第13章 立體幾何初步單元綜合能力測(cè)試卷-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁(yè)第13章立體幾何初步單元綜合能力測(cè)試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為三條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中不正確的是（

）A．，，且B．，C．，，D．，【答案】B【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由，可得，又，則，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由，可得或，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由，可得，因，故得，即C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)易得結(jié)論正確.故選：B.2．如圖，在四棱錐中，平面，那與垂直的充分條件是（）A．四邊形為矩形 B．四邊形為菱形C．四邊形為平行四邊形 D．四邊形為梯形【答案】B【解析】若滿足，又因?yàn)槠矫?，平?/p>

，所以，又，平面，故平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故?dāng)時(shí)，即可推出.所以四邊形為菱形．故選：B.3．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，且，則該平面圖形的高為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】在直角梯形中，，則，直角梯形對(duì)應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形，，，，，所以該平面圖形的高為．故選：C．4．已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榈酌姘霃?，所以底面積，底面周長(zhǎng)，圓錐母線長(zhǎng)，圓錐側(cè)面積，故圓錐的表面積為．故選：C.5．隨著古代瓷器工藝的高速發(fā)展，在著名的宋代五大名窯之后，又增加了三種瓷器，與五大名窯并稱為中國(guó)八大名瓷，其中最受歡迎的是景德鎮(zhèn)窯．如圖，景德鎮(zhèn)產(chǎn)的青花玲瓏瓷(無蓋)的形狀可視為一個(gè)球被兩個(gè)平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可視為球冠(截得的圓面是底，垂直于圓面的直徑被截得的部分是高，其面積公式為，其中為球的半徑，為球冠的高)．已知瓷器的高為，在高為處有最大直徑(外徑)為，則該瓷器的外表面積約為(取3.14)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：球的半徑為，上球冠的高，下球冠的高，設(shè)下底面圓的半徑為，則，所以該瓷器的外表面積為.故選：C.6．如圖，在四面體中作截面，若，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)則下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的個(gè)數(shù)是（

）（1），，三點(diǎn)共線；（2），，，四點(diǎn)共面；（3）.A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋本€平面，，直線平面，所以是平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，所以在平面與平面的交線上，同理可證，也在平面與平面的交線上，所以三點(diǎn)共線，所以（1）正確；平面，所以（2）錯(cuò)誤；由于，所以（3）錯(cuò)誤.故選：B.7．已知在正四面體中，M為AB的中點(diǎn)，則直線CM與AD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，取BD的中點(diǎn)N，連接MN，CN，如圖，由M是AB的中點(diǎn)，得，則是CM與AD所成的角或其補(bǔ)角，顯然，取MN的中點(diǎn)E，連接CE，則，在中，，因此，所以直線CM與AD所成角的余弦值為.故選：C8．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P，Q分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）

A．2 B． C． D．【答案】C【解析】如圖，將以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)到與平面同一個(gè)平面，由，得，所以，又，所以的周長(zhǎng)為，又，所以，在中，由余弦定理得，，即的周長(zhǎng)的最小值為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列說法中正確的序號(hào)是（

