2024屆湖北省鄂州、隨州、孝感高一下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆湖北省鄂州、隨州、孝感高一下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．生活中有這樣一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數(shù)學(xué)模型中最能刻畫(huà)“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．2．在三棱錐中，已知所有棱長(zhǎng)均為，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．3．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)km B．a(chǎn)kmC．a(chǎn)km D．2akm4．設(shè)為兩條不同的直線，為三個(gè)不重合平面，則下列結(jié)論正確的是()A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則5．若一架飛機(jī)向目標(biāo)投彈，擊毀目標(biāo)的概率為，目標(biāo)未受損的概率為，則目標(biāo)受損但未被擊毀的概率為（）A． B． C． D．6．若點(diǎn)為圓C：的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為（）A． B． C． D．7．已知向量與的夾角為，，，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)為()A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列中，若，則取最小值時(shí)的（）A．9 B．8 C．7 D．69．已知向量，滿足，在上的投影（正射影的數(shù)量）為-2，則的最小值為（）A． B．10 C． D．810．已知向量，，，且，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數(shù)列，，，，則______.12．函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上（其中m，n＞0），則的最小值等于__________.13．的值為_(kāi)_________．14．如圖是甲、乙兩人在10天中每天加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖，若這10天甲加工零件個(gè)數(shù)的中位數(shù)為，乙加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，則______.15．若向量，則與夾角的余弦值等于_____16．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．平面直角坐標(biāo)系中，圓M與y軸相切，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求圓M的方程;（2）過(guò)點(diǎn)作圓M的兩條互垂直的弦AC、BD，求四邊形ABCD面積的最大值．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使得成立，求范圍?19．已知，，函數(shù).(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍.20．已知直線與.（1）當(dāng)時(shí)，求直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，求a的值.21．有同一型號(hào)的汽車(chē)100輛，為了解這種汽車(chē)每耗油所行路程的情況，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽出10輛，在同一條件下進(jìn)行耗油所行路程的試驗(yàn)，得到如下樣本數(shù)據(jù)(單位：km)：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分組如下：(1)完成上面的頻率分布表；(2)根據(jù)上表，在坐標(biāo)系中畫(huà)出頻率分布直方圖.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由題意可得糖水甜可用濃度體現(xiàn)，設(shè)糖的量為，糖水的量設(shè)為，添加糖的量為，對(duì)照選項(xiàng)，即可得到結(jié)論．【詳解】由題意，若，設(shè)糖的量為，糖水的量設(shè)為，添加糖的量為，選項(xiàng)A，C不能說(shuō)明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現(xiàn)，而，能體現(xiàn)糖水變甜；選項(xiàng)D等價(jià)于，不成立，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式在實(shí)際生活中的運(yùn)用，考查不等式的等價(jià)變形，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】

取的中點(diǎn)，連接、，于是得到異面直線與所成的角為，然后計(jì)算出的三條邊長(zhǎng)，并利用余弦定理計(jì)算出，即可得出答案．【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，由于、分別為、的中點(diǎn)，則，且，所以，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，三棱錐是邊長(zhǎng)為的正四面體，則、均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下：（1）一作：平移直線，找出異面直線所成的角；（2）二證：對(duì)異面直線所成的角進(jìn)行說(shuō)明；（3）三計(jì)算：選擇合適的三角形，并計(jì)算出三角形的邊長(zhǎng)，利用余弦定理計(jì)算所求的角．3、B【解析】

先根據(jù)題意確定的值，再由余弦定理可直接求得的值．【詳解】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

根據(jù)空間中線線、線面、面面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，若，，則可能平行、相交或異面；故A錯(cuò)；B選項(xiàng)，若，，則或，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，若，，因?yàn)闉槿齻€(gè)不重合平面，所以或，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若，，則，故D正確；故選D【點(diǎn)睛】本主要考查命題真假的判定，熟記空間中線線、線面、面面位置關(guān)系，即可得出結(jié)果.5、D【解析】

由已知條件利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式直接求解．【詳解】由于一架飛機(jī)向目標(biāo)投彈，擊毀目標(biāo)的概率為，目標(biāo)未受損的概率為；所以目標(biāo)受損的概率為：；目標(biāo)受損分為擊毀和未被擊毀，它們是對(duì)立事件；所以目標(biāo)受損的概率目標(biāo)受損被擊毀的概率目標(biāo)受損未被擊毀的概率；故目標(biāo)受損但未被擊毀的概率目標(biāo)受損的概率目標(biāo)受損被擊毀的概率，即目標(biāo)受損但未被擊毀的概率；故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

