第7.3.2講離散型隨機變量的方差-2023-2024學(xué)年新高二數(shù)學(xué)寶典（人教A版2019選修第三冊）

第七章隨機變量及其分布第7.3.2講離散型隨機變量的方差班級_______姓名_______組號_______1．通過具體實例，理解取有限個值的離散型隨機變量的方差概念．2．能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．1、離散型隨機變量的方差2、離散型隨機變量方差的性質(zhì)3、離散型隨機變量方差的應(yīng)用離散型隨機變量的方差1．定義設(shè)離散型隨機變量X的分布列如下表所示．Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn我們稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,))(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱eq\r(D（X）)為隨機變量X的標(biāo)準差，記作σ(X)．2．意義隨機變量的方差和標(biāo)準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度．方差或標(biāo)準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標(biāo)準差越大，隨機變量的取值越分散．離散型隨機變量方差的計算1．一個結(jié)論D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi＝eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,))xeq\o\al(\s\up12(2),\s\do4(i))pi－(E(X))2．2．性質(zhì)D(X＋b)＝D(X)，D(aX)＝a2D(X)，D(aX＋b)＝a2D(X)．題型1、離散型隨機變量的方差1．若隨機變量X的概率分布表如下：X01P0.4則（

）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16【答案】C【分析】根據(jù)分布列的數(shù)學(xué)期望和方差公式直接求解.【詳解】根據(jù)概率的性質(zhì)可得，所以，所以，故選:C.2．已知隨機變量的分布列如下表所示：012若，則（

）A．>，> B．<，>C．>，< D．<，<【答案】A【分析】通過計算期望和方差來求得正確答案.【詳解】，，由于，所以.，同理可得.，所以.故選：A3．隨機變量的概率分別為，，其中是常數(shù)，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】先求得參數(shù)k的值，進而求得的值，再利用隨機變量的方差的計算公式即可求得的值【詳解】，，，解得，，.故選：C.4．若隨機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查兩點分布的理解，以及，，的計算運用．【詳解】因為隨機變量服從兩點分布，且，所以，故A正確；，故B正確；，故C不正確；，故D正確，故選：C.5．隨機變量X的取值為0，1，2，若，，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】設(shè)，，則由，，求出，，由此能求出．【詳解】設(shè)，，由題意得，解得，，.故選：B.對方差、標(biāo)準差概念的說明(1)隨機變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義是相同的．(2)隨機變量X的方差和標(biāo)準差都反映了隨機變量X取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散程度．(3)D(X)越小，隨機變量X的取值就越穩(wěn)定，波動就越小．(4)標(biāo)準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛．題型2、離散型隨機變量方差的性質(zhì)6．若隨機變量滿足，則（

）A．0.8 B．1.6 C．3.2 D．0.2【答案】C【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，所以.故選：C7．一組數(shù)據(jù)、、、、的方差為，則、、、、的方差為（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)新舊方差之間的關(guān)系計算即可.【詳解】設(shè)原數(shù)據(jù)隨機變量為X，根據(jù)題可知原數(shù)據(jù)方差，則新數(shù)據(jù)隨機變量可表示為，根據(jù)方差公式可知.故選：A.8．已知隨機變量滿足，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)求解【詳解】，得，，得，故選：B9．已知隨機變量X滿足，，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)方差和期望的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)方差和期望的性質(zhì)可得：,,故選：D10．已知隨機變量X滿足，，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)期望和方差公式，即可判斷選項.【詳解】，得，，.故選：C(1)求離散型隨機變量X的方差的步驟①理解X的意義，寫出X可能取的全部值；②求X取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，根據(jù)期望的定義求出E(X)；④根據(jù)公式計算方差．(2)對于變量間存在關(guān)系的方差，在求解過程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，這樣處理既避免了求隨機變量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁雜的計算，簡化了計算過程．題型3、離散型隨機變量方差的應(yīng)用11．已知隨機變量的分布列如表所示：0p其中，若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)期望和方差的公式代入計算即可.【詳解】因為，所以，，所以.所以.故選：A.12．設(shè)隨機變量服從兩點分布，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩點分布，結(jié)合已知條件求出，，再根據(jù)方差公式求解即可.【詳解】因為隨機變量服從兩點分布，所以，又，所以解得，，所以，，故選：A13．在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準差最小的一組是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，分別求出選項中的方差，根據(jù)方差的大小即可判斷標(biāo)準差的大小，結(jié)合選項即可求解．【詳解】對于A，所以，對于B，所以，對于C，所以，對于D，所以，故選：C14．若離散型隨機變量的標(biāo)準差，則隨機變量的標(biāo)準差為（

