八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)試卷（詳細(xì)解析 考點(diǎn)分析 名師點(diǎn)評(píng)）

2013-2014學(xué)年度鞏店中學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，滿分40分）

1.（4分）x取什么值時(shí)，，而有意義（)

A.x>-4B.x<-4C.x>-4D.x<-4

2.（4分）化簡(jiǎn)我-加（V2-2）得（)

A.-2B.72-2C.2D.-2

3.（4分）方程2x?-6x-9=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為（）

A.6；2；9B.2；-6；-9C.2；-6；9D.-2；6；9

2-12_1

4.（4分）用換元法解方程3一￡+Y—=3時(shí)，如果設(shè)3—-=y>那么可以得到一個(gè)關(guān)

Xx2-lX

于y的整式方程，該方程是（）

A.y2-3y-1=0B.y2+3y-1=0C.y2-3y+l=0D.y2+3y+l=0

5.（4分）式子-JT二⑶（a>0）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

Vax

A.B.-_axC.D.-x-\/^

6.（4分）關(guān)于x的一元二次方程（a-6）x2-8x+6=0有實(shí)數(shù)根，則滿足條件的正整數(shù)a個(gè)

數(shù)是（）

A.6B.7C.8D.9

7.（4分）如圖，矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線

AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M表示的數(shù)為（)

cVio-1D.依

8.（4分）滿足下列條件的三角形中，是直角三角形的有（)

①三內(nèi)角之比為1：2：3

②三邊長(zhǎng)的平方之比為1：2：3

③三邊長(zhǎng)之比為3：4：5

④三內(nèi)角之比為3：4：5.

A.③B.②④C.①②③D.①②③④

9.（4分）某市2013年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2012年增長(zhǎng)了12%,由于受到國際金融危

機(jī)的影響，預(yù)計(jì)今年比2013年增長(zhǎng)7%,若這兩年GDP年平均增長(zhǎng)率為x%,則x%滿足的

關(guān)系是（）

A.12%+7%=x%B.（1+12%）（1+7%）C.12%+7%=2?x%D.（1+12%）（1+7%）

=2（1+x%）=（1+x%）2

10.（4分）關(guān)于x的方程（a+c）x?+bx+［（a-c）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么以a、b、

4

c為邊長(zhǎng)的三角形是（）

A.以a為斜邊的直角三角形B.以c為斜邊的直角三角形

C.以b為斜邊的直角三角形D.以c為底邊的等腰三角形

二、（本題共4小題，每小題5分，滿分20分）

11.（5分）若2Vm<8,化簡(jiǎn)：4（2-m）2y（正-8）?=--------------

12.（5分）矩形紙片ABCD中，AD=10cm,AB=4cm,按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重

合，折痕為EF,則DE=cm.

律用含自然數(shù)n（n>l）的等式表示出來.

14.（5分）一個(gè)三角形零件中，AB=AC=13,BC=10,因安裝的需要，工人師傅在BC和

AC上鑿出兩個(gè)孔M和N,點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，MNLAC于點(diǎn)N,則MN=.

三、（本題共2小題，每小題9分，滿分18分）

15.（8分）解方程：x2-3x-4=0.

16.（8分）（巡一會(huì)+&）（V5+V3-V2）

四、（本題共2小題，每小題10分，滿分20分）

17.（10分）對(duì)于二次三項(xiàng)式2X2-5X+3,學(xué)完配方法后，小李同學(xué)得到如下結(jié)論：無論x

取何值，它的值都大于-1.你是否同意他的說法？請(qǐng)你用配方法加以說明.

18.（10分）已知：在△ABC中，CD_LAB于D,J.CD2=AD?BD.

求證：△ABC總是直角三角形.

五、（本題共2小題，每小題12分，滿分24分）

19.（12分）已知實(shí)數(shù)a、b滿足｛4a-b+1+J|b-4a-3=0,求2福?（4

的值.

20.（12分）已知：關(guān)于x的方程2x?+kx-1=0

（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的一個(gè)根是-1,求另一個(gè)根及k值.

