北師版初中數(shù)學(xué)八年級上冊課時訓(xùn)練 第1章 勾股定理 13 勾股定理的應(yīng)用

1.3勾股定理的應(yīng)用

一.選擇題

1.如圖，CD是一平面鏡，光線從A點射出經(jīng)CD上的E點反射后照射到B

點，設(shè)入射角為a（入射角等于反射角），AC±CD,BD±CD,垂足分別

為C、D,且AC=3,BD=6,CD=12,則CE的值為（）

A.3B.4C.5D.6

2.如圖，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B

與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為0.9

米，則梯子頂端A下落了（）

A.0.9米入1.3米C.1.5米口.2米

3.小明從家走到郵局用了8分鐘，然后右轉(zhuǎn)彎用同樣的速度走了6分鐘

到達(dá)書店（如圖所示）.已知書店距離郵局660米，那么小明家距離書店

（）

A.880米B.1100米C.1540米D.1760米

4.古埃及人曾經(jīng)用如圖所示的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13

個結(jié)，然后以3個結(jié)間距、4個結(jié)間距、5個結(jié)間距的長度為邊長，用木

樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角，這樣做的道理是（）

A.直角三角形兩個銳角互補

B.三角形內(nèi)角和等于180°

C.如果三角形兩條邊長的平方和等于第三邊長的平方

D.如果三角形兩條邊長的平方和等于第三邊長的平方，那么這個三角形

是直角三角形

5.如圖，廠房屋頂人字形鋼架的跨度BC=12米，AB=AC=6.5米，則中柱

AD（D為底邊BC的中點）的長是（）

A.6米B.5米C.3米D.2.5米

6.如圖，盒內(nèi)長、寬、高分別是6cm、3cm、2cm,盒內(nèi)可放木棒最長的

長度是（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

7.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm,內(nèi)

壁高12cm,則這只鉛筆的長度可能是（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

8.如圖，圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC,P是母線AC的中

點，則在圓錐的側(cè)面上從B點到P點的最短路線的長為（）

A.V5B.2->/5C.3V5D.4^/s

9.如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和3cm,高為6cm.如果用一根細(xì)

線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈達(dá)到點B,那么所用細(xì)線最短需要

()

A.11cmB.2V34cmC.(8+2^10)cmD.(7+3代)cm

10.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端

到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米.如果保持梯子底端位置

不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為()

A.0.7米入1.5米Q2.2米D.2.4米

二.填空題

11.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向60。，距離燈塔為4海里

的點A處，如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東位置，海輪航行的距離

AB長海里.

12.小明想知道學(xué)校旗桿有多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還余1m,

當(dāng)他把繩子下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿高度為—

米.

13.如圖，長為8cm的橡皮筋放置在到D,則橡皮筋被拉長了cm.

14.一架長25nl的云梯，斜立在一豎直的墻上，這時梯足距墻底端7m,

如果梯子的頂端沿墻下滑了4m,那么梯足將滑動.

15.如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底

5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與

蜂蜜相對的點A處,則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為cm

（杯壁厚度不計）.

螞蟻〃

5連蜜

16.如圖，已知長方體的三條棱AB、BC、BD分別為4,5,2,螞蟻從A

點出發(fā)沿長方體的表面爬行到M的最短路程的平方是.

三.解答題

17.如圖，一艘輪船航行到B處時，測得小島A在船的北偏東60。的方

向上，輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行100海里到達(dá)C處時，測得小島A

在船的北偏東30°的方向上，ADLBC于點D,求AD的長.

18.（1）如圖1是一家唇膏賣家的禮品裝，賣家采用了正三梭柱形盒子，

里面剛好橫放一支圓柱形唇膏，右圖是其橫載面，AABC為正三角形.求

這個包裝盒空間的最大利用率（圓柱體積和紙盒容積的比）；

（2）一個長寬高分別為1,b.h的長方體紙箱裝滿了一層高為h的圓柱

形易拉罐如圖2.求紙箱空間的利用率（易拉罐總體積和紙箱容積的比）；

（3）比較上述兩種包裝方式的空間利用率哪個大?

19.如圖，甲乙兩船同時從A港出發(fā)，甲船沿北偏東35。的方向，以每

小時12海里的速度向B島駛?cè)?乙船沿南偏東55。的方向向C島駛?cè)?

