8.6.2直線與平面垂直(1)課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.2直線與平面垂直(1)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線與平面垂直的定義．2.掌握直線和平面垂直的判定定理．3.能熟練地運(yùn)用直線和平面垂直的判定定理解決問(wèn)題．活動(dòng)方案活動(dòng)一直線與平面垂直的定義1.在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)?？吹揭恍┲本€與平面垂直的現(xiàn)象，例如“旗桿與地面，大橋的橋柱和水面”等的位置關(guān)系，你能舉出一些類似的例子嗎？【解析】

略2.在陽(yáng)光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，隨著時(shí)間的變化，影子的位置在不斷地變化，在各個(gè)時(shí)刻旗桿所在的直線與其影子所在的直線的夾角是否發(fā)生變化，為多少？【解析】

略3.直線和平面垂直的定義及相關(guān)概念(如圖)．(1)直線l與平面α互相垂直：_________________________________(2)平面α的垂線：__________________________________________(3)直線l的垂面：__________________________________________(4)垂足：__________________________________________________【解析】(1)如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線l與平面α互相垂直．(2)直線l叫作平面α的垂線．(3)平面α叫作直線l的垂面．(4)直線l與平面α垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫作垂足．【解析】(1)1條(2)1個(gè)思考1???在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．那么，在空間中：(1)過(guò)一點(diǎn)有幾條直線與已知平面垂直？(2)過(guò)一點(diǎn)有幾個(gè)平面與已知直線垂直？【解析】(1)過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫作這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段．(2)垂線段的長(zhǎng)度．4.垂線段和點(diǎn)到平面的距離的概念．(1)垂線段：____________________________________________(2)點(diǎn)到平面的距離：____________________________________活動(dòng)二直線和平面垂直的判定定理探究：請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備一塊如圖所示的三角形的紙片ABC，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)，問(wèn)如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直？【解析】

當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，折痕AD與桌面所在平面垂直．思考2???(1)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直，此直線是否和平面垂直？

(2)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線垂直，此直線是否和平面垂直？(3)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，此直線是否和平面垂直？

(4)上述三個(gè)問(wèn)題能得到什么結(jié)論？【解析】(1)不一定(2)不一定(3)垂直(4)如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．【解析】

若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m?α，n?α，則a⊥α.5.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．用符號(hào)表示為：6.概念辨析：下列命題中，正確的是________.(填序號(hào))①若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線；④若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直；⑤過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條．【解析】

當(dāng)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直時(shí)，l與α不一定垂直，所以①不正確；當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以②不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直，所以③不正確，④正確；過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知平面，所以⑤正確．【答案】

④⑤活動(dòng)三直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用例1求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.【解析】

已知：如圖，a∥b，a⊥α，求證：b⊥α.證明：如圖，在平面α內(nèi)取兩條相交直線m，n.因?yàn)橹本€a⊥α，所以a⊥m，a⊥n.因?yàn)閎∥a，所以b⊥m，b⊥n.又m?α，n?α，m，n是兩條相交直線，所以b⊥α.要證明一條直線與一個(gè)平面垂直，可以用定義，也可以用判定定理，但在用定義時(shí)，平面內(nèi)的任意一條直線比較難說(shuō)清楚．已知直線l和平面α內(nèi)的兩條直線m，n，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的(

)A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】

充分性：因?yàn)閘⊥α，所以l必垂直于平面α內(nèi)的所有直線，所以l⊥m且l⊥n；必要性：由l⊥m且l⊥n，若m∥n，則l不一定垂直于平面α.綜上可得，“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的充分不必要條件．【答案】C【解析】

如圖，連接PE，EC.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB.在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以EF⊥PC.又F是PC的中點(diǎn)，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BF?平面BEF，EF?平面BEF，所以PC⊥平面BEF.一般情況下，要證明一條直線垂直于一個(gè)平面，都是用線面垂直的判定定理，只要在這個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線和已知直線垂直即可．如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PC，垂足為E，求證：AE⊥平面PBC.【解析】

因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以BC⊥AC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因?yàn)锳E?平面PAC，所以BC⊥AE.因?yàn)镻C⊥AE，且PC∩BC＝C，PC?平面PBC，BC?平面PBC，所以AE⊥平面PBC.鞏固直線與平面垂直的定義及判定定理．(1)直線與平面垂直的定義：定義如果直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直記法a⊥α有關(guān)概念直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)P稱為垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直(2)直線與平面垂直的判定定理：文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言若a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，m∩n＝A，則a⊥α圖形語(yǔ)言檢測(cè)反饋24513【解析】

由線面垂直的判定定理可知，①③能判定直線與平面垂直；②中梯形的兩邊不一定相交，所以無(wú)法判定直線與平面垂直；④中正六邊形的兩邊不一定相交，所以無(wú)法判定直線與平面垂直．1.若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況，則能保證該直線與平面垂直的是(

)①三角形的兩邊；

②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；

④正六邊形的兩條邊．A.①③

B.②③

C.①③④

D.①②③④【答案】A24513【解析】

若m⊥n，m∥α，α∥β，則n∥β或n與β相交或n?β，故①錯(cuò)誤；若m⊥n，m⊥α，α∥β，則n∥β或n?β，故②錯(cuò)誤；若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n，故③正確；若m⊥α，m∥n，α∥β，則n⊥β，故④正確．2.(2022福州期末)已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直線，給出下列命題：①若m⊥n，m∥α，α∥β，則n⊥β；

②若m⊥n，m⊥α，α∥β，則n⊥β；③若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n；④若m⊥α，m∥n，α∥β，則n⊥β.其中正確的是(

)A.①②

B.②③

C.①④

D.③④【答案】D245313.(多選)如圖，在下列四個(gè)正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是(

)ABCD24531【解析】

對(duì)于A，由AB與CE所成的角為45°，可得直線AB與平面CDE不垂直；對(duì)于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，CE∩ED＝E，CE?平面CDE，DE?平面CDE，可得AB⊥平面CDE；對(duì)于C，由AB與CE所成的角為60°，可得直線AB與平面CDE不垂直；對(duì)于D，連接AC，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB.又ED∩EC＝E，DE?平面CDE，EC?平面CDE，所以AB⊥平面CDE.故選BD.【答案】BD245314.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD1與AC的位置關(guān)系是________，BD1與B1C的位置關(guān)系是________，進(jìn)而可得BD1與平面ACB1的關(guān)系是________.(填“垂直”“平行”或“相交”)垂直垂直垂直245315.(2022中山期末)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，D是AB的中點(diǎn)．(1)求證：BC1∥平面CA1D；24531【解析】(1)如圖，連接AC1交A1C于點(diǎn)E，連接DE.因?yàn)槎嗝骟wABC－A1B1C1是直三棱柱，所以四邊形AA1C1C是矩形，則E為AC1的中點(diǎn)．因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC1.又DE?平面CA1D