《簡單的三角恒等變換》教學設計、導學案、同步練習

第五章三角函數(shù)

《5.5.2簡單的三角恒等變換》教學設計

【教材分析】

本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1本（A版）》5.5.2

節(jié)《簡單的三角恒等變換》屬于新授課.本節(jié)的內(nèi)容是簡單的三角恒等變換，主

要內(nèi)容是利用已有的十一個公式進行簡單的恒等變換，以及三角恒等變換在數(shù)

學中的應用，本節(jié)的內(nèi)容都是用例題來展現(xiàn)的，通過例題的解答，引導學生對變

換對象和變換目標進行對比、分析，促使學生形成對解題過程中如何選擇公式,

如何根據(jù)問題的條件進行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公

式等屬性思想方法的認識，從而加深理解變換思想，提高學生的推理能力。讓學

生感受數(shù)形結合及轉化的思想方法。發(fā)展學生數(shù)學直觀、數(shù)學抽象、邏輯推理、

數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

【教學目標與核心素養(yǎng)】

課程目標學科素養(yǎng)

1.能用二倍角公式導出半角公式，體會其中的a.數(shù)學抽象：公式的應用；

三角恒等變換的基本思想方法，以及進行簡單的b.邏輯推理：公式之間的聯(lián)系；

應用.C.數(shù)學運算：運用公式求值；

2.了解三角恒等變換的特點、變換技巧，掌握d.直觀想象：公式的靈活運用；

三角恒等變換的基本思想方法，能利用三角恒等e.數(shù)學建模:運用三角公式解決實

變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及三角恒等式的際問題；

證明和一些簡單的應用.

3.體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學生的思考

歸納能力，提高其思維靈活性.

【教學重難點】

教學重點：體會其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進行簡單的應用.

教學難點：了解三角恒等變換的特點、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本

思想方法，能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及三角恒等式的證明

和一些簡單的應用.

【教學過程】

教學過程設計意圖

(-)創(chuàng)設問題情境

提出問題

學習了和(差)角公式、二倍角公式以后，我們就有了進通過開門

行三角恒等變換的新工具，從而使三角恒等變換的內(nèi)容、思路見山，提出問

和方法更加豐富.題，利用三角

22解決證明問

例7試以cosa表示si/acosptan/

題，培養(yǎng)和發(fā)

解：a是］的二倍角.在倍角公式cos2a=1-2sin2a中，以

展數(shù)學抽象、

a代替2a,以巴代替a,

2直觀想象的核

得cosa=1-2sin2*心素養(yǎng)。

所以S譏2|上詈，①

在倍角公式cos2a=2cos2?T中,以a代替2a,以］代替a,

得cosa=2cos2^-1,

所以COS25T詈，②

將①②兩個等式的左右兩邊分別相除，得ta九吧.

21+cosa

例7的結果還可以表示為

a/l-COSaa/1+cosa通過對三

5%一±y2-2-——川2」

角公式的靈活

a/l—COSa

tan—±A/1,運用，發(fā)展學

2o-\j1+coso

生，直觀想象、

a

并稱為半角公式，符號由于所在的象限決定。數(shù)學抽象、數(shù)

學運算等核心

歸納總結

素養(yǎng)；

因為不同的三角函數(shù)式不僅會有結構形式方面的差異，而

且還會存在所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差

異，所以進行三角恒等變換時，常常要先尋找式子所包含的各

個角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇適當?shù)墓?這是三角恒

等變換的一個重要特點.

例8求證：

(1)sinacos/3=|[sin(a+0)+sin(a—

⑵s譏。+cos(p=2sin^~COS^Y-.

這兩個式子的左右兩邊在結構形式上有什么不同？

通過對典

證明：(1)因為

型問題的分析

sin(a4-/J^sinacos^+cosasinp,

解決，發(fā)展學

sin(a—BAsinacos?！猚osasin/3,

生數(shù)學建模、

將以上兩式的左右兩邊分別相加，得

邏輯推理，直

sin(a+/?)+sin(a-0)=2sinacos0①

觀想象、數(shù)學

^sinacosp=-[sin(a+￡)+sin(a—夕)]抽象、數(shù)學運

(2)由(1)可得sin(a+0)+sin(a-0)=2s譏acos￡算等核心素

設a=30=把養(yǎng)；

把a,夕代入①，即得s譏。+cos(p=2s譏

如果不用(1)的結果，如何證明？

歸納總結

例8的證明用到了換元的方法.如把a+/?看作0,a-夕看

作仍從而把包含a,0的三角函數(shù)式轉化為0,9的三角函數(shù)

式.或者，把siziacos。看作》,cosasizi。看作y,把等式看作》,

y的方程，則原問題轉化為解方程(組)求它們都體現(xiàn)了化

歸思想.