）A．直線與直線相交；B．直線與直線平行；C．直線BM與直線是異面直線；D．直線與直線成角.【答案】CD【解析】如圖所示，將正方體的平面展開圖，復(fù)原為正方體，對(duì)于A中，直線與不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，否則四點(diǎn)共面，（矛盾），所以直線與為異面直線，所以A不正確；對(duì)于B中，直線與不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，否則四點(diǎn)共面，（矛盾），所以直線與為異面直線，所以B不正確；對(duì)于C中，平面平面，平面，平面，所以直線與不相交，連接，則，而與相交，所以與不平行，否則，不合題意，所以直線與是異面直線，所以C正確；對(duì)于D中，連接，則為正三角形，可得，又由，則為直線與直線所成的角，即直線與直線所成的角為，所以D正確.故選：CD.10．如圖，三棱錐中，，平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與平面所成的角為B．二面角的正切值為C．點(diǎn)到平面的距離為D．【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A，因?yàn)槠矫?，故為直線與平面所成的角，又，所以，故直線與平面所成的角是，故A正確；選項(xiàng)B，取中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)?，平面，所以，，因?yàn)?，平面，所以平面，故為二面角的平面角，則，故二面角的正切值為，故B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，設(shè)到面的距離為，則由，可得：，解得，故C正確；選項(xiàng)D，若，又，且，平面,則面，則有，與矛盾，故D錯(cuò)誤．故選:ABC．11．若某正三棱柱各棱長(zhǎng)均為2，則該棱柱的外接球的體積不可能為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由題意作出圖象如圖，設(shè)外接球球心為O，E為BC中點(diǎn)，連接，則，作平面交平面與D，因?yàn)?，所以為外心，因?yàn)?，所以，，，，則該棱柱的外接球的體積.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為8的直角扇形，則此圓錐的表面積為．【答案】【解析】如圖，設(shè)圓錐底面半徑為r，則，解得，所以，該圓錐的表面積為.故答案為：13．在已知長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)且，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】如圖，將矩形和三角形沿翻折成平面圖形，連接交于點(diǎn)，可知最短，，，，，．故答案為：14．一個(gè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2，高為，上底面對(duì)角線交點(diǎn)與下底面四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成幾何體的內(nèi)切球表面積為.【答案】【解析】由題意可知該幾何體為正四棱錐，如圖，為內(nèi)切球的球心，是棱錐的高，分別是的中點(diǎn)，連接，是球與側(cè)面的切點(diǎn)，可知在上，，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，，，，由，，即，解得，所以內(nèi)切球表面積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)?分別為棱?的中點(diǎn).（1）求證：、、、四點(diǎn)共面；（2）確定直線與直線交點(diǎn)的位置，不需要說明理由.【解析】（1）如圖，連線段、、∵，，∴，又∵長(zhǎng)方體，∴，∴，∴???四點(diǎn)共面，（2）直線與直線交點(diǎn)的位置在射線的延長(zhǎng)線上，且距離點(diǎn)的距離與長(zhǎng)相等.（理由供參考：設(shè)，所以，所以平面，同理可得平面，所以在平面與平面的交線上，又平面平面，所以，又因?yàn)?，所以，所以為中點(diǎn)，所以直線與直線交點(diǎn)的位置在射線的延長(zhǎng)線上，且距離點(diǎn)的距離與長(zhǎng)相等.）16．（15分）如圖，在四棱柱中，底面為正方形，平面．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．【解析】（1）因?yàn)榈酌鏋檎叫?，平面，平?所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）易知平面，故到平面的距離即到平面的距離，過作，平面平面，由上結(jié)論可知平面，由題意面為正方形，平面，平面，則，所以,顯然是等腰直角三角形，又四邊形為平行四邊形，故是等腰直角三角形，所以,故四棱錐的高為1.17．（15分）如圖，在四棱錐中，，，平面平面．(1)證明：平面；(2)已知，且，求點(diǎn)D到平面的距離．【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，平面，所以平面，又因?yàn)?，所以平面．?）由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，過作直線的垂線，垂足為，則平面，由，，可得，，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則，可得，在直角梯形中，因?yàn)?，可得，所以，在等腰中，，取的中點(diǎn)，連接，可得，且，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，可得，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為．18．（17分）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對(duì)角線交于點(diǎn)平面，平面是過直線的一個(gè)平面，與棱交于點(diǎn)，且．

(1)求證：；(2)若平面交于點(diǎn)，求的值；(3)若二面角的大小為，求的長(zhǎng)．【解析】（1）四棱錐的底面是菱形，，又平面，平面，則平面，而平面平面，平面，所以.（2）由平面，平面，得平面平面，而，平面，于是平面，又平面，則，即三點(diǎn)共線，由平面，平面，則，如圖，在中，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，于是，設(shè)，由，得，，，從而，所以，即．（3）

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由平面，平面，則，而平面，則平面，而平面，于是，則有為二面角的平面角，即，在菱形中，由，得，則，由（2）得，所以.19．（17分）如圖，在矩形ABCD中，，，M是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿著BM折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足點(diǎn)平面且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影E落在線段BC上.

(1)當(dāng)點(diǎn)M與端點(diǎn)D重合時(shí)，證明：平面；(2)求三棱錐的體積的最大值；(3)設(shè)直線CD與平面所成的角為，二面角的平面角為，求的最大值.【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)M與端點(diǎn)D重合時(shí)，由可知，由題意知上平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，可知，平面，平面，所以平面（2）矩形中作，垂足為點(diǎn)O，折起后得，