六、（本大題滿分14分）

21.（12分）在一塊長(zhǎng)16m,寬12m的矩形荒地上，要建造一個(gè)花園，要求花園面積是荒

地面積的一半，下面分別是小華與小芳的設(shè)計(jì)方

我的設(shè)計(jì)方案：如圖1,矩形我的設(shè)計(jì)方案：如圖2,

荒地四個(gè)角均為兩直角邊分其中花園四周小路的克

別是6?，8■的直角三角形度均為1

（1）同學(xué)們都認(rèn)為小華的方案是正確的，但對(duì)小芳方案是否符合條件有不同意見，你認(rèn)為

小芳的方案符合條件嗎？若不符合，請(qǐng)用方程的方法說明理由；

（2）你還有其他的設(shè)計(jì)方案嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你所設(shè)計(jì)的草圖，將花園部分涂上陰影，并

加以說明.

12m

yw*xu?kswangcorn

七、（本大題滿分14分）

23.（14分）如果方程d+px+qR的兩個(gè)根是X”X2，那么x1+X2=-p,xt.X2=q,請(qǐng)根據(jù)以

上結(jié)論，解決下列問題：

（1）已知關(guān)于x的方程x2+mx+n=0,（n^O）,求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別

是已知方程兩根的倒數(shù)；

（2）已知a、b滿足a?-15a-5=0,b2-15b-5=0,求工J的值；

（3）已知a、b>c滿足a+b+c=0,abc=16,求正數(shù)c的最小值.

詳細(xì)解析+考點(diǎn)分析+名師點(diǎn)評(píng)

一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，滿分40分）

1.（4分）x取什么值時(shí)，標(biāo)方意義（）

A.x>-4B.x<-4C.x>-4D.x<-4

考點(diǎn)：二次根式有意義的條件.

分析：根據(jù)二次根式有意義的條件可得4+XN0,再解不等式即可.

解答：解：由題意得：4+x>0,

解得x>-4.

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)

數(shù).

2.（4分）化簡(jiǎn)我一泥（V2-2）得（

A.-2B.D.

考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)

專題：計(jì)算題.

分析：首先利用根式的乘法法則打開括號(hào)，然后把所有根式化為最簡(jiǎn)二次根式，最后合并即

可求解.

解答：解：V8-V2（V2-2）

=2近-2+2近

=4&-2.

故選D.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，其中熟練化簡(jiǎn)二次根式后，在加減的過程中，

有同類二次根式的要合并；相乘的時(shí)候，被開方數(shù)簡(jiǎn)單的直接讓被開方數(shù)相乘，再化

簡(jiǎn)；較大的也可先化簡(jiǎn)，再相乘，靈活對(duì)待.

3.（4分）方程2x2-6x-9=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為（）

A.6；2：9B.2；-6；-9C.2：-6；9D.-2；6；9

考點(diǎn)：一元二次方程的一般形式.

分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=O（a,b,c是常數(shù)且存0）,特別要注意a知

的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn).在一般形式中ax?叫二次項(xiàng)，bx叫一

次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng).其中a,b,c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng).要確定

二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，首先要把方程化成一般形式.

解答：解：???方程一般形式是2x2-6x-9=0,

.?.二次項(xiàng)系數(shù)為2,一次項(xiàng)系數(shù)為-6,常數(shù)項(xiàng)為-9.

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的一般形式，注意在說明二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)

時(shí)，一定要帶上前面的符號(hào).

2-1丫/-1

4.（4分）用換元法解方程3x—￡+_—=3時(shí)，如果設(shè)3―-=y，那么可以得到一個(gè)關(guān)

xx2-lX

于y的整式方程，該方程是（）

A.y2-3y-1=0B.y2+3y-1=0C.y2-3y+l=0D.y2+3y+l=0

考點(diǎn)：換元法解分式方程.

分析：由設(shè)出的y,將方程左邊兩項(xiàng)代換，得到關(guān)于y的方程，整理后即可得到結(jié)果.

解答：2_1

解：設(shè)^一Ly,

X

2

方程X-1+—X_=3化為y+l=3,

xx2-iy

整理得：y2-3y+l=0.

故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了換元法解分式方程，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡(jiǎn)單的一種方

法，根據(jù)方程特點(diǎn)設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問題簡(jiǎn)單化，注意求出方程解后要

驗(yàn)根.

5.（4分）式子-G7（a>0）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

A。-axB?7卡CD?-x^/^x

考點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn).