例9求下列函數(shù)的周期，最大值和最小值：

(1)y=sinx+V3cosx；(2)y=3sinx+4cosx.

分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函數(shù)式是丫=

Asin(x+(p),利用和角公式將其展開，可化為)y=asinx+

bcos%的形式.反之，利用和(差)角公式，可將y=asinx+bcosx

轉化為y=Asin(x+8)的形式，進而就可以求得其周期和最值

了.

解：(1)y=sinx+V3cosx=2(jsinx+ycosx)①

=2(sinxcos-+cosxsin-)=2sin(x+-]

33\37

因此，所求周期為2兀，最大值為2,最小值為-2.

你能說說①這一步變形的理由嗎？

(2)設y=3sinx+4cosx=Asin(x+(p),

貝+4cosx=Asinxcos(p+Acosxsin(p

于是4cos8=3.Asin(p=4

于是A2cos2(p+A2sin2(p=25

所以爐=25.

取A=5,則coscp=I，sin(p=

由y=5sin(x+(p)

可知，所求周期為2兀，最大值為5,最小值為一5

例10如圖5.5-2,已知OPQ是半徑為1,圓心角為]的扇

形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記NC0P=

a,求當角a取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個

最大面積.

圖5.5-2

分析:要求當角a取何值時，矩形/頗的面積S最大,可分二

步進行.

①找出S與a之間的函數(shù)關系；

②由得出的函數(shù)關系，求S的最大值.

解：在R/AO5c中，OB=cosa,BC=sinat

=tan60=V3

在Rt/^OAD中，OA,

萬人V3V3V3.

OA=——DnA=——BC=——sinez

所以，333,

AB=OB-OA=cosa------sina

所以，3

設矩形48co的面積為S,則

73

5=ABxBC=(cosa--^-sina)sina

?^3.1?o

=sinacosa------sin2a=—sin2a------(1—cos2a)

326

sin2a+|cos2a)-^

=-sin2a+—cos2a-

26

1.c7TV3

=-；=sin(2<z+—)一一—

V366

對于第二步求具體值,要首先確定變量的取值范圍：

c兀TC?715乃

0<a<——<2a+—<——

由3,得666.

717171o_1V3_A/3

所以當62,即6時，V366

a———

因此,當6時,矩形A8C0的面積最大,最大面積為

0<a<—

注：（1）在求解最大值時，要特別注意“3”這一

隱含條件；

（2）應用問題轉化為數(shù)學問題，最后要回歸到實際問題.

通過三角變換把形如尸asinx+Aosx的函數(shù)轉化為形如

片/sin（cox+（p）的函數(shù),從而使問題得到簡化。化歸思想

三、當堂達標

2a

1.若cosa=g，aE(o,n),則COS5的值為()通過練習

B.當.部聞鞏固本節(jié)所學

A.乎

知識，鞏固對

0

三角公式運

【解析】由題意知5-1,.".cos—>0,cos—=

用，增強學生

11+cosoV30的直觀想象、

V26°數(shù)學抽象、數(shù)

【答案】C學運算、邏輯

2.已知cosa=言，an,2Jij,則sin白等于（）推理的核心素

u\J/J

養(yǎng)。

A|D.’

Q(3、aa

【解析】由題知萬w/n,Asin—>0,sin—=

/l-cosa乖

V2--51

【答案】A

5

3.已知sin。-cos。=一3則sin2。的值等于（）

7799

A.-B._————D—

lb161616

5

【解析】由sino—cosa=—-9(sina—cos。尸=1—

259

2sinacosa=1—sin2a=—,所以sin2a=——

16

【答案】C

4.函數(shù)y=--sin2^+cos^的最小正周期為.

乙

【解析】?.?y=^'sin2x+cos2x=^^sin2x+Jcos2x+J=

乙乙乙乙

sin(2x+S+g,

9JI

...函數(shù)的最小正周期T=—=n.

【答案】w

。e

5.求證：4sincos-=2sin，+sin26.

,0

【證明】法一：左邊=2sin。?2cos?萬=2sin。(1+

cosO')

=2sin0+2sin<9cos，=2sin，+sin2，=右邊，

所以原式成立.

