產(chǎn)單價(jià)為60元.
法二:甲生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有35件A等級(jí),45件5等級(jí),20件C等級(jí),
乙生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有65件A等級(jí),30件5等級(jí),5件C等級(jí);
因?yàn)橛脴颖镜念l率估計(jì)概率
-…,-,,u、小..._35xm+45x40-100x207_
所以對(duì)十甲生產(chǎn)線,單件產(chǎn)品的利r潤(rùn)玉=------------------------=—m-2
10020
65x^.30x40-100x20^13m,8
對(duì)于乙生產(chǎn)線,單件產(chǎn)品的利潤(rùn)亍2
10020
上團(tuán).8-27機(jī)-2黑6”
依題意.另一片
2020
.?.帆=60,所以,A等級(jí)產(chǎn)品的出產(chǎn)單價(jià)為60元.
21.已知函數(shù)/(x)=x-lnx—a有兩個(gè)相異零點(diǎn)芭,x2(x,<x2).
17
(1)求。的取值范圍.
(2)求證:X1+%<2,.
【詳解】
M?:(1)r(尤)=±~^(x>o)
X
當(dāng)0<x<l時(shí),/'(X)<0,/(x)單調(diào)遞減:
當(dāng)x>l時(shí),f(x)>O,/(x)單調(diào)遞增;
由/⑴<0得,?>1
當(dāng)a>1時(shí),f(e-“)>0,/(1)<Q,f(eu)=e"—2a>0,
所以玉?e(e-0,1)使得//(xj=0,3%2e(l,e")使得/(^)=°,
綜上:ae(l,+oo)
(2)由(1)可知,0cxi<1<々,
4a+2
要證%+x2<---
即證馬〈駕2—西4(斗-lnxJ+2_x_41n%+2
3一%=3
x—41nx+2尤一4
構(gòu)造函數(shù)g(x)=----------,(0<X<1),則g(x)=----<0
33尤
所以g(無)在(0,1)單調(diào)遞減,g(x)>g(l)=1.
故有
因?yàn)?(幻在(1,+8)上單調(diào)遞增,
所以只需證三二竽±2)
玉一41rl玉+2
即證/(不)</、
3
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