分析:由已知得-ax+O,a>0,可知爛0,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答.

解答：解：；a>0,

-G7中xs°，

故-7-ax3=~-ax=xV~ax-

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)方法與運(yùn)用：a>0時(shí)，J￡=a；aVO時(shí)，叱=-a；

a=0時(shí)，^^2=0.

6.（4分）關(guān)于x的一元二次方程（a-6）x2-8x+6=0有實(shí)數(shù)根，則滿足條件的正整數(shù)a個(gè)

數(shù)是（）

A.6B.7C.8D.9

考點(diǎn)：根的判別式；一元

專題：計(jì)算題.

分析：由方程有實(shí)數(shù)根，a的范圍，找出滿足題意a

的值即可.國*<1ekewgurcorn

解答:解：；方程（a-6）x2-8x+6=0有實(shí)數(shù)根,

/.A=64-24（a-6）>0,

解得：aw星，

6

則滿足條件的正整數(shù)a為1,2,3,4,5,6,7,8,共8個(gè).

故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的定義，熟練掌握根的判別式的意義是解

本題的關(guān)鍵.

7.（4分）如圖，矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線

AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M表示的數(shù)為（)

c.Vio-1D.V5

考點(diǎn)：勾股定理；實(shí)數(shù)與數(shù)軸.

分析：首先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AM的長(zhǎng)，再根據(jù)A點(diǎn)表示-1,可得

M點(diǎn)表示的數(shù).

解答：解：AC=^AB2+BC2=VS2+I2=1VTO-

貝I」AM=VTO-

VA點(diǎn)表示-1,

；.M點(diǎn)表示的數(shù)為：A/1Q-1,

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中,

兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

8.（4分）滿足下列條件的三角形中，是直角三角形的有（）

①三內(nèi)角之比為1：2：3

②三邊長(zhǎng)的平方之比為1：2：3

③三邊長(zhǎng)之比為3：4：5

④三內(nèi)角之比為3：4：5.

A.③B.D.①②③④

一，fIY.T?I

考點(diǎn)：勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理.

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進(jìn)行分析，從而得到答案.

解答：解：①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出三個(gè)角分別為30度，60度，90度，所以是直角

三角形，故正確；

②三邊長(zhǎng)的平方之比為1：2：3時(shí)，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故

正確；

③三邊長(zhǎng)之比為3：4：5時(shí)，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正確；

④根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出三個(gè)角分別為45度，60度，75度，所以不是直角三

角形，故錯(cuò)誤.

故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理或三角形的內(nèi)角和定理來判

定.

9.(4分)某市2013年國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)比2012年增長(zhǎng)了12%,由于受到國際金融危

機(jī)的影響，預(yù)計(jì)今年比2013年增長(zhǎng)7%,若這兩年GDP年平均增長(zhǎng)率為x%,則x%滿足的

關(guān)系是()

A.12%+7%=x%B.(1+12%)(1+7%)C.12%+7%=2?x%D.(1+12%)(1+7%)

=2(1+x%)=(1+x%)2

考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出一元二次方程.

專題：增長(zhǎng)率問題；壓軸題.

分析：增長(zhǎng)率問題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量x(1+增長(zhǎng)率)，然后用平均增長(zhǎng)率和實(shí)

際增長(zhǎng)率分別求出今年的國內(nèi)生產(chǎn)總值，由此可得到一個(gè)方程，即X%滿足的關(guān)系式.

解答：解：若設(shè)2009年的國內(nèi)生產(chǎn)總值為y,

則根據(jù)實(shí)際增長(zhǎng)率和平均增長(zhǎng)率分別得到2010年和今年的國內(nèi)生產(chǎn)總值分別為:

2010年國內(nèi)生產(chǎn)總值:y(1+x%)或y(1+12%),

所以l+x%=l+12%,

今年的國內(nèi)生產(chǎn)總值：y(1+x%)2或y(1+12%)(1+7%),

所以(1+x%)2=(1

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查增長(zhǎng)曼砂理,、翁國螂避K怦瞰垂年翔餐出一元二次方程?