法二：右邊=2sin0+2sin9cos0=2sin0(1+cos〃)

.90

=2sin§,2cos2~=4sin0coso'萬=左邊，

所以原式成立.

6、如圖所示，要把半徑為A的半圓形木料截成長方形，應

怎樣截取，才能使△物8的周長最大？

一求/的最大值

【解答】設N/仍=a，△%8的周長為乙

則/15=7?sina,0B=Reosa,

：.1=OA+AB+OB=R+Rsina+

Aboso

=/?(sina+cosa)+7?=^27?sinla+~^\+R.

JIJI3兀

V0<^<y,???7〈a+r7

的最大值為也A+A=（g+1）花此時，a+9=9,

TL乙

JI

即a

Jl

即當a=7時，△應18的周長最大.

四、小結學生根據(jù)

1.知識：如何采用兩角和或差的正余弦公式進行合角，借課堂學習，自

助三角函數(shù)的相關性質求值.其中三角函數(shù)最值問題是對三角主總結知識要

函數(shù)的概念、圖像和性質，以及誘導公式、同角三角函數(shù)基本關點，及運用的

系、和（差）角公式的綜合應用，也是函數(shù)思想的具體體現(xiàn).如何思想方法。注

科學的把實際問題轉化成數(shù)學問題,如何選擇自變量建立數(shù)學意總結自己在

關系式;求解三角函數(shù)在某一區(qū)間的最值問題.學習中的易錯

2.思想：本節(jié)課通過由特殊到一般方式把關系式/占、、、，?

y=asinx+匕c°sx化成y=Asin（ox+。）的形式，可以很好地培

養(yǎng)學生探究、歸納、類比的能力.通過探究如何選擇自變量建立

數(shù)學關系式，可以很好地培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力

和應用意識，進一步培養(yǎng)學生的建模意識.

五、作業(yè)

1.課時練2.預習下節(jié)課內(nèi)容

《5.5.2簡單的三角恒等變換》導學案

【學習目標】

1.能用二倍角公式導出半角公式，體會其中的三角恒等變換的基本思想方

法，以及進行簡單的應用.

2.了解三角恒等變換的特點、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方

法，能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及三角恒等式的證明和一些

簡單的應用.

【重點難點】

重點：能用二倍角公式導出半角公式及進行簡單的應用.

難點：能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及三角恒等式的證明

和一些簡單的應用.

【知識梳理】

1.你能填寫出下面我們學習了的公式嗎？

sin(&土⑶=

______________________?

cos(a±-________________________,

tan(a±jS)=

??o

sin2a=

cos2a=

tan2a=

【學習過程】

提出問題

學習了和(差)角公式、二倍角公式以后，我們就有了進行三角恒等變換的

新工具，從而使三角恒等變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富.

例7試以cosa表示sin21,cos2^,tan21

例8求證：

(1)sinacosp=|[sin(a+0)+sin(a—0)],

(2)sind+cos(p=2sin^^-cos

例8的證明用到了換元的方法.如把a+夕看作0,。-/?看作卬，從而

把包含a,0的三角函數(shù)式轉化為0,8的三角函數(shù)式.或者，把sinacos0看作％,

cosasiW?看作y,把等式看作％，y的方程，則原問題轉化為解方程（組）求％.它

們都體現(xiàn)了化歸思想.

例9求下列函數(shù)的周期，最大值和最小值:

(1)y=sinx+V3cosx；(2)y=3sinx+4cosx.

例10如圖5.5-2,已知OPQ是半徑為1,圓心角為;的扇形，C是扇形弧

上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記NCOP=a,求當角a取何值時，矩形

ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.

【達標檢測】

2ex.

1.若cosa=q,a￡（0,兀），則cosg的值為（）

y/30

A.B?邛。6D.6

2.已知cosa=1,2兀），則sin5等于（）

A.乎B.-%|D.乎

3.已知sina—cosa=-1，則sin2a的值等于（）

7799

A.16B.16C.16D.16

4.函數(shù)y=2Vsin2X+COS2X的最小正周期為

5.求證：4sin9cos弓=2sin夕+sin26.

6、如圖所示，要把半徑為H的半圓形木料截成長方形，應怎樣截取，才能

使AOAB的周長最大?

A

【課堂小結】

1.知識：如何采用兩角和或差的正余弦公式進行合角,借助三角函數(shù)的相關

性質求值.其中三角函數(shù)最值問題是對三角函數(shù)的概念、圖像和性質，以及誘導公

式、同角三角函數(shù)基本關系、和(差)角公式的綜合應用,也是函數(shù)思想的具體體現(xiàn).