2小時后，兩船同時到達(dá)了目的地.若C、B兩島的距離為30海里，問乙

船的航速是多少？

20.如圖，一架長2.5m的梯子AB斜靠在墻AC上，ZC=90°,此時，梯

子的底端B離墻底C的距離BC為0.7m.

(1)求此時梯子的頂端A距地面的高度AC；

(2)如果梯子的頂端A下滑了0.9m,那么梯子的頂端B在水平方向上向

右滑動了多遠(yuǎn)？

參考答案與試題解析

一.選擇題

1.

【分析】證明△AECs^BED,可得黑=端，由此構(gòu)建方程即可解決問題；

DU

【解答】解：由鏡面反射對稱可知：ZA=ZB=Za,ZAEC=ZBED.

AAEC^ABED.

.AC=CE

**BD-DE，

又「若AC=3,BD=6,CD=12,

.3_6

**CE-12-EC，

求得EC=4.

故選：B.

2.

【分析】要求下滑的距離，顯然需要分別放到兩個直角三角形中，運用勾

股定理求得AC和CE的長即可.

【角軍答】角軍：在RtAACB中，AC=AB2-BC=2.52-1.5=4,

；.AC=2,

VBD=O.9,

.*.CD=2.4.

在RtAECD中，EC=ED2-CD=2.52-2.4=0.49,

.*.EC=0.7,

.*.AE=AC-EC=2-0.7=1.3.

故選：B.

3.

【分析】利用勾股定理求出小明家到書店所用的時間，求出小明的速度,

再求小明家距離書店的距離.

【解答】解：???小明家到書店所用的時間為必不=10分鐘，

又V小明的速度為噌=110米/分鐘，

6

故小明家距離書店的距離為110X10=1100米.

故選：B.

4.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷.

【解答】解:設(shè)相鄰兩個結(jié)點的距離為m,則此三角形三邊的長分別為3m、

4m、5m,

,二(3m)2+(4m)2=(5m)2,

.?.以3m、4m、5nl為邊長的三角形是直角三角形.（如果三角形的兩條邊

的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形）

故選：D.

5.

【分析】首先證明ADLBC,再利用勾股定理計算即可；

【解答】W：VAB=AC,BD=DC,

Z.ADXBC,

在RtAADB中，AD=7AB2-BD2=V6.52-62=2.5,

故選：D.

6.

【分析】兩次運用勾股定理:兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可解決.

【解答】解：本題需先求出長和寬組成的長方形的對角線長為唇？=3旄

cm.

這根最長的棍子和矩形的高，以及長和寬組成的長方形的對角線組成了直

角三角形.

盒內(nèi)可放木棒最長的長度是1（3、后產(chǎn)+22=7cm.

故選：B.

7.

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理計算出AC的長

【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：AB=12cm,BC=9cm,

在RtZkABC中：AC=VAB2+BC2=7122+92=15(cm),

則這只鉛筆的長度大于15cm.

故選：D.

8.

【分析】求出圓錐底面圓的周長，則以AB為一邊，將圓錐展開，就得到

一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，根據(jù)弧長公式求出展開后扇形的

圓心角，求出展開后NBAC=90°,連接BP,根據(jù)勾股定理求出BP即可.

【解答】解：圓錐底面是以BC為直徑的圓，圓的周長是BCn=6h

以AB為一邊，將圓錐展開,就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形,

弧長是1=6幾，

設(shè)展開后的圓心角是n。，則也常=6幾，

1oU

解得:n=180,

即展開后NBAC=：X180°=90°,

AP=1AC=3,AB=6,

則在圓錐的側(cè)面上從B點到P點的最短路線的長就是展開后線段BP的長,

由勾股定理得：BP=JAB，AP2T62+32=375，

故選：C.

9.

【分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩

點之間線段最短”得出結(jié)果.

【解答】解：把長方體的側(cè)表面展開得到一個長方形，高6cm,寬

=2+3+2+3=10cm,AB為對角線.

AB=V62+102=2V34cm.

故選：B.

10.

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，同理可得出BD的長，進(jìn)而可得出

結(jié)論.

【解答】解：在Rt^ACB中，VZACB=90°,BC=O.7米，AC=2.4米,

.*.AB2=0.72+2.4=6.25.