10.(4分)關(guān)于x的方程(a+c)x2+bx+-l(a-c)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么以a、b、

4

c為邊長(zhǎng)的三角形是()

A.以a為斜邊的直角三角形B.以c為斜邊的直角三角形

C.以b為斜邊的直角三角形D.以c為底邊的等腰三角形

考點(diǎn)：根的判別式；勾股定理的逆定理.

分析：關(guān)于x的方程(a+c)x2+bx+l(a-c)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，及判別式△=0,再

4

根據(jù)勾股定理即可作出判斷.

解答：解：因?yàn)殛P(guān)于x的方程(a+c)x2+bx+l(a-c)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

4

所以△=b2-4ac=0

即b2-4x(a+c)xA(a-c)=0

4

可得b?-(a2-c2)=0,

所以b?+c2=a2所以三角形是以a為斜邊的直角三角形.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題是勾股定理與根的判別式的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)判別式列出方程.易錯(cuò)的地方

是判斷不準(zhǔn)以誰為斜邊.

二、（本題共4小題，每小題5分，滿分20分）

II.（5分）若2cm<8,化簡(jiǎn)：yj（2-in）2-、g）2=2m-10

考點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn).

專題：計(jì)算題.

分析：先根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到原式=|2-m|-|m-8|,然后根據(jù)絕對(duì)值的意義去絕對(duì)值后

合并即可.

解答：解:原式=|2-m|-|m-8|,

V2<m<8,

/.原式=-(2-m)

=-2+m+m-8

=2m-10.

故答案為2m-10.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)：J/=|a|.也考查了絕對(duì)值的意義.

12.（5分）矩形紙片ABCD中，AD=10cm,AB=4cm,按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重

合，折痕為EF,則DE=—cm.

—5―

考點(diǎn)：勾股定理.

專題：壓軸題：方程思想.

分析：根據(jù)已知條件可以知道，DE=BE,若設(shè)DE=x,則DE=BE=x,AE=10-x,在RtAABE

中可以利用勾股定理，列方程求出DE的長(zhǎng).

解答：解：設(shè)DE=x,則BE=DE=x,AE=10-x,

又：在RSABE中AB2+AE2=BE2,

即42+(10-x)2=x2,

解得X=29

5

故答案為：29

5

點(diǎn)評(píng)：在解決本題的過程中要注意折疊時(shí)出現(xiàn)的相等的線段，把求線段長(zhǎng)的問題轉(zhuǎn)化為解直

角三角形的問題.

13.（5分）觀察下列各式：4星二端,{2中端,,3+1=唱…請(qǐng)你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)

律用含自然數(shù)n（n>l）的等式表示出來一1=（n+1）,HZ（n>l）.

Vn+2Vn+2

考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

專題：壓軸題；規(guī)律型.

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生通過觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力，要求學(xué)生首先分析題意,

找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案.本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)據(jù)的規(guī)律得到(n+1)

舟

14.（5分）一個(gè)三角形零件中，AB=AC=13,BC=10,因安裝的需要，工人師傅在BC和

AC上鑿出兩個(gè)孔M和N,點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，MN_LAC于點(diǎn)N,則MN=32.

一13—

考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.

分析：首先利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得AM的長(zhǎng)，然后利用等積法求得線段MN

的長(zhǎng)即可.

解答：解：；AB=AC=13,BC=10,點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，

Z.AM1BC,BM=MC=5,

根據(jù)勾股定理得：AM=12

VMN±AC于點(diǎn)N,

?MZ=AM.MC_12X5=60

AC1313

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確的作出圖形是解決本題的關(guān)鍵.

三、（本題共2小題，每小題8分，滿分16分）

15.（8分）解方程：x2-3x-4=0.

考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法.

分析：先觀察再確定方法解方,題采用因式分解法（十字相乘法）最簡(jiǎn)單，將-4分解

為lx（-4）,即可御出掌案.

解答：解：'."x2-3x-4=0,&

(x+1)(x-4)T

.*.X1=-1,X2=4.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一種簡(jiǎn)便方

法，要會(huì)靈活運(yùn)用會(huì)大大降低計(jì)算量.

16.（8分）（旗-炳+&）（V5+V3-V2）

考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算.

分析：將（E-我）看作一個(gè)整體，然后運(yùn)用平方差公式求解即可.

解答：解：原式=［遍-（我-&）］［遙+（e-&）］=5-（V3-V2）2=5-（5-2注）

=2y1^.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，以及平方差和完全平方公式的應(yīng)用.