如何科學的把實際問題轉化成數(shù)學問題,如何選擇自變量建立數(shù)學關系式;求解三

角函數(shù)在某一區(qū)間的最值問題.

2.思想：本節(jié)課通過由特殊到一般方式把關系式夕=asinx+/2cosx化成

y=Asin(ox+0)的形式，可以很好地培養(yǎng)學生探究、歸納、類比的能力.通過探

究如何選擇自變量建立數(shù)學關系式，可以很好地培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的

能力和應用意識，進一步培養(yǎng)學生的建模意識.

參考答案：

知識梳理

學習過程

例7解：a是5的二倍角.在倍角公式cos2a=1-2sm2a中，以a代替2a,

以3弋替a，

得cosa=1—2sin2*

所以s叫上詈①

在倍角公式cos2a=2cos2a-i中，以a代替2a,以巴代替a,

2

得cosa=2cos2pl,

所以的2聶②

將①②兩個等式的左右兩邊分別相除，得S/臺三署.

例8證明：(1)因為

sin(a+/?)=sinacos0+cosasin^,

sin(a—/?)=sinacosp—cosasinfi,

將以上兩式的左右兩邊分別相加，得

sin(a+S)+sin(a-0)=2sinacos^①

-1

即s譏acos0=-[sin(a+￡)+sin(a—夕)]

(2)由(1)可得sin(a+0)+sin(a-0)=2sinacosf3

設a=4S=3

2L2

把a,0代入①，即得血。+cos(p=2sin^Y-cos^Y-

例9分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函數(shù)式是y=4s出(％+口),

利用和角公式將其展開，可化為)y=asinx+bcos%的形式.反之，利用和(差)

角公式，可將y=asimr+bcosx轉化為y=4s沅(％+0)的形式，進而就可以

求得其周期和最值了.

解：(1)y=sinx+V3cosx=2(|smx+ycosx)①

=2(sinxcos^+cosxsin^)=2sin(%+；)

因此，所求周期為2必最大值為2,最小值為一2.

你能說說①這一步變形的理由嗎？

(2)設y=3sinx+4cosx=Asin{x+cp),

貝ij3s譏％+4cosx=Asinxcos(p+Acosxsincp

于是4cos=3.Asixi(p=4

于是A2cosz(p+A2sin2(p=25

所以爐=25.

取A=5,則cos(p=I，sing)=1.

由y=5sin(x4-cp)

可知，所求周期為2兀，最大值為5,最小值為一5

例10分析:要求當角a取何值時，矩形45co的面積S最大，可分二步進行.

①找出S與a之間的函數(shù)關系；

②由得出的函數(shù)關系，求S的最大值.

解：在RtAOBC中,OB=cosez,BC=sina.

r)A「

在Rt\OAD^\—=tan600=V3,

OA

所以，OA^—DA^—BC=—sma,

333

J?

所以，AB=OB-OA-coscif----sina.

3

設矩形ABC。的面積為S,則

73

S=ABxBC=(cosa----sina)sina

=sin?cos?--sin2a=-sin2?--(l-cos2?)

326

=—sin2ad---cos2a-----=—^(-^sin2a+—cos2a)-----

266V3226

=-^sin(2a+

V366

對于第二步求具體值，要首先確定變量的取值范圍：

由0<a<—,—v2aH—<—.

3666

所以當2a+3,即a=?時

o2o73bb

因此，當a=工時，.矩形ABC。的面積最大，最大面積為由.

66

注：⑴在求解最大值時，要特別注意“0<a〈工”這一隱含條件;

3

（2）應用問題轉化為數(shù)學問題，最后要回歸到實際問題.

三、達標檢測

［【解析】由題意知］e（0,。.,.cos^>0,cos［

【答案】C

2.【解析】由題知作生，.,.sin會＞0,sin2~\j~~歲”=坐.

【答案】A

3.【解析】由sina—cosa=—土,(sina-cosa)2=l—2sinacosa=1—sin2a

25

161

9

所以sin2a=-

【答案】C

4.【解析】力=坐5抽2x+cos2x=^sin2x+^cos2%+J=sin（2x+*）+：,

...函數(shù)的最小正周期7=亨=兀

【答案】兀

5.【證明】法一：左邊=2sin-2cosg=2sin6(l+cos

=2sin0+2sinOcos9=2sin夕+sin2。=右邊,

所以原式成立.