根據(jù)題意，先求出直線PC的斜率，根據(jù)MN與PC垂直求出MN的斜率，由點(diǎn)斜式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓心的坐標(biāo)為，則，由于MN與PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直線方程為，即.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查求弦所在直線方程，熟記直線的點(diǎn)斜式方程即可，屬于常考題型.7、B【解析】

利用平面向量數(shù)量積的定義計(jì)算出的值，由可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，，向量與的夾角為，，，，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

是等差數(shù)列，先根據(jù)已知求出首項(xiàng)和公差，再表示出，由的最小值確定n?！驹斀狻坑深}得，，解得，那么，當(dāng)n=7時(shí)，取到最小值-49.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題。9、D【解析】

在上的投影（正射影的數(shù)量）為可知，可求出，求的最小值即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谏系耐队埃ㄕ溆暗臄?shù)量）為，所以，即，而，所以，因?yàn)樗?，即，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量在向量上的正射影，向量的數(shù)量積，屬于難題.10、A【解析】

求出的坐標(biāo)，由得，得到關(guān)于的方程.【詳解】，，因?yàn)椋?，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量減法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用等差中項(xiàng)的基本性質(zhì)求得，，并利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出的值，由此可得出的值.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，同理，由于、、成等差數(shù)列，所以，則，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、1【解析】

由題意可得定點(diǎn)，，把要求的式子化為，利用基本不等式求得結(jié)果．【詳解】解：且令解得，則即函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，把要求的式子化為，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、44.5【解析】

由莖葉圖直接可以求出甲的中位數(shù)和乙的平均數(shù)，求和即可．【詳解】由莖葉圖知，甲加工零件個(gè)數(shù)的中位數(shù)為，乙加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用莖葉圖求中位數(shù)和平均數(shù)．15、【解析】

利用坐標(biāo)運(yùn)算求得；根據(jù)平面向量夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的求解，明確向量夾角的余弦值等于向量的數(shù)量積除以兩向量模長(zhǎng)的乘積.16、6【解析】

由題得，解不等式即得x+y的最小值.【詳解】由題得,所以，所以，所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，所以x+y的最小值為6.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)取等.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)最大值為1．【解析】

（1）通過(guò)分析題意，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，再通過(guò)待定系數(shù)法即可求得。（2）若采用直線方程和圓的方程聯(lián)立求解相對(duì)較為復(fù)雜，可采用將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離問(wèn)題，結(jié)合勾股定理可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算，最后再結(jié)合均值不等式進(jìn)行求解。【詳解】解：（1）由題意，M在線段PQ的垂直平分線（即x軸）上，設(shè)；由圓M與y軸相切，所以圓M的半徑為，圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，解得，所以圓M的方程為.（2）設(shè)圓心M到直線AC，BD的距離分別為m，n，則，且，，四邊形ABCD的面積因?yàn)椋襪，n均為非負(fù)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立；綜上，四邊形ABCD面積的最大值為1．【點(diǎn)睛】圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題往往化繁為簡(jiǎn)18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)之間關(guān)系，可得結(jié)果（2）利用錯(cuò)位相減法，可得，然后使用分離參數(shù)的方法，根據(jù)單調(diào)性，計(jì)算其范圍，可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，兩式相減得：當(dāng)時(shí)，，不符合上式所以（2）令，所以所以令①②所以①-②：則化簡(jiǎn)可得故，若存在，使得成立即存在，成立故，由，則所以可知數(shù)列在單調(diào)遞增所以，故【點(diǎn)睛】本題考查了之間關(guān)系，還考查了錯(cuò)位相減法求和，本題難點(diǎn)在于的求法，重點(diǎn)在于錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，屬中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)即可得，再根據(jù)，求出的范圍結(jié)合圖像即可解決．（2）根據(jù)（1）求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出的單調(diào)區(qū)間即可．【詳解】解：（1）因?yàn)樗?，所以，所以?）解法一：令得因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以存在，使得，所以有因?yàn)?，所以所以，又因?yàn)?，得所以從而有所以，所以解法二：由，得因?yàn)樗运越獾糜炙浴军c(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)在給定區(qū)間是的最值以及根據(jù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)．屬于中等題，解決本題的關(guān)鍵是記住正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值等．20、（1）；（2）.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，直線與聯(lián)立即可．（2）兩直線平行表示斜率相同且截距不同，聯(lián)立方程求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線與，聯(lián)立，解得，故直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）因?yàn)椋?，即解?【點(diǎn)睛】此題考察直線斜率，兩直線平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截