四、（本題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.(8分)對(duì)于二次三項(xiàng)式2x2-5x+3,學(xué)完配方法后，小李同學(xué)得到如下結(jié)論：無論x取

何值，它的值都大于-1.你是否同意他的說法？請(qǐng)你用配方法加以說明.

考點(diǎn)：配方法的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方.

專題：計(jì)算題.

分析：同意，理由為：已知多項(xiàng)式變形后，配方得到結(jié)果，根據(jù)完全平方式大于等于0即可

求出它的值都大于-1.

解答：解：同意，理由為：

2x2-5x+3=2(x2-)+3=2[(x-—)2-_^|+3=2(x-—)2--A>-],

2416488

則無論x取何值，它的值都大于-1.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

18.(8分)已知：在△ABC中，CD_LAB于D,且CD?=AD?BD.

求證：△ABC總是直角三角形.

考點(diǎn)：勾股定理的逆定理.

專題：證明題.

分析：通過已知條件，建立起△ABC三邊的關(guān)系式，根據(jù)勾股定理逆定理解答.

解答：證明：VAC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,

/.AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD?BD+BD2=(AD+BD)2=AB2,

...ZACB=90°.

...△ABC總是直角三角形.

點(diǎn)評(píng)：判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加

以判斷即可.

勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足a?+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

五、(本題共2小題，每小題10分，滿分20分)

19.（10分）已知實(shí)數(shù)a、b滿足44a_b+1+J9>-4a-3=0,求g書）

的值.

考點(diǎn)：二次根式有意義的條件；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；解二元一次方程組.

分析：pa-b+l=0

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)--算術(shù)平方根列出關(guān)于a、b的方程組[1,通過解

4b-4a-3=0

.3

該方程組求得a、b的值，然后將其代入所求的代數(shù)式求值即可.

解答：[4a-b+l=0

解：由題意可得11,

曉-4a-3=0

解得，產(chǎn)-1.

b=-3

當(dāng)時(shí)a=-1、b=-3時(shí)，原式=-2^1?（炳+點(diǎn)）=-2VS.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)--算術(shù)平方根、解二元一次方程組、二次根式有意義

的條件.式子小（a>0）叫二次根式.二次根式的性質(zhì)是：二次根式中的被開方數(shù)必

這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為

（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的一個(gè)根是-1,求另一個(gè)根及k值.

考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法；根與系數(shù)的關(guān)系.

專題：計(jì)算題；證明題.

分析：若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則應(yīng)有△=b2-4ac>0,故計(jì)算方程的根的判別式即可

證明方程根的情況，第二小題可以直接代入x=-1,求得k的值后，解方程即可求得

另一個(gè)根.

解答：證明：（1）*.*a=2>b=k,c=-1

/.A=k2-4x2x（-I）=l?+8,

?.?無論k取何值，k2>0,

.\k2+8>0,即4>0,

方程2x2+kx-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

解：（2）把x=-1代入原方程得，2-k-1=0

.\k=l

原方程化為2X2+X-1=0,

解得：X|=-1,x2=-,即另一個(gè)根為

22

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合考查，一元二次方程根的情況與判別式△

的關(guān)系：

（1）△>0u方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）△=0—方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（3）△<0地程沒有實(shí)數(shù)根.

并且本題考查了一元二次方程的解的定義，已知方程的一個(gè)根求方程的另一根與未知

系數(shù)是常見的題型.

六、（本大題滿分12分）

21.（12分）在一塊長(zhǎng)16m,寬12m的矩形荒地上，要建造一個(gè)花園，要求花園面積是荒

地面積的一半，下面分別是〃但唾芳的設(shè)計(jì)方人

我的設(shè)計(jì)方案：如圖1,矩形我的設(shè)計(jì)方案：如圖2,

荒地四個(gè)角均為兩直角邊分其中花園四周小路的寬

別是80的直角三角形度均為1■.

案.小芳

（I）同學(xué)們都認(rèn)為小華的方案是正確的，但對(duì)小芳方案是否符合條件有不同意見，你認(rèn)為

小芳的方案符合條件嗎？若不符合，請(qǐng)用方程的方法說明理由；

（2）你還有其他的設(shè)計(jì)方案嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你所設(shè)計(jì)的草圖，將花園部分涂上陰影，并

加以說明.

|--------16m-||

T

12rn

考點(diǎn)：作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖.