法二：右邊=2sin9+2sin夕cos6=2sin0(l+cos0)

gQ

=2sin夕2cos弓=4sin&05弓=左邊，

所以原式成立.

6、【精彩點撥】|設NA08=a|T建立周長/Q|T|求/的最大值

【解答】設NA03=a,AOAB的周長為/,

則AB=7?sina,OB=Reosa,

/—OA~\~AB+OB=R+/?sina+Rcosa

=R(sina+cosa)+R=y[2Rsiv[a+^+R.

..?兀.無?無3無

.0<a<2???4<ct-1-4<V,

的最大值為6R+R=(6+1)火，此時，a+￡=5,即a=j,

即當a=彳時，△0A8的周長最大.

《5.5.2簡單的三角恒等變換》同步練習一

基礎鞏固

TT4(7

1.已知[€(-5,0),cosa=-,則tanQ=()

A.3B.—3C.-D.—

33

1一3(”兀)的結果是(

2

A?ana

A.sin—B.cos—C廠.-cos—aDn.-si?n一a

2222

3.設。是第二象限角，tana二=,Ksin—<cos—,則cos@=()

3222

33

A.--B.—C.-D.--

5555

700

4.已知cose=-/-,(兀,27c),則sin—+cos—=()

A.--B.-C.--D.-

5555

5.已知函數(shù)/(x)=；sin2x-5

-cos2x,則/(x)的最小正周期和最大值分別為

()

C.271,D.2萬,且

A.兀，LB.-

4222

6.若，€(%,2萬)，則JJas。=

V1+cos^

(1+sina+cosa)sin---cos—

7.化簡:--------------/_I-2-----^-(180°<a<360°),

V2+2cosa

1a

1+tan

1+sina2

8.求證:

li-2cs?m2-a1i-tan—a

22

能力提升

9.已知sin仁+a[=；,貝Ijcos[g-2a)=()

15157_7

A.B.C.D.

7616I8

10.函數(shù)>=sin(2x+1^sin(2x+|J的最大值是

11.已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx-\/3(sin2x-cos2x).

(1)求函數(shù)/(幻的最小正周期；

⑵求函數(shù)y=/(x-10，xeg］的值域.

素養(yǎng)達成

12.已知函數(shù)〃x)=Wsinx—acosx的圖象經(jīng)過點

(1)求實數(shù)”的值；

(2)求函數(shù)/(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.

5.5.2簡單的三角恒等變換答案解析

基礎鞏固

7T4a

1.已知?！?-5,0),COS6Z,則tan,=()

A.3B.—3C?—D.—

33

【答案】D

及cosa=：nsina=-1,

【解析】由g十f故

_3

asina51

tan—=-------=-=——故選D.

21+cosa|+43

5

2.若兀＜a＜2兀，則化簡『一個”句的結果是（）

?a「a八n?a

AA.sin—B.cos—C.-cos一aD.-sin—

2222

【答案】C

兀cca

【解析】-：it<a<2n,—<7i,??cos—<0,原式

222

aa

cos-=-cos—.

22

3.設a是第二象限角,tanar=--,sin—<cos—,貝ljcos@=()

3222

A.一好

B.cD

55-1--I

【答案】A

【解析】因為a是第二象限角,且峭＜cos怖，所以弓為第三象限角,

a43a

所以cos-^cO.因為tana所以cosa=-《，所以cos—=

32

7（\e

4.己知cos6=---?！辏ㄘ?2冗），則sin^+cos——=)

252

7

A.--B.cD

55-4-I

【答案】D

e兀.e1-COS。4

：?一￡

【解析】；。€（兀，2兀）,.12,71sin—

2225

03,001工心田、

cos—sin—hcos—=—,故選：D.

25225

5.已知函數(shù)/(x)=；sin2x-#cos2x,則/(x)的最小正周期和最大值分別為

()

A.兀，＞B.-C.2",D.2",立

4222

【答案】B

【解析】/(x)=；sin2x-乎cos2x：?/(尤)=gsin(2尤一

v-1<sin2x-yj<1/(x)G

故/(x)=-=—=—=7T

—max202

即最小正周期為乃。故選：B

6.若，6(肛2］)，則卜cose:

V1+cos。

【答案】-tang

2

［解析】6w(4,2%),.tsin6v0

2

1-cos^_\!\-cos0=故答案為一嗚

1+cos。1+COS0

(1+sina+cosa)sin----cos—

7.化簡:---------------/12-----竺(180°<a<360°),

j2+2cosa

【答案】costz

c?a、.aa}.aa

2cos——i-2sin—cos—sin----cos—

［解析］原式I------2------2---2-A..-2-----￡2

aa

vl800<<z<360°,A90°<-<180°,故cos一<0,

22

caa.a\.aa<a

2cos—cos--Fsin—sin---cos

I22人222a.a

二原式=-----=cos---sin2—=cosa.