）A．8 B．15C．16 D．32【答案】C【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)直接運算即可.【詳解】.故選：C15．某企業(yè)擬定4種改革方案，經(jīng)統(tǒng)計它們在該企業(yè)的支持率分別為，，，，用“”表示員工支持第種方案，用“”表示員工不支持第種方案，那么方差，，，的大小關(guān)系為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意可知：隨機變量服從兩點分布，由兩點分布的方差公式可解.【詳解】由題意可知：用“”表示員工支持第種方案，用“”表示員工不支持，第種方案，所以隨機變量服從兩點分布，則，，，，所以，D選項正確.故選：D一、單選題1．若隨機變量滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，所以.故選：A2．若數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】A【分析】由方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】數(shù)據(jù)，，…，的方差，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為.故選：A3．已知隨機變量的分布列為：則隨機變量的方差的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由隨機變量的分布列，求出的值，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】解：由題意可得，，則，當(dāng)，有最大值為．故選：A．4．已知隨機變量X的方差為，則（

）A．9 B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，代入運算求解．【詳解】∵故選：C．5．已知的分布列如下表：012P？!？其中，盡管“!”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此計算，下列各式中：①；②；③，正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機變量的分布列中概率之和為1以及方差期望的計算公式即可求解.【詳解】設(shè)“？”處的數(shù)據(jù)為則“!”處數(shù)據(jù)為,則,故,故選:C6．已知某隨機變量，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用方差公式，即可求解.【詳解】因為，所以，故選：D7．已知隨機變量X的分布列如下表所示，若，則（

）X01PabA． B． C． D．【答案】B【分析】利用期望公式與分布列的性質(zhì)得到的方程組，從而求得，再利用方差公式即可得解.【詳解】因為，且各概率之和為，所以，解得，所以.故選：B.8．設(shè)隨機變量，隨機變量，若，則（

）A．2 B．3C．6 D．7【答案】C【分析】先由求出，再由方差公式和性質(zhì)求解.【詳解】由題意得，所以（舍去），則，故，則．故選：C．9．設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的4倍，用隨機變量描述一次試驗的失敗次數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合題意，利用兩點分布的方差公式求解即可.【詳解】由題知，服從兩點分布，且，，所以．故選：C.10．若隨機變量服從兩點分布，其中，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)隨機變量服從兩點分布推出，根據(jù)公式先計算出、，由此分別計算四個選項得出結(jié)果.【詳解】隨機變量服從兩點分布，其中，，，，在A中，，故A正確；在B中，，故B正確；在C中，，故C錯誤；在D中，，故D正確.故選：C.二、多選題11．已知離散型隨機變量的分布列如下所示，則（

）13A． B． C． D．【答案】ABD【分析】先利用分布列的性質(zhì)求得，進而求得，從而得解.【詳解】對于A，由分布列的性質(zhì)可得，解得，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.12．若隨機變量X服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)兩點分布可得期望與方差，再結(jié)合期望、方差的性質(zhì)運維求解.【詳解】由題意可知：，隨機變量X的分布列為X01P由兩點分布可知：，故A正確，D錯誤；所以，，故B正確，C錯誤；故選：AB.三、填空題13．已知隨機變量的分布列為P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，則D(2X－1)＝．【答案】5【詳解】∵P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，∴E(X)＝×(1＋2＋3＋4)＝，D(X)＝×[(1－)2＋(2－)2＋(3－)2＋(4－)2]＝，∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×＝5.14．離散型隨機變量的分布列為，，2，3，…，6，其期望為，若，則.【答案】【分析】根據(jù)方差的定義求得，然后利用方差性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意及方差定義知，所以.故答案為：四、解答題15．在一個袋中裝有大小、形狀完全相同的3個紅球、2個黃球.現(xiàn)從中任取2個球，設(shè)隨機變量X為取得紅球的個數(shù)．(1)求X的分布列；(2)求X的數(shù)學(xué)期望和方差．【詳解】（1）X的可能取值為0,1,2．，則X的分布列為X012P（2）由（1）中分布列可得，．16．已知隨機變量X的分布列為X01xPp若，(1)求的值;(2)若，求的值.【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以.（2）因為，則，所以.17