專題：壓軸題；方案型；開放型.

分析：（1）利用等量關(guān)系花園的長(zhǎng)X花園的寬=荒地面積的一半得到路的寬度，跟小芳所給

的道路比較即可；

（2）利用同底等高的三角形的面積等于矩形的面積的一半，可得另一方案；保證陰

影部分的面積等于荒地面積的一半即可.

解答：解:（1）不符合.

設(shè)小路寬度均為xm,根據(jù)題意得：

（16-2x）（12-2x）=a><16X12，（2分）

解這個(gè)方程得:xi=2,X2=12.

但X2=12不符合題意，應(yīng)舍去，；.x=2.（3分）

...小芳的方案不符合條件，小路的寬度均為2m.（4分）

（2）答案不唯一.（6分）

左邊的圖形，取上邊長(zhǎng)得中點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，下邊的長(zhǎng)的兩個(gè)端點(diǎn)為三角形的另

外兩個(gè)頂點(diǎn)，此三角形的面積等于矩形面積的一半；

右圖橫豎兩條小路，且小路在每一處的寬都相同，其小路的寬為4米時(shí)，除去小路剩

下的面積為矩形面積的一半.

點(diǎn)評(píng)：抓住等量關(guān)系花園的面積等于荒地面積的一半是解決問題的關(guān)鍵.

七、（本大題滿分12分）

22.（12分）如圖①，一個(gè)無蓋的正方體盒子的棱長(zhǎng)為10厘米，頂點(diǎn)Ci處有一只昆蟲甲，

在盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)A處有一只昆蟲乙.（盒壁的厚度忽略不計(jì)）

（1）假設(shè)昆蟲甲在頂點(diǎn)C1處靜止不動(dòng)，如圖①，在盒子的內(nèi)部我們先取棱BB1的中點(diǎn)E,

再連接AE、EQ.蟲乙如果沿路徑A-E-G爬行，那么可以在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到昆蟲

甲.仔細(xì)體會(huì)其中的道理，并在圖①中畫出另一條路徑，使昆蟲乙從頂點(diǎn)A沿這條路徑爬

行，同樣可以在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到昆蟲甲；（請(qǐng)簡(jiǎn)要說明畫法）

（2）如圖②，假設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)Ci，以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱CC向下爬行,

同時(shí)昆蟲乙從頂點(diǎn)A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能

捕捉到昆蟲甲？（精確到1秒）

考平面展開-最短路徑問題.

點(diǎn)

專壓軸題.

題

G脆瑁fl

分（1）當(dāng)相鄰兩個(gè)面放宿貯孑瞰時(shí)，“段MiI公共棱的中點(diǎn)，按此方法,

析可畫出A,G所在的臉般嫩獨(dú)戲^姊中期足

（2）聯(lián)系（1）中的4個(gè)結(jié)論，分別畫出圖形，利用勾股定理求得兩點(diǎn)間的最短路線,

進(jìn)而求解.

解解：（1）畫出圖①中A=E2=C|,A=E3=C|,A=E4=CI中任意一條路徑；（EI、E2>E3

答分別為各棱中點(diǎn)）

（說明：無畫法，扣2分）

（2）由（1）可知，當(dāng)昆蟲甲從頂點(diǎn)Ci沿棱CC向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙可以沿

下列四種路徑中的任意一種爬行：

可以看出，圖②-1與臂路彳性哽，看冤潮愈-4中的路徑相等.

①設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)G+’求財(cái),不堂公限乙力

乙從頂點(diǎn)A按路徑A—E—F

爬行捕捉到昆蟲甲需X一,___________________

如圖②-1-1,在^RtAWACXF^?VM^aKflBK55n9??lB

(2x)2=(10-x)2+202,

解得x=10；

設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)C,沿棱GC向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙從頂點(diǎn)A按路徑A-E2-F

爬行捕提到昆蟲甲需y秒鐘，

如圖②-1-2,在RtAABF中，

(2y)2=(20-y)2+102,

解得產(chǎn)8；

所以昆蟲乙從頂點(diǎn)A