在RtaA'BD中,,:NA'DB=90°,A'D=2米,BD2+AZD2=A;B2,

.*.BD2+22=6.25,

.?.BD=2.25,

VBD>0,

.*.BD=1.5米，

.,.CD=BC+BD=O.7+1.5=2.2米.

故選：C.

二.填空題

11.

【分析】首先由方向角的定義及已知條件得出NNPA=60°,AP=4海里，

ZABP=90°,再由AB〃NP,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA=NNPA=60°.然

后解Rt^ABP,得出AB=AP?cosNA=2海里.

【解答】解：如圖，由題意可知NNPA=60°,AP=4海里，ZABP=90°.

VAB//NP,

Z.ZA=ZNPA=60°.

在RtZkABP中，VZABP=90°,ZA=60°,AP=4海里，

Z.AB=AP?cosZA=4Xcos60°=4x1=2海里.

故答案為2.

A

N

-■K北-…/…I--

12.

【分析】由題可知，旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù),

用勾股定理即可解答.

【解答】解：設(shè)旗桿高，???旗桿垂直于地面，

???旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，由題意列式為x?+52=(.

13.

【分析】根據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD-AB即為橡皮筋

拉長的距離.

【解答】解：Rt^ACD中，AC=5AB=4cm,CD=3cm；

22=5cm

根據(jù)勾股定理，得：AD=A/AC+CD；

Z.AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；

故橡皮筋被拉長了2cm.

14.

【分析】利用勾股定理進(jìn)行解答.先求出下滑后梯子低端距離低端的距離,

再計算梯子低端滑動的距離.

【解答】解：梯子頂端距離墻角地距離為質(zhì)0=24m,

頂端下滑后梯子低端距離墻角的距離為瘍G不=15m,

15m-7m=8m.

故答案為：8m.

15.

【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A，，根據(jù)兩點之間

線段最短可知A，B的長度即為所求.

【解答】解:如圖：

將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A，,

連接A'B,貝"A'B即為最短距離,A'B=VA/D2+BD2=V162+122=20(cm).

故答案為20.

16.

【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方

體展開，然后利用兩點之間線段最短解答，注意此題展開圖后螞蟻的爬行

路線有兩種，分別求出，選取最短的路程.

【解答】解：如圖①：AM2=AB2+BM2=16+(5+2)=65；

如圖②：AM2=AC2+CM2=92+4=85；

如圖③：AM2=52+(4+2)=61.

???螞蟻從A點出發(fā)沿長方體的表面爬行到M的最短路程的平方是：61.

故答案為：61.

三.解答題

17.

【分析】如圖，直角4ACD和直角4ABD有公共邊AD,在兩個直角三角形

中，利用三角函數(shù)即可用AD表示出CD與BD,根據(jù)CB=BD-CD即可列方

程，從而求得AD的長.

【解答】解：如圖所示.

則NABD=30°,ZACD=60°.

.,.ZCAB=ZABD,

.?.BC=AC=100海里.

在RtAACD中,設(shè)CD=x海里,

貝I」AC=2x海里，AD=VAC2-CD2=V(2x)2-x2=V3x,

在RtAABD中，AB=2AD=25x,

BD=VAB2-AD2=7(2V3x)2-(V3x)2=3x,

又：BD=BC+CD,

.*.3x=100+x,

解得x=50,

AD=V3X=50正海里.

18.

【分析】⑴如圖1,設(shè)。0半徑為r,紙盒長度為h',則CD=?r,BC=2

V3r.根據(jù)圓柱的體積和棱柱的體積公式分別求得圓柱型唇膏和紙盒的體

積，然后求其比值；

(2)求得易拉罐總體積和紙箱容積，然后求得比值；

(3)利用(1)(2)的數(shù)據(jù)進(jìn)行解答.

【解答】解：(1)由題意，是AABC內(nèi)接圓，D為切點,

如圖1,連結(jié)OD,0C.設(shè)。。半徑為r,紙盒長度為h',則CD=?r,BC=2

則圓柱型唇膏和紙盒的體積之比為：

冗—h，

哼（R5r）21

至兀

~9

7771a2h/n;

（若設(shè)△ABC的邊長為a,則圓柱型唇膏和紙盒的體積比另*二^^兀）

V32,y9

丁ah