-a22

—2cos—

2

1a

i.1+tan

1+sina2

8.求證:

Ia].a

l-2csi?n2-1-tan

22

【答案】見解析

2?+cos?—+2sinaa2alea

sin—cos—tan—+1+2tan—

■aj1+sina

【解析】左式-------2--22222

2a.2aia

1-2sin2acos-sin"1-tan2—

2222

1a

1+tan

1+sina

,即得證2

1a

>2si嗯1-tan

2

能力提升

712-2a

C9.已-.A知sin[%+a貝"cos)

43

A15c157

A.—B.——cD.

1616-\8

【答案】D

[解析Jsin弓+a)=si嗚+(a—y)]=cos(?—2)=；,

2yzJIz?1、o7

/.cos(———2a)=cos(2a——/—)=cos2(a--)=2cos2(cr--)-1=2x(-)—1=-—

故選：D.

10.函數(shù)y=sin(2x+1^sin(2x+外71的最大值是

2

【答案】"且

4

7171

【解析】Vy—sin(2x+—)sin(2x+—)

32

777TTVTT

--{[cos(2x+—i-(2才+—)]-cost(2x+—)-(2x+—)]}

23232

1/,5萬、171

=—cos(4x+—)+—COS——

2626

1/,5乃、1拒

=—cos(4xd---)+—X——

2622

故答案為：生蟲.

4

11.已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx-V3(sin2x-cos2x).

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)y=/(x-“HO申的值域.

【答案】(1)小,=%;(2)[-2,73].

【解析】(1)f(x)=2sinxcosx-6(sirfx-co^x)

=S"2X+Gcos2x=2shi(2x+1)

得3=2,

27r

J函數(shù)F(x)的最小正周期7=：-二"；

2

(2)y=f{x--)=2sin(2T-—),

23

八萬].c2?「2〃7i

?xe0,-,.--2^-—e[--,-],

_乙_Jjj

:.sin(2x——)￡[—1,,

32

24

：.2sin(2x——)W[-2,5/3],

故函數(shù)y=F(x-在1fo，m上的值域為[-2,否].

素養(yǎng)達成

12.已知函數(shù)/(x)=6sinx-acosx的圖象經(jīng)過點

（1）求實數(shù)。的值；

（2）求函數(shù)/（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.

【答案】⑴a=\（2）最小正周期2%.單調(diào)遞減區(qū)間為2U+—,2k7r+—

keZ.

【解析】（1）由函數(shù)/（X）的圖象經(jīng)過點

可知瓜苗。-砒05。=1,解得a=l.

(2)由(1),

所以函數(shù)/(力的最小正周期7=2%.

TTTT37r

由2k7iH—<%<24乃H---,左￡Z,

262

G〈

可得2&萬+—<x<2k/r+—,keZ,

33

所以函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為2版'+『,2"+7，kez.

《5.5.2簡單的三角恒等變換》同步練習二

一、選擇題

1.化簡血cosx+痛sinx等于（）

乃/￡

6-\|3

"

(/

6\3一

X

2.若2sinx=l+cosx,則tan；的值等于()

A.：B.1或不存在C.2D.2或!

222

3.在AABC中，若2cosB?sinA=sinC,則AABC的形狀一定是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

7°n

4.已知cos9二一一,9￡(一兀，0),貝ijsin—+cos—=()

2522

A.—B.+-C.-D.--

25555

■JIn

5.已知函數(shù)f(x)=Gsinwxcos3x+cos23x(3>0)在區(qū)間［—,一］上的值域是

63

［一■，則常數(shù)3所有可能的值的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.4

6.已知函數(shù)f(x)=2sin2x+2>/3sinxcosx—1的圖象關于點(0，0)對稱,

則<1)的值可以是()

.7Tn71小兀

A.--B.-C.——

6612

二、填空題

7.-^-sinl5o-^-cosl5c=

44

1V3

8.求值:

sinlO0-sin8O0

八一ijclea+Ba—B

9.已矢口cosa+cos3=—,貝！Jcos--cos-----的值為.

222

n